Итерированные ряды Лорана над кольцами и символ Конту-Каррера

В статье дан обзор нового алгебро-геометрического подхода к работе с итерированными алгебраическими группами петель, связанными с итерированными рядами Лорана над произвольными коммутативными кольцами, и его приложений к исследованию многомерного символа Конту-Каррера. Помимо обзора в статье приводятся новые результаты, связанные с этим символом.
Многомерный символ Конту-Каррера естественно возникает при рассмотрении деформации флага алгебраических подмногообразий в алгебраическом многообразии. Нетривиальность задачи обусловлена тем, что при $n>1$ для группы обратимых элементов алгебры $n$-итерированных рядов Лорана над кольцом не известно представление в виде инд-плоской схемы над этим кольцом и требуются принципиально новые алгебро-геометрические конструкции, понятия и методы. В качестве приложения используемых новых методов приведено описание непрерывных гомоморфизмов между алгебрами итерированных рядов Лорана над кольцом, найден критерий обратимости для таких эндоморфизмов. Доказано, что многомерный символ Конту-Каррера, ограниченный на алгебры над полем рациональных чисел, задается естественной явной формулой и однозначно продолжается на все кольца. Приведена явная формула для многомерного символа Конту-Каррера в случае всех колец. Описана связь с многомерной теорией полей классов.
В качестве нового результата доказано, что для многомерного символа Конту-Каррера выполнено универсальное свойство: после ограничения на алгебры над фиксированным кольцом без кручения через него пропускаются все морфизмы из $n$-итерированной алгебраической группы петель от $K$-группы Милнора степени $n+1$ в плоские групповые схемы над этим кольцом, в которых любые две точки содержатся в аффинном открытом подмножестве.
Библиография: 67 названий.