| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сообщения Московского математического общества О крайних точках множества состояний с ограниченной энергией С. В. Вейсa, М. Е. Широковb a Bad Staffelstein, Germany b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9942 
Реферативные базы данных:
      Центральную роль в математической теории квантовых систем играет понятие квантового состояния – положительного ядерного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ с единичным следом [1]. Множество $\mathfrak{S}(\mathscr{H})$ всех квантовых состояний – это замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства $\mathfrak{T}(\mathscr{H})$ всех ядерных операторов (со следовой нормой) [2], [3]. Важной характеристикой состояния $\rho$ любой квантовой системы является средняя энергия $\operatorname{Tr}\rho H$, определяемая наблюдаемой энергии (гамильтонианом) $H$ этой системы – положительно полуопределенным и, вообще говоря, неограниченным оператором в $\mathscr{H}$ (величина $\operatorname{Tr}\rho H$ определяется как $\sup_n\operatorname{Tr}\rho HP_n$, где $P_n$ – спектральный проектор оператора $H$, соответствующий интервалу $[0,n]$) – см. [1], [2]. Многие задачи квантовой теории информации требуют исследования свойств различных функций (в частности, нахождения их экстремальных значений) на множестве
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{H,E}=\{\rho\in\mathfrak{S}(\mathscr{H})\mid \operatorname{Tr}\rho H\leqslant E\}
\end{equation*}
\notag
$$
всех состояний со средней энергией, не превышающей заданной границы $E\geqslant \inf\sigma(H)$, где $\sigma(H)$ – спектр оператора $H$ (см. [1], [4]–[10]). Нетрудно видеть, что $\mathfrak{S}_{H,E}$ – замкнутое выпуклое подмножество в $\mathfrak{S}(\mathscr{H})$. Множество $\mathfrak{S}_{H,E}$ компактно тогда и только тогда, когда $H$ – неограниченный оператор с дискретным спектром конечной кратности [5]. Для решения (или упрощения) указанной выше оптимизационной задачи необходимо изучить геометрию выпуклого множества $\mathfrak{S}_{H,E}$. Следующая теорема дает описание крайних точек этого множества. Напомним, что крайними точками множества $\mathfrak{S}(\mathscr{H})$ являются проекторы ранга 1, называемые чистыми состояниями.
Теорема 1. Пусть $H$ – произвольный положительный оператор и $E>\inf\sigma(H)$. Тогда любая крайняя точка множества $\mathfrak{S}_{H,E}$ является чистым состоянием. Доказательство этой теоремы достаточно просто в конечномерном случае [8], поскольку в этом случае семейство относительных внутренностей всех граней выпуклого множества является разбиением этого выпуклого множества. В бесконечномерном случае мы строим аналогичное разбиение, используя лемму Куратовского–Цорна [11] (отметим, что в бесконечномерном случае относительная внутренность непустого выпуклого множества может быть пуста). Другой возможный способ доказательства теоремы 1 – использование двойственной теоремы Каратеодори [12; разд. III.9]. Если $H$ – произвольный положительный оператор, то множество $\mathfrak{S}_{H,E}$ замкнуто, но не компактно. Однако оно $\mu$-компактно (в терминах работы [13]) в силу предложения 2 из [6]. Предложение 5 в [13] дает обобщения теорем Крейна–Мильмана и Шоке на выпуклые $\mu$-компактные множества. С помощью теоремы 1 утверждения этих теорем для множества $\mathfrak{S}_{H,E}$ можно сформулировать явно. Теорема 2. Пусть $H$ – произвольный положительный оператор и $E>\inf\sigma(H)$. Тогда множество крайних точек $\operatorname{ext}\mathfrak{S}_{H,E}= \mathfrak{S}_{H,E}\cap\operatorname{ext}\mathfrak{S}(\mathscr{H})$ непусто, замкнуто и справедливы следующие утверждения: (a) множество $\mathfrak{S}_{H,E}$ совпадает с выпуклым замыканием множества $\operatorname{ext}\mathfrak{S}_{H,E}$; (b) любое состояние из $\mathfrak{S}_{H,E}$ является барицентром $\displaystyle\int \sigma\,\mu(d\sigma)$ некоторой вероятностной борелевской меры $\mu$ с носителем в $\operatorname{ext}\mathfrak{S}_{H,E}$. Поскольку функция $\rho\mapsto\operatorname{Tr} \rho H$ неотрицательна, аффинна и полунепрерывна снизу, часть (b) теоремы 2 и неравенство Йенсена дают следующий результат о разложении любого состояния с конечной энергией в “непрерывную” выпуклую комбинацию чистых состояний с той же энергией. Следствие 1. Пусть $H$ – произвольный положительный оператор в $\mathscr{H}$. Тогда любое состояние $\rho$ из $\mathfrak{S}(\mathscr{H})$ такое, что $\operatorname{Tr} \rho H=E<+\infty$, можно представить в виде $\rho=\displaystyle\int\sigma\,\mu(d\sigma)$, где $\mu$ – вероятностная борелевская мера с носителем на множестве чистых состояний такая, что $\operatorname{Tr}\sigma H=E$ для $\mu$-почти всех $\sigma$. В конечномерном случае аналогичное представление (с дискретной мерой $\mu$) было получено в [7]. Сложность бесконечномерного случая связана, в частности, с тем, что множество всех состояний с заданной средней энергией не замкнуто (если оператор $H$ является неограниченным). Именно поэтому нельзя сказать, что носитель меры $\mu$ в следствии 1 принадлежит множеству чистых состояний с энергией $E$. С помощью части (b) теоремы 2 и неравенства Йенсена получаем следующее. Следствие 2. Пусть $H$ – произвольный положительный оператор в $\mathscr{H}$ и $f$ – выпуклая функция на множестве $\mathfrak{S}_{H,E}$, которая либо полунепрерывна снизу, либо полунепрерывна сверху и ограничена сверху. Тогда где $\mathscr{H}_{E}=\{\varphi\in\mathscr{D}(\sqrt{H}\,)\mid \|\sqrt{H}\,\varphi\|^2\leqslant E,\ \|\varphi\|=1\}$ и $\pi(\varphi)$ – чистое состояние, соответствующее вектору $\varphi$ (проектор на подпространство, порожденное вектором $\varphi$). Если функция $f$ полунепрерывна сверху, а оператор $H$ имеет неограниченный дискретный спектр конечной кратности, то супремум в правой части (1) достигается на единичном векторе из $\mathscr{H}_{E}$. Основное утверждение следствия 2 – возможность брать супремум в левой части равенства (1) только по чистым состояниям из $\mathfrak{S}_{H,E}$. Доказательства всех приведенных выше результатов и их обобщения на случай нескольких ограничений энергетического типа представлены в [11], где рассмотрены также некоторые применения следствия 2 в квантовой теории информации.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{WeiShi21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|