Спектральные треугольники несамосопряженных операторов Хилла и Дирака

Дан обзор результатов последних 10–12 лет о структуре спектров операторов Хилла–Шрёдингера и Дирака. Пусть $L$ – оператор Хилла или одномерный оператор Дирака на отрезке $[0,\pi]$. Если мы рассматриваем $L$ с граничными условиями Дирихле или с периодическими и антипериодическими граничными условиями, то соответствующие спектры дискретны и для достаточно больших $|n|$ ($n\in \mathbb{Z}$) близки к $n^2$ в случае Хилла и к $n$ в случае Дирака; при этом мы имеем одно собственное значение Дирихле $\mu_n$ и два периодических (если $n$ четно) или антипериодических (если $n$ нечетно) собственных значения $\lambda_n^-$, $\lambda_n^+$ (с учетом их кратности).
Мы даем асимптотические оценки спектральных зазоров $\gamma_n=\lambda_n^+-\lambda_n^-$ и уклонений $\delta_n=\mu_n-\lambda_n^+$ в терминах коэффициентов Фурье потенциала. Более того, для специальных потенциалов – тригонометрических многочленов – найденные асимптотики $\gamma_n$ и $\delta_n$ точны.
Библиография: 45 названий.