| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества Разделение переменных для систем Хитчина типа П. И. Борисоваab a Институт статистических исследований и экономики знаний, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" b Сколковский институт науки и технологий
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9935 
Реферативные базы данных:
      До недавнего времени переменные Дарбу для систем Хитчина были явно вычислены только в случае рода 2 и ранга 2 (см. [2]). В работе [5] было дано описание класса спектральных кривых для систем Хитчина на гиперэллиптических кривых любого рода в случае произвольных простых алгебр Ли. Для алгебр Ли типа $A_n$, $B_n$, $C_n$ методом разделения переменных были найдены в явном виде координаты Дарбу. Задача, которую мы ставим в этой работе, – найти координаты Дарбу для системы Хитчина на гиперэллиптической кривой для алгебр Ли типа $D_n$, опираясь на описание спектральной кривой, данное в [5]. При этом явно переменные Дарбу получены только для простейшего случая алгебры Ли $\mathfrak{so}(4)$. Заметим, что изоморфизм $\mathfrak{so}(4)\cong \mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2)$ в данной задаче не помогает, так как является внешним и не сохраняет спектральную кривую. Рассмотрим систему Хитчина на гиперэллиптической кривой $\Sigma_g$ рода $g$, заданной уравнением $y^2=P_{2g+1}(x)$, для классической простой алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Она задается оператором Лакса $L$ [4], [5]. Спектральная кривая задается уравнением $\det(\lambda-L)=0$ и для случая алгебры Ли $\mathfrak{g}$ типа $D_n$ имеет вид
$$
\begin{equation}
R(\lambda,x,y,H)=\lambda^{2n}+\sum_{i=1}^{n-1}\lambda^{2n-2i}r_{i}(x,y,H)+ (r_{0}(x,y,H))^2=0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $r_i(x,y,H)$ – базисный инвариант $\mathfrak{g}$ порядка $2i$ ($i=1,\dots,n-1$), $r_0(x,y,H)$ – базисный инвариант степени $n$ (пфаффиан), $H$ – набор независимых гамильтонианов системы (которые возникают при разложении базисных инвариантов по базисным мероморфным функциям, указанным ниже).
Согласно [5] базисные инварианты $r_i$ ($i=0,1,\dots,n-1$) степени $d_i$ можно разложить по базису, состоящему из двух серий базисных элементов $\{1,x,\dots,x^{d_i(g-1)}\}$ и $\{y,yx,\dots,yx^{(d_i-1)(g-1)-2}\}$, следующим образом:
$$
\begin{equation}
r_{i}(x,y,H)=\sum_{k=0}^{d_i(g-1)}H^{(0)}_{ik}x^k+ \sum_{s=0}^{(d_i-1)(g-1)-2}H^{(1)}_{is}yx^s.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Рассмотрим случай $g=2$, $n=2$ (т. е. $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(4)$). Размерность $N$ пространства спектральных инвариантов равна $\dim\mathfrak{g}\cdot(g-1)=6$. Алгебра $\mathfrak{so}(4)$ имеет два базисных инварианта второго порядка, которые согласно (2) можно разложить по базису $\{1,x,x^2\}$. Вследствие этого уравнение спектральной кривой имеет вид
$$
\begin{equation}
R(\lambda,x,H)=\lambda^4+(H_4+xH_5+x^2H_6)\lambda^2+(H_1+xH_2+x^2H_3)^2=0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Найдем гамильтонианы из условия прохождения кривой через точки $(\lambda_i,x_i)$, $i=1,\dots,6$, что сводится к решению системы из шести уравнений относительно набора переменных $H=\{H_j\mid j=1,\dots,6\}$:
Утверждение 1. При $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(4)$ система уравнений (4) сводится к уравнению четвертой степени от одной переменной и, как следствие, разрешима в радикалах. Дадим набросок доказательства. Исключая $H_4$, $H_5$, $H_6$ методом Гаусса, сводим систему (4) к системе, состоящей из трех однородных уравнений с ненулевой правой частью:
$$
\begin{equation*}
a_{i1}H_1^2+a_{i2}H_2^2+a_{i3}H_3^2+b_{i1}H_1H_2+b_{i2}H_1H_3+b_{i3}H_2H_3= \widetilde{\lambda}_i,\qquad i=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Повторно применяя метод Гаусса, матрицу $\{a_{ij}\}_{i,j=1,2,3}$ можно сделать диагональной. Далее, вычитая первое уравнение из двух последующих, получим систему двух уравнений с нулевой правой частью, из которой можно исключить одну переменную, разделив на ее квадрат. После этого исключаем одну из оставшихся переменных из того уравнения, в которое она входит без квадрата. В результате получаем уравнение четвертой степени с одним неизвестным. Таким способом можно получить явную формулу для вычисления координат действия в случае $D_2$.
В случае $D_n$ при $n > 2$ вышеописанным способом мы получаем систему однородных квадратичных уравнений с ненулевой правой частью относительно ${(2n-1)(g-1)}$ переменных. Такие системы, вообще говоря, неразрешимы в радикалах [1]. В этом случае гамильтонианы системы Хитчина задаются неявно уравнениями $R(\lambda_i,x_i,y_i,H)= 0$, $i=1,\dots,N$. Симплектическая форма (независимо от системы корней) задается следующим соотношением [5]: Для нахождения координат Дарбу осталось вычислить координаты $\{\varphi_j\}$, сопряженные к $\{H_j\}$. Для этого можно воспользоваться формулой
$$
\begin{equation}
\varphi_j=-\sum_{i=1}^{N}\int^{(x_i,y_i)} \frac{R'_{H_j}(\lambda,x,y,H)}{yR'_{\lambda}(\lambda,x,y,H)}\,dx.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Она может быть выведена из соотношения [3; (1.7)] (с учетом того, что наши координаты $\lambda_i$, $x_i$ хотя и не являются каноническими, как предполагается в [3], но приводятся к каноническим заменой $\widetilde{x}_i=\displaystyle\int^{(x_i,y_i)}\dfrac{dx}{y}$).
Поскольку явный вид спектральной кривой известен (см. (1), (2)), соотношение (6) позволяет вычислить координаты $\{\varphi_j\}$ для системы Хитчина в случае любой классической системы корней на гиперэллиптической кривой любого рода. В частности, справедливо следующее утверждение. Следствие 2. Для алгебры $\mathfrak{so}(4)$ координаты $\{\varphi_j\}$ имеют вид (6), где Автор выражает благодарность О. К. Шейнману за постановку и обсуждение задачи, А. И. Эстерову за разъяснения по поводу разрешимости квадратичных систем уравнений и И. М. Кричеверу за замечания по поводу переменных угла.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|