| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества О шаре Чаплыгина в соленоидальном поле А. В. Борисов, А. В. Цыганов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9930 
Реферативные базы данных:
      Согласно Дираку, изменения в уравнениях движения, связанные с добавлением внешних сил, которые не совершают работу, описываются с помощью деформаций скобок Пуассона. Естественным образом возникает вопрос о применимости идей Дирака в неголономной механике, который и обсуждается в данной заметке на примере шара Чаплыгина. Рассмотрим линейные скобки Ли–Пуассона на алгебре Ли $e^*(3)$:
$$
\begin{equation}
\{\gamma_i,\gamma_j\}=0,\quad \{M_i,\gamma_j\}=\varepsilon_{ijk}\gamma_k,\quad \{M_i,M_j\}=\varepsilon_{ijk}M_k,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varepsilon_{ijk}$ – полностью антисимметричный тензор, и их магнитные деформации [4]. Отвечающий скобкам (1) бивектор Ли–Пуассона $P$ совместно с механической энергией порождает гамильтоново векторное поле $X=P\,\mathrm dH$, отвечающее уравнениям Эйлера–Пуассона в задаче о вращении твёрдого тела в потенциальном поле $\dot{\gamma}=\gamma\times\omega$, $\dot{M}=M\times \omega-(\partial V/\partial\gamma)\times \omega$, где $\omega=AM$ – вектор угловой скорости, $A$ – матрица, обратная тензору инерции [1].
Стандартный в механике переход к обобщённым моментам
$$
\begin{equation}
\varphi\colon\quad M_i\to\widetilde{M}_i= M_i+c_i(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3),\quad i=1,2,3,
\end{equation}
\tag{3}
$$
переводит скобки (1) в скобки Пуассона
$$
\begin{equation}
\{\gamma_i,\gamma_j\}=0,\quad \{M_i,\gamma_j\}=\varepsilon_{ijk}\gamma_k,\quad \{M_i,M_j\}=\varepsilon_{ijk}(M_k+b_k),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $b=(b_1,b_2,b_3)$ – трёхмерный вектор, компоненты которого зависят от координат $\gamma$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, b_1&=\biggl(\frac{\partial c_2}{\partial\gamma_2}+ \frac{\partial c_3}{\partial\gamma_3}\biggr)\gamma_1- \frac{\partial(\gamma_2c_2+\gamma_3c_3)}{\partial\gamma_1}-c_1,\\ b_2&=\biggl(\frac{\partial c_1}{\partial \gamma_1}+ \frac{\partial c_3}{\partial \gamma_3}\biggr)\gamma_2- \frac{\partial(\gamma_1c_1+\gamma_3c_3)}{\partial \gamma_2}-c_2, \\ b_3&=\biggl(\frac{\partial c_1}{\partial \gamma_1}+ \frac{\partial c_2}{\partial \gamma_2}\biggr)\gamma_3- \frac{\partial(\gamma_1c_1+\gamma_2c_2)}{\partial\gamma_3}-c_3,\quad (\operatorname{rot}b,\gamma)=(\nabla\times b,\gamma)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Отвечающий скобкам (4) бивектор Пуассона $P_\varphi$ обладает функциями Казимира
$$
\begin{equation}
C_1=(\gamma,\gamma),\quad C_2=(\gamma,M-c)\colon\quad P_\varphi\,\mathrm dC_1=0,\quad P_\varphi\,\mathrm dC_2=0,
\end{equation}
\tag{6}
$$
и, вместе с исходной механической энергией $H$ (2), порождает гамильтоново векторное поле $X_\varphi=P_\varphi\,\mathrm dH$, отвечающее уравнениям $\dot{\gamma}=\gamma\times\omega$, $\dot{M}=M\times \omega+b\times \omega- (\partial V/\partial\gamma)\times \omega$, описывающим движение в соленоидальном поле $\gamma\times b$, так как $\operatorname{div}\gamma\times b=0$ согласно (5).
Подставляя в определение гамильтонова векторного поля $X_\varphi$ функции Гамильтона $H$, отвечающие механической энергии волчка Эйлера, Лагранжа, Ковалевской или системе Клебша и Стеклова–Ляпунова, мы получим интегрируемые обобщения этих систем, связанные с добавлением внешнего соленоидального поля [1]. Связь тензорных инвариантов динамических систем с их интегрируемостью обсуждается в [3]. В [2] построено другое семейство линейных по $M$ отображений $\psi\colon M_i\to\widetilde{M}_i=f_i(\gamma)M_i+g_i(\gamma)$, приводящих бивектор Ли–Пуассона $P$ к бивектору Пуассона $P_\psi$, который используется для разложения векторных полей ряда неголономных систем по гамильтоновым векторным полям. Естественным образом возникает вопрос о композиции отображений $\varphi$ и $\psi$, которые отвечают добавлению внешних сил и наложению неголономных связей соответственно. В качестве примера рассмотрим отображение
$$
\begin{equation}
\psi\colon\quad\begin{cases} M_1\to \widetilde{M}_1= g\bigl(M_1-\beta\gamma_1(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{-1}\bigr)+ \alpha\gamma_1(\gamma,\gamma)^{-1}(1+\gamma_3^2\nu^{-1}), \\ M_2\to \widetilde{M}_2= g\bigl(M_2-\beta\gamma_2(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{-1}\bigr)+ \alpha \gamma_2(\gamma,\gamma)^{-1}(1+\gamma_3^2\nu^{-1}), \\ M_3\to \widetilde{M}_3=gM_3+\alpha\gamma_3(\gamma,\gamma)^{-1} (1-(\gamma_1^2+\gamma_2^2)\nu^{-1}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\alpha=(\gamma,M)$, $\beta=(\gamma,\widetilde{M})$ и $\nu=\gamma_1^2+\gamma_2^2-d(\gamma,\gamma)(a_1\gamma_1^2+a_2\gamma_2^2)$. Соответствующая деформация скобок Пуассона зависит от параметра $d$ и постоянной диагональной матрицы $A=\operatorname{diag}(a_1,a_2,a_3)$, которые определяют функцию $g=\sqrt{1-d(\gamma,A\gamma)}\,$ (см. [2]).
Отвечающая $\psi$ (7) деформация $P_\psi$ исходного бивектора Ли–Пуассона $P$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
P_\psi=gP-\frac{d}{g}(M,A\gamma)\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0& \Gamma \end{pmatrix},\qquad \Gamma=\begin{pmatrix} 0 & \gamma_3 & -\gamma_2 \\ -\gamma_3 & 0 & \gamma_1 \\ \gamma_2 & -\gamma_1 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и, совместно с механической энергией $H$ (2), где вектор угловой скорости имеет вид
$$
\begin{equation}
\omega=A_\gamma M,\qquad A_\gamma=A+g^{-2}(dA\gamma\otimes \gamma A),
\end{equation}
\tag{8}
$$
порождает конформно гамильтоново поле $X_\psi=g^{-1}P_\psi\,\mathrm dH$, отвечающее уравнениям движения $\dot\gamma=\gamma\times \omega$, $\dot M=M\times \omega-(\partial V/\partial\gamma)\times \gamma$, описывающим движение неголономного шара Чаплыгина в потенциальном поле [2].
Добавление внешнего соленоидального поля изменяет эти уравнения:
$$
\begin{equation}
\dot{\gamma}=\gamma\times\omega,\qquad \dot{M}=M\times \omega+b\times \omega- \frac{\partial V}{\partial \gamma}\times \omega.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Согласно Дираку изменения в уравнениях движения связаны с деформацией скобок Пуассона, отвечающей композиции преобразований $\varphi$ (3) и $\psi$ (7), переводящей бивектор Ли–Пуассона $P$ в бивектор Пуассона $P_{\psi\varphi}=g P_\varphi-g^{-1}d(M,A\gamma)\bigl(\begin{smallmatrix} 0&0 \\ 0& \Gamma \end{smallmatrix}\bigr)$ при выполнении условия (5). Отметим, что функции Казимира для $P_{\psi\varphi}$ имеют вид (6).
Теорема. Уравнения движения (9), в которых вектор угловой скорости $\omega$ выражается через вектор углового момента шара Чаплыгина относительно точки контакта согласно (8), становятся гамильтоновыми после замены времени $\mathrm dt\to g\,\mathrm d\tau$ и обладают инвариантной мерой $\mu=g^{-1}\,\mathrm d\gamma\,\mathrm dM$. Таким образом, наложение соленоидального поля на неголономный шар Чаплыгина не меняет ни механическую энергию, ни инвариантную меру, ни конформную гамильтоновость соответствующего векторного поля $X_{\psi\varphi}=g^{-1}P_{\psi\varphi}\,\mathrm dH$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorTsi21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|