| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества Закон больших чисел для биградуированных чисел Бетти случайного симплициального комплекса Д. Б. Бараличa, В. Лимичb a Mathematical Institute SASA, Belgrade, Serbia b Université de Strasbourg, Strasbourg, France
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9936 
Реферативные базы данных:
     Пусть $(\Omega,\mathscr{F},\mathsf{P})$ – вероятностное пространство, $n$ – положительное целое число и $p\in [0,1]$. Случайный симплициальный $d$-комплекс $Y_{n;p}^d$ на $n$ вершинах с параметром $p$ [3] допускает следующее вероятностное описание: $Y_{n;p}^d$ принимает значения в пространстве комплексов $K$ таких, что $\Delta_{d-1}^n \subset K \subset \Delta_d^n$; всякий $d$-симплекс из $\Delta_d^n$ появляется в $Y_{n;p}^d$ с вероятностью $p$, независимо. Через $\Delta_i^{n-1}$ обозначим $i$-мерный остов $(n-1)$-симплекса $\Delta^{n-1}$ на $n$ вершинах, через $[n]$ – множество вершин, а через $Y^d(n,p)$ – закон (или распределение вероятностей) для $Y_{n;p}^d$. Случайный $1$-комплекс хорошо известен как случайный граф Эрдёша–Реньи–Степанова, а его закон обычно обозначают через $G(n,p)$. Момент-угол-комплекс $\mathscr{Z}_K$ комплекса $K$ на $[n]$ – это топологическое пространство $\mathscr{Z}_K:=\bigcup_{\sigma \in K} W(\sigma)$, где $W(\sigma)=\prod_{i=1}^n V_i$, а $V_i=D^2$, если $i\in\sigma$, и $V_i=S^1$, если $i\notin\sigma$. Здесь $D^2=\{z\in \mathbb{C}\colon |z|\leqslant 1\}$ и $S^1=\{z \in \mathbb{C}\colon |z|=1\}$. Полагаем $X(\varnothing)=(S^1)^n$. Кольцо когомологий $\mathscr{Z}_K$ над $\Bbbk$, где $\Bbbk$ – поле или $\mathbb{Z}$, описано в работах [2], [1], где показано, что $H^{\ast,\ast}(\mathscr{Z}_K;\Bbbk)\cong \operatorname{Tor}_{\Bbbk[v_1,\dots,v_n]}(\Bbbk(K),\Bbbk)$, ($\Bbbk[v_1,\dots,v_n]$ – градуированная алгебра полиномов с $\deg v_i=2$, а $\Bbbk(K)$ – кольцо Стенли–Райснера для $K$, определяемое как $\Bbbk[v_1,\dots,v_n]/\mathcal{I}_K$, где $\mathcal{I}_K=(v_{i_1}\cdots v_{i_k} \colon \{i_1,\dots,i_k\} \notin K)$). Аддитивная структура $H^*(\mathscr Z_K;\Bbbk)$ может быть получена с помощью формулы Хохстера, которая утверждает, что $\operatorname{Tor}^{-i,2j}_{\Bbbk[v_{1},\dots,v_{n}]}(\Bbbk(K);\Bbbk) \cong \bigoplus_{J\subset [n],\,|J|=j} \widetilde{H}^{|J|-i-1}(K_J;\Bbbk)$, где $K_J$ – полный подкомплекс в $K$ на $J\subset [n]$. Согласно [2] отсюда следует, что $H^{l}(\mathcal{Z}_K;\Bbbk) \cong \bigoplus_{J\subset [n]}\widetilde{H}^{l-|J|-1}(K_J;\Bbbk)$. Биградуированные числа Бетти $\Bbbk(K)$ определяются как $\beta^{-i,2j}(\Bbbk(K)):=\dim_{\Bbbk} \operatorname{Tor}^{-i,2j}_{\Bbbk[v_{1},\dots,v_{m}]}(\Bbbk(K);\Bbbk)$. В качестве следствия мы получаем, что $\beta^{-i, 2j}(\Bbbk(K))= \sum_{J\subset [m],\,|J|=j}\dim_{\Bbbk}\widetilde{H}^{j-i-1}(K_J;\Bbbk)$. В этой работе мы определяем случайный момент-угол-комплекс как $\mathscr{Z}_{Y_{n;p}^d}$, где $Y_{n;p}^d$ введено выше. Мы изучаем асимптотику рангов биградуированных групп гомологий $\mathscr{Z}_{Y_{n;p}^d}$, которые в силу приведенных выше результатов соответствуют $\beta^{-i,2j}(\Bbbk(Y_{n;p}^d))$. Для данных целых $i$, $j$ и $J\subset [n]$ такого, что $|J|=j$, обозначим $X_{J,i}^{(n,p)} \equiv X_{J,i}:= \dim_{\Bbbk}\widetilde{H}^{|J|-i-1}(Y_{n;p}^d;\Bbbk)$. Применяя формулу Хохстера, получим
$$
\begin{equation}
\beta^{-i, 2j}(\Bbbk(Y_{n;p}^d)):=\sum_{J\subset [n],\,|J|=j}X_{J,i}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
По соображениям размерности имеем $\beta^{-i, 2j}(\Bbbk(Y_{n;p}^d))=0$ для всех $j\leqslant d$ и $j>n$. Кроме того, $\beta^{-i,2j}(\Bbbk(Y_{n;p}^d))=0$ для всех $i$, $j$ таких, что $i\notin\{j-d,j-d-1\}$, поскольку $\widetilde{H}^{\ast}(Y_{n;p}^d;\Bbbk)$ тривиальны при $\ast\ne d-1,d$.
Теорема 1. При $d+1\leqslant j\leqslant n$ для любого фиксированного $p\in (0,1)$ при $n\to \infty$ где $r_j$ и $s_j$ суть целочисленные полиномы от $p$ степеней не выше $\binom{j}{d+1}$. При этом $r_j(p)=\mathsf{E}[\dim_{\Bbbk}\widetilde{H}^{d-1}(Y_{j;p}^d;\Bbbk)]$ и $s_j(p)=\mathsf{E}[\dim_{\Bbbk} \widetilde{H}^{d} (Y_{j;p}^d;\Bbbk)]$. Доказательство. Для всех $J\subset [n]$ случайные величины $X_{J,i}$ и $\beta^{-i,2j}(\Bbbk(Y_{j;p}^d))$ одинаково распределены. Из формулы Хохстера следует, что $\mathsf{E}[\beta^{i,2j}(\Bbbk(Y_{n;p}^d))]= \binom{n}{j}\mathsf{E} \bigl[\dim_{\Bbbk}\widetilde{H}^{j-i-1}(Y_{j;p}^d;\Bbbk)\bigr]$. Поскольку $i$, $j$ фиксированы, $\mathsf{E}[\dim_{\Bbbk}\widetilde{H}^{j-i-1}(Y_{j;p}^d;\Bbbk)]$ есть, очевидно, полином от $p$ степени не выше $\binom{j}{d+1}$.
Мы дадим доказательство только для случая $i=j-d$, так как доказательство для случая $i=j-d-1$ полностью аналогично. В силу неравенств Маркова и Чебышёва
$$
\begin{equation*}
\mathsf{P}\biggl(\biggl|\frac{\beta^{-j+d, 2j}(\Bbbk(Y_{n;p}^d))} {\binom{n}{j}}-r_j(p)\biggr|\geqslant \varepsilon\biggr)\leqslant \frac{\operatorname{Var}[\beta^{-j+d,2j}(\Bbbk(Y_{n;p}^d))]} {\binom{n}{j}^2{\varepsilon}^2}\quad\text{для любого } \varepsilon>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (1), запишем дисперсию в числителе последней дроби в виде
$$
\begin{equation*}
\sum_{J\subset [n],\,|J|=j}\operatorname{Var}[X_{J,j-d}]+ \sum_{J_1,J_2\subset [n],\,|J_1|=|J_2|=j,\,J_1\ne J_2} \operatorname{Cov}(X_{J_1,j-d},X_{J_2,j-d}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{Var}[X_{J,j-d}]=\operatorname{Var}[\dim_{\Bbbk} \widetilde{H}^{d-1} (Y_{j;p}^d;\Bbbk)]$, мы получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{J\subset [n],\,|J|=j}\operatorname{Var}[X_{J,j-d}]=\binom{n}{j} \operatorname{Var}\bigl[\dim_{\Bbbk} \widetilde{H}^{d-1} (Y_{j;p}^d;\Bbbk)\bigr]=\binom{n}{j} a(p),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a(p)$ – полином от $p$ степени не выше $\binom{j}{d+1}^2$. Из определения случайного комплекса вытекает, что $\operatorname{Cov}(X_{J_1,j-d},X_{J_2,j-d})=0$, где $|J_1 \cap J_2|\leqslant d$. Здесь $X_{J_1,j-d}$ и $X_{J_2,j-d}$ – независимые случайные величины. Если $|J_1 \cap J_2|=m$ при $d+1\leqslant m \leqslant j-1$, то $\operatorname{Cov}(X_{J_1,j-d},X_{J_2,j-d})=b_m(p)$, где $b_m(p)$ – полиномы от $p$ степеней не выше $\binom{j}{d+1}^2$. Обозначим через $A$, $B_{d+1},\dots,B_{j-1}$ максимальные значения $a(p)$, $|b_{d+1}(p)|,\dots,|b_{j-1}(p)|$ на $[0,1]$ соответственно. Заметим, что эти константы зависят только от $d$ и $j$. Поэтому Поскольку $\sum_n O(n^{2j-d-1})/\binom{n}{j}^2 \approx \sum_n 1/n^{d+1}<\infty$, утверждение непосредственно вытекает из леммы Бореля–Кантелли.Замечание 1. Для $\beta^{-1,2d+2}$ мы также получаем аналог центральной предельной теоремы. Это специальный случай, когда $j=d+1$, а для остальных значений $j$, указанных в теореме 1, асимптотическое поведение второго порядка является более сложным. Мы планируем вернуться к его изучению в ближайшем будущем. Следствие 1. $\!\!\!$ Пусть $Y^1_{n;p}\!=:G_{n,p}$. Тогда верно следующее: $\beta^{-1,6}(\Bbbk(G_{n,p}))/{n\stackrel{\textrm{п.н.}}{\longrightarrow} p^3}\!$, $\beta^{-2,6}(\Bbbk(G_{n, p}))/ \binom{n}{3}\stackrel{\textrm{п.н.}}{\longrightarrow} (1-p)^2 (2+p)$ и $\beta^{-2,8}(\Bbbk(G_{n,p}))/\binom{n}{4} \stackrel{\textrm{п.н.}}{\longrightarrow} p^3(4+3p-6p^2+2 p^3)$. Авторы благодарны Б. Штурмфельсу за поддержку и внимание к работе. Мы глубоко признательны В. М. Бухштаберу и анонимному рецензенту за ценные замечания, предложения и комментарии. Мы также благодарим И. Ю. Лимонченко за помощь с переводом нашей работы на русский язык. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarLim21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|