| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О спектре оператора Лапласа на замкнутых поверхностях Д. А. Попов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии им. А. Н. Белозерского
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9916 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеОператор Лапласа (Лапласа–Бельтрами) определен на любом гладком многообразии $M^n$ с римановой метрикой $g$. Если многообразие $M^n$ компактно, то этот оператор имеет чисто дискретный спектр $\{\lambda_n\}$ ($\lambda_n\to\infty$ при $n \to \infty$). Цель настоящего обзора – привести некоторые результаты о спектре $\{\lambda_n\}$ и сформулировать нерешенные задачи в простейшем случае, когда $M^n=(M,g)$ – замкнутая поверхность. Общие результаты о спектре $\{\lambda_n\}$ содержатся в обзорах [1]–[3]. Разделы 2, 3 посвящены оценкам второго члена в формуле Вейля. Здесь, кроме классических, представлен ряд результатов, касающихся специальных классов метрик. В разделах 4, 5 рассматриваются различные варианты формул следа, включая формулу Сельберга, и точные формулы для функции распределения собственных значений. Формулы следа для некоторых классов метрик позволяют получить тождества, которым должен удовлетворять спектр. Статистические свойства, включая вопросы существования функции распределения для правильно нормированного второго члена в формуле Вейля, рассмотрены в разделе 6. В этом разделе приведены и гипотезы универсальности, сформулированные в рамках теории квантового хаоса [4]–[6]. Задачи, обсуждаемые ниже, относятся к классу прямых задач спектральной геометрии. Обратные задачи, связанные с восстановлением геометрических свойств $(M,g)$ по спектру $\{\lambda_n\}$ (см. [1], [2]), в обзоре не рассматриваются. Не рассматриваются и геометрические свойства собственных функций. Этим свойствам посвящен обзор [7]. Что касается спектра $\{\lambda_n\}$, то ниже изучаются только его асимптотические свойства, зависящие от поведения $\lambda_n$ при $\lambda_n \to \infty$; задачи о поведении $\lambda_n$ при $\lambda_n<c$ мы не рассматриваем (см. обзор [8]). В целом настоящий обзор можно рассматривать как дополнение к обзору [7]. Как и в [7], излагаются только результаты и за доказательствами следует обратиться к цитируемой литературе. Отметим, что если в цитируемой литературе содержится общий результат о спектре, касающийся $n$-мерных многообразий, возможно с краем, то ниже приводятся только его следствия для замкнутых поверхностей. 2. Формула Вейля и мера множества замкнутых геодезическихОператор Лапласа на $n$-мерном многообразии $M^n$ с римановой метрикой $g$ в локальных координатах $q=(q_1,\dots,q_n)$ задается равенством [2], [9]
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta\varphi(q)=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\,\frac{\partial}{\partial q^i} \biggl(\sqrt{|g|}\,g^{ik}\frac{\partial\varphi}{\partial q^k} (q)\biggr),\qquad q \in M^n, \\ ds^2=g_{ik}\,dq^i\,dq^k,\quad |g|=\det(g_{ik}),\quad g_{ik}g^{kl}=\delta_{il}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В некотором смысле это единственный не зависящий от выбора координат дифференциальный оператор, который строится по метрике $g$. Если многообразие $M^n$ компактно, то оператор $\Delta$ (точнее, его самосопряженное расширение в $L^2(M^n,\mu)$, где $\mu=\mu(g)$ – мера на $M^n$, индуцированная метрикой $g$) имеет бесконечный, чисто дискретный спектр $\{\lambda_n\}$ ($\lambda_0=0<\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\lambda_3\leqslant\cdots$) и полный набор ортонормированных собственных функций $\{\varphi_n\}$. Так как оператор $\Delta$ отрицательно определен, то Везде ниже $M^n=M=(M,g)$ – замкнутая поверхность, т. е. гладкое компактное двумерное многообразие без края. Функция распределения собственных значений $N(x)$ определяется равенством в котором собственные значения считаются с учетом кратности.При $M=(M,g)$ формула Вейля имеет вид где $|M|$ – площадь $M$ и второй член $\Delta N(x)$, в силу общего результата Хёрмандера [10], удовлетворяет оценке Будем говорить, что для $M=(M,g)$ существует степенное понижение, если
$$
\begin{equation}
\Delta N(x)=O(x^{1/2-\theta}),\qquad \theta>0,\quad x \to \infty.
\end{equation}
\tag{5}
$$
В работе [11] показано, что необходимым условием существования степенного понижения является равенство где $\mathcal M[g]$ – мера множества замкнутых геодезических. Величина $\mathcal M[g]$ определяется следующим образом. Пусть $S^*(M)\subset T^*(M)$ – расслоение единичных сфер в кокасательном расслоении $T^*(M)$. В интересующем нас случае $\dim S^*(M)=3$. Точка $(q,p)\subset S^*(M)$ ($q \in M$, $|p|=1$) однозначно определяет геодезическую, и $S_0^*[g] \subset S^*(M)$ – множество точек, отвечающих замкнутым геодезическим. Тогда $\mathcal M[g]=\mu^*(S_0^*[g])$, где $\mu^*$ – мера на $S^*(M)$, индуцированная метрикой $g$. В работе [11] показано, что при условии (6) в этом случае говорят, что на $(M,g)$ имеет место вейлевская асимптотика (см. [1]).При $\mathcal M[g]\ne 0$ вейлевская асимптотика не имеет места. Простейший пример – это $(M,g)=(\mathbb{S}^2,g_1)$, где $g_1$ – метрика, индуцированная стандартным вложением $\mathbb{S}^2\subset \mathbb{R}^3$. В этом случае оценка (4) точна (см. [3], [11]). В рассматриваемой работе [11] (см. также [3], [12]) показано, что если на $(M,g)$ все геодезические замкнуты ($S_0^*[g]=S^*(M)$) и имеют одинаковую длину $T$, то спектр $\{\lambda_n\}$ сосредоточен на интервалах
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl(\nu_k-O(k^{-1}),\nu_k+O(k^{-1})\bigr),\qquad k \to \infty, \\ \nonumber \nu_k=\frac{2\pi}{T}(k+\beta)\qquad (\beta=\beta[g]). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Заметим, что на $\mathbb{S}^2$ существует много метрик (метрики Цолля [12]), для которых выполнены указанные условия. В случае когда спектр сосредоточен на интервалах (8), говорят, что на $(M,g)$ имеет место кластерная асимптотика [1], [13]. Общий случай $0<\mathcal M[g]<\mu^*(S^*(M))$ рассмотрен в работе [13], где показано, что кроме кластерной может иметь место квазивейлевская асимптотика (см. [1], [13]) вида
$$
\begin{equation*}
\Delta N(x)=Q(x)x^{1/2}+o(x^{1/2}),\qquad x \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
с ограниченной, равномерно непрерывной функцией $Q(x)$. Для всех рассматриваемых ниже $(M,g)$ условие (6) выполнено, и это специально не оговаривается. Общие условия, достаточные для существования степенного понижения, рассматривались в работе [14]. Пусть $\Phi_t\colon S^*(M)\to S^*(M)$ – геодезический поток. В работе [14] показано, что при условии
$$
\begin{equation}
\mu^*\{(q,p) \in S^*(M)\colon \exists t \in [t_0,T],\ d(\Phi_t(q,p),(q,p))<T^{-\alpha}\}\ll T^{-\beta}
\end{equation}
\tag{9}
$$
существует $\delta>0$ такое, что Величина $\delta=\delta(\alpha,\beta)$ в работе [14] не указана и оценка (9) доказана только для метрик поверхности вращения на $\mathbb{S}^2$. Известен еще один достаточно общий случай, когда немного усилена оценка (7). В работе [15] доказано, что если на $(M,g)$ нет сопряженных точек.3. Оценки второго члена в формуле ВейляВо всех случаях, когда доказано существование степенного понижения (см. определение (5)), геодезический поток $\Phi_t\colon S^*(M)\to S^*(M)$ интегрируем. Имеется в виду интегрируемость по Лиувиллю [16]. Геодезический поток рассматривается как гамильтонова система на $T^*(M)$ с гамильтонианом и интегрируемость, в частности, означает существование второго (кроме $|p|$) интеграла движения.Если геодезический поток на $(M,g)$ интегрируем, то будем писать $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$, в противном случае будем писать $g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$. 3.1. Интегрируемые геодезические потокиГеометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях рассматривается в книге [17]. Так как на поверхностях рода $\operatorname{gen}(M)\geqslant 2$ нет аналитических и полиномиальных по $p_i$ интегралов движения (см. [17]), то в классе ориентируемых поверхностей остается рассмотреть сферу $\mathbb{S}^2$ и тор $\mathbb{T}^2$. В случае сферы имеем $g_2 \in \{g_{\mathrm{I}}\}$, если $g_2$ – метрика поверхности вращения
$$
\begin{equation}
ds^2=a(r)\,d\theta^2+dr^2\qquad (g=g_2,\ \ M=(\mathbb{S}^2,g_2)).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Если $a(r)$ удовлетворяет некоторым условиям общего положения (УОП), то в работе [18] (см. также [19]) доказано, что На торе $\mathbb{T}^2$ геодезический поток интегрируем для метрик Лиувилля $g_3$ [17]. В этом случае
$$
\begin{equation}
ds^2=\bigl(h_1(x)+h_2(y)\bigr)(dx^2+dy^2)\qquad (g=g_3)
\end{equation}
\tag{12}
$$
и в работе [20] (см. также [21], [22]) доказано, что при выполнении некоторых УОП. В обоих указанных случаях удается проинтегрировать уравнения геодезических и разделить переменные в уравнениях для собственных функций (1). Это позволяет свести задачу об оценке величины $\Delta N(x)$ к задаче о числе целых точек в семействах областей $V[g]$ при $t \to \infty$. Области $V[g]$ гомеоморфны замкнутому кругу, и их границы $\partial V[g]$ строятся по метрике $g$. Условия общего положения формулируются в терминах ограничений на метрику $g$ и геометрию $\partial V[g]$. Поясним характер УОП на рассмотренном в работе [23] примере метрик Лиувилля (12) при $h_2(y)=0$. В этом случае имеется только одна область $V[g]$ и кривая $\partial V[g]$ инвариантна относительно отражений в осях координат. В положительном квадранте имеем $y=y(x)$ при $(x,y) \in \partial V[g]$. Кривая $\partial V[g]$ может иметь точку уплощения $x_0$, и $\alpha:=\dfrac{dy}{dx}(x_0)$. Метрика $g_2$ удовлетворяет УОП, если критические точки $h_1(x)$ простые и $\alpha$ – типичное число [24], т. е.
$$
\begin{equation*}
\|\alpha m\|\leqslant \frac{c(\alpha)}{m\Psi_\alpha(m)}\,,\qquad \Psi_\alpha(m)\geqslant (\ln m)^{1+\varepsilon},\quad \forall\,m \in Z,\quad \varepsilon>0
\end{equation*}
\notag
$$
($\|x\|$ – расстояние от $x$ до ближайшего целого). В работе [23] для любого целого $k\geqslant 4$ построены метрики Лиувилля необщего положения такие, что оценка точна, и такие метрики плотны (в топологии $C^1$) в пространстве метрик Лиувилля.Таким образом, условие (6) не является достаточным для существования степенного понижения даже при $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$. Вопрос о достаточности этого условия для метрик $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$ общего положения остается открытым. Отдельного рассмотрения заслуживает случай плоской метрики $g_0$ на торе $\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$. В этом случае спектр известен: $\lambda_n=l^2+m^2$ ($l,m \in \mathbb{Z}$), и $N(x)$ – число целых точек в круге радиуса $\sqrt{x}$ . Знаменитая проблема круга состоит в доказательстве оценки
$$
\begin{equation}
|\Delta N(x)|=O(x^{1/4+\varepsilon}) \quad \forall\,\varepsilon>0 \qquad (M=(\mathbb{T}^2,g_0)).
\end{equation}
\tag{13}
$$
В настоящее время доказана оценка (см. [25])
$$
\begin{equation*}
\Delta N(x)=O(x^{517/1648+\varepsilon}), \qquad\frac{517}{1648}=0.31371\ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
О поведении $\Delta N(x)$ при $M=(\mathbb{T}^2,g_0)$ много что известно (см. обзор [25]). Результаты, приведенные в [25], могут рассматриваться как источник гипотез о поведении $\Delta N(x)$ при $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$. В частности, можно предположить, что оценка (13) верна для $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$ при некоторых УОП. 3.2. Поверхности отрицательной кривизныМетрики отрицательной кривизны ($K(g)<0$) на поверхностях рода $\operatorname{gen}(M)\geqslant 2$ являются типичным примером метрик $g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$ с неинтегрируемым геодезическим потоком [26]. Так как для таких $(M,g)$ нет сопряженных точек, то для них верна оценка (10). Наибольший интерес представляет случай постоянной отрицательной кривизны $K(g)=-1$. В этом случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ – компактная риманова поверхность вида $\mathcal{F}(\Gamma)=\Gamma\backslash H$, где $\Gamma\subset\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ – кокомпактная дискретная группа и $H$ – верхняя полуплоскость с метрикой Пуанкаре ($ds^2=y^{-2}(dx^2+dy^2)$). Будем говорить, что $\Gamma$ – группа общего положения, если комплексная структура на $\Gamma\backslash H$ отвечает точке общего положения в пространстве Тейхмюллера [27]. Существует гипотеза [20], что для групп общего положения верна оценка
$$
\begin{equation}
\Delta N(x)=O(\sqrt{\ln x}\,)\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)).
\end{equation}
\tag{14}
$$
С другой стороны, пока нет примера кокомпактной группы $\Gamma$, для которой было бы доказано существование степенного понижения (см. (6)), и в [28] для случая $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ доказана только оценка
$$
\begin{equation*}
\Delta N(x)=O\biggl(\frac{x^{1/2}}{\ln x}\,\biggr)\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)),
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающая с (10). Доказательство существования степенного понижения для $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ является основной нерешенной задачей. В работе [29] получена оценка
$$
\begin{equation}
\frac1T\int_0^T|\Delta N(x)|\,dx =O(T^{1/4+\varepsilon})\quad \forall\,\varepsilon>0\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)),
\end{equation}
\tag{15}
$$
характеризующая поведение величины $\Delta N(x)$ в среднем. Этот результат позволяет предположить, что на $\mathcal{F}(\Gamma)$ верна оценка (13). 3.3. $\Omega$-оценкиПриведенные ниже оценки вида $\Delta N(x)=\Omega(f(x))$ заменяют несуществующие равномерные по $x$ при $x\to\infty$ оценки величины $\Delta N(x)$ снизу. Равенство $\Delta N(x)=\Omega(f(x))$ будет означать, что существует последовательность $x_k\to\infty$ такая, что $|\Delta N(x)|>Cf(x_k)$ для всех $k \geqslant k_0$. Первые $\Omega$-оценки были получены при рассмотрении проблемы круга (см. [24] и цитируемую там литературу). Приведем не самый сильный результат:
$$
\begin{equation*}
\Delta N(x)=\Omega\bigl(x^{1/4}(\ln x)^{1/4}\bigr)\qquad ((M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)).
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [6] доказано, что
$$
\begin{equation*}
\frac1T\int_T^{3T}|\Delta N(x)|\,dx\gg T^{1/4}\quad \forall\,g\in\{g_{\mathrm{I}}\}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\Delta N(x)=\Omega(x^{1/4})\quad \forall\,g\in\{g_{\mathrm{I}}\}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
В случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ в работе [28] доказана оценка вида
$$
\begin{equation*}
\Delta N(x)=\Omega\bigl((\ln x)^{1/2-\varepsilon}\bigr)\quad \forall\,\varepsilon>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот результат можно немного усилить (см. [30]):
$$
\begin{equation*}
\Delta N(x)=\Omega\biggl(\frac{(\ln x)^{1/2}}{\ln\ln x}\biggr)\qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)).
\end{equation*}
\notag
$$
Сельберг (см. [30]) доказал, что для некоторой бесконечной серии кокомпактных групп $\Gamma=\Gamma(A,p)$ имеет место гораздо более сильная $\Omega$-оценка
$$
\begin{equation}
\Delta N(x)=\Omega\biggl(\frac{x^{1/4}}{\ln x}\biggr) \qquad ((M,g)=\mathcal{F}(\Gamma),\ \ \Gamma=\Gamma(A,p)).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Кватернионная группа $\Gamma(A,p)$ является строго гиперболической [31], [32] и зависит от выбора двух целых чисел $A$, $p$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation*}
p \equiv 1 \!\!\!\pmod 4,\quad \text{$p$ -- простое},\quad \biggl(\frac{A}{p}\biggr)=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\biggl(\dfrac{A}{p}\biggr)$ – символ Лежандра, а именно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Gamma(A,p) = \begin{pmatrix} y_0+y_1\sqrt{A} & y_2\sqrt{p}+y_3\sqrt{Ap}\, \\ y_2\sqrt{p}-y_3\sqrt{Ap} & y_0-y_1\sqrt{A}\, \end{pmatrix}, \\ y_i \in \mathbb{Z},\qquad y_0^2+y_1^2A-y_2^2p-y_3^2Ap=1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Группа $\Gamma(A,p)$ не является группой общего положения. Если предположить, что оценка (17) сохраняется при деформации комплексной структуры, то получится оценка что противоречит гипотезе (14). Случай непостоянной отрицательной кривизны $K(g)<0$ рассматривался в работе [33], где, в частности, доказано, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta N(x) =\Omega\bigl((\ln x)^{K_2/(2K_1)-\varepsilon}\bigr)\quad \forall\,\varepsilon>0 \\ -K_1^2<K(g)<-K_2^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
4. Формулы следаЕсли оператор $f(\Delta)$ ядерный [34], то в некоторых случаях удается вычислить его след $\operatorname{Tr}f(\Delta)$. Это позволяет получить различные соотношения, которым должен удовлетворять спектр $\{\lambda_i\}$. Примерами таких соотношений являются формула Минакшисундарама–Плейеля [1], [34], регуляризованная формула Вороного и формула Сельберга. В интересующем нас случае $\dim M=2$ формула Минакшисундарама–Плейеля имеет следующий вид [35]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{Tr}e^{t\Delta}&=\sum_n e^{-t\lambda_n}= \frac{|F|}{4\pi}\,\frac{1}{t}+\frac{1}{8\pi}\int_M K(g)\,d\mu \nonumber \\ &\qquad+\frac{\pi t}{60}\int_M K^2(g)\,d\mu+\sum_{j=3}t^{j-1} \int_M a_j(g)\,d\mu,\qquad t\to 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Напомним, что где $\chi(M)=-2\operatorname{gen}(M)+2$ – характеристика Эйлера. Формула (20) – единственная формула следа, имеющая место для всех $(M,g)$. Остальные формулы следа относятся к специальным $(M,g)$. Регуляризованная формула Вороного [25] в случае $(M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)$ дает для гладких достаточно быстро убывающих функций $h$ следующее выражение для $\operatorname{Tr} h(\Delta)$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr} h(\Delta) =\sum_{n=0}^\infty r(n)h(n) =\pi\sum_{n=0}^\infty r(n)\int_0^\infty h(x)J_0(2\pi\sqrt{nx}\,)\,dx.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Здесь $r(n)$ – число представлений $n$ в виде $n=l^2+m^2$ ($l,m \in \mathbb{Z}$), т. е. кратность собственного значения $\lambda=l^2+m^2$, и $J_\nu(\,\cdot\,)$ – функция Бесселя. Формула Сельберга относится к случаю $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$; она позволяет для всех $h\in\{h\}_{\mathrm{s}}$ (это обозначение поясняется ниже) выразить величину
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr} h(\Delta)=\sum_{n} h(r_n),\qquad \lambda_n=\frac{1}{4}+r_n^2,
\end{equation*}
\notag
$$
через спектр $\{N(P)\}$ норм сопряженных классов группы $\Gamma$ или, что эквивалентно, через спектр $\{L\}$ длин замкнутых геодезических. Приведем формулу Сельберга для строго гиперболических групп. Кокомпактная группа $\Gamma$ называется строго гиперболической, если она не содержит эллиптических элементов [31], [32]. Условие $h \in\{h\}_{\mathrm{s}}$ означает, что $h(r)=h(-r)$, функция $h(r)$ голоморфна в полосе $|\operatorname{Im}r|\leqslant 1/2+\varepsilon$ (для любого $\varepsilon>0$) и в этой полосе $h(r)=O((1+|r|^2)^{-1-\varepsilon})$ при $|r|\to \infty$. В рассматриваемом случае формула Сельберга имеет следующий вид [30], [36], [37]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_n h(r_n) & =\frac{|\mathcal{F}(\Gamma)|}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} r \operatorname{th} (\pi r)h(r)\,dr\nonumber\\ &\quad +\sum_{\{P\}}\frac{\ln N(P_0)}{N^{1/2}(P)-N^{-1/2}(P)} \widehat{h}(\ln N(P)), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat{h}(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-iry}h(r)\,dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование в правой части формулы (22) ведется по множеству $\{P\}$ сопряженных (в $\Gamma$) классов. Каждый элемент $\gamma \in \Gamma$ сопряжен в $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ отображению $P_0=P_0(P)$ – соответствующий примитивный класс ($P=P_0^k$, $k\geqslant 1$) и $\ln N(P)$ – длина замкнутой геодезической ($\{L\}=\{\ln N(P)\}$). Рассмотрим подпространство $\{h\}_{\mathrm{s}}^1 \subset \{h\}_{\mathrm{s}}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{b_0}^\infty e^{y/2}\bigl(y|\widehat{h}(y)|+|h^{(1)}(y)|+ |h^{(2)}(y)|\bigr)\,dy<\infty, \\ b_0=\min_{\{P_0\}}\ln N(P_0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [38] показано, что для любой $h \in \{h\}_{\mathrm{s}}^1$ спектр удовлетворяет тождеству где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\Phi_\Gamma[h\mid r_n]=\frac{|\mathcal{F}(\Gamma)|}{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}r \operatorname{th} (\pi r)h(r)\,dr \\ \nonumber &\qquad-\sum_{r_n>0}\frac{1}{r_n^2+1/4}\int_{b_0}^\infty \bigl(\cos(r_ny)+2r_n\sin(r_n y)\bigr)\biggl(-\frac{1}{2}\widehat{h}(y)+ \widehat{h}^{(1)}(y)\biggr)\,dy \\ &\qquad+\Delta\Phi_\Gamma[h\mid \alpha_i(\Gamma)], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
и указан явный вид функционала $\Delta\Phi_\Gamma[h\,|\, \alpha_i(r)]$, зависящего от конечного числа параметров $\alpha_i(\Gamma)$, в частности от исключительных собственных значений $0<\lambda_n<1/4$. В случае $h(r)=e^{-t(r^2+1/4)}$ из (24) (см. также [30]) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_n e^{-tr_n^2} & =\frac{|F|}{2\pi}\,e^{-t/4}\int_0^\infty re^{-tr^2} \operatorname{th} (\pi r)\,dr+O\bigl(t^{-2}e^{-b_0^2/(4t)}\bigr) \\ &=\frac{|\mathcal{F}|}{4\pi}\,\frac{1}{t}+\sum_{k=0}^\infty c_k t^k+ O\bigl(t^{-2}e^{-b_0^2/(4t)}\bigr),\qquad t \to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ранее (см. [39]) было показано, что на $(M,g)$ с метрикой отрицательной кривизны имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\sum_n e^{-t\lambda_n^2}=\frac{|M|}{4\pi}\,\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{\{L \ne 0\}} a(L)e^{-b_0^2/(4t)}+O(1),\qquad t \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование ведется по спектру $\{L\}$ длин замкнутых геодезических. Если оператор $f(\Delta)$ не является ядерным, то его след может существовать в смысле обобщенных функций. В работе [40] показано, что для любой поверхности $(M,g)$ при условии (6) след $\operatorname{Tr} e^{\pm it\sqrt{\Delta}}$ – это обобщенная функция, сингулярный носитель которой совпадает с множеством $\{\pm L\}$. Асимптотика при $t\to 0$ величины
$$
\begin{equation*}
\langle\operatorname{Tr}\cos(\sqrt{\Delta}\,t),\omega(t)e^{-it}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
вычислена в работе [41] в предположении, что $K(g)<0$, существует единственная геодезическая длины $L$ и носитель функции $\omega(t) \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ сосредоточен в окрестности точки $t=L$.
5. Точные формулыПервым и наиболее известным примером точной (явной) формулы для величины $\Delta N(x)$ в (3) является формула Вороного (см. [25] и цитируемую там литературу). Эта формула относится к случаю $(M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)$ ($\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$) и имеет вид
$$
\begin{equation}
\Delta N(x) =\sqrt{x}\,\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{\sqrt{n}}\, J_1(2\pi\sqrt{nx}\,),
\end{equation}
\tag{25}
$$
где величина $r(n)$ была определена выше (см. (21)). Так как $r(n)=O(n^\varepsilon)$ для любого $\varepsilon>0$, то из (25) сразу следует, что
$$
\begin{equation*}
\Delta N(x)=O(x^{1/3}) \qquad ((M,g)=(\mathbb{T}^2,g_0)).
\end{equation*}
\notag
$$
В работах [42], [43] была получена точная формула для $\Delta N(x)$ в случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$ ($\Gamma$ – строго гиперболическая). При $b_0 \geqslant 2$ эта формула имеет вид
$$
\begin{equation}
\Delta N\biggl(t^2+\frac14\biggr) =\frac{1}{\pi}S(t)+f(t),
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(t) & =\sum_{r_n\geqslant 0}\bigl[\operatorname{sign}(r_n-t) \operatorname{si}(|t-r_n|b_0)-\operatorname{si}((t+r_n)b_0)- \beta_n(t)\bigr], \\ & \beta_n(t)=-\frac{r_n\cos((r_n-t)b_0)}{b_0(r_n^2+1/4)}+ \frac{1}{2}\,\frac{\sin((r_n-t)b_0}{b_0(r_n^2+1/4))} \\ &\quad +\frac{r_n\cos((r_n+t)b_0)}{b_0(r_n^2+1/4)} -\frac{1}{2}\,\frac{\sin((r_n+t)b_0)}{b_0(r_n^2+1/4)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$f(t)$ – ограниченная, непрерывная функция, имеющая при $t\to \infty$ асимптотику вида и используется стандартное обозначение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{si}x=\int_{-\infty}^x \frac{\sin y}{y}\,dy
\end{equation*}
\notag
$$
– интегральный синус. В работе [43] на основе формулы (26) показано, что существование степенного понижения для $\mathcal{F}(\Gamma)$ (при некоторых дополнительных условиях) следует из нетривиальной оценки тригонометрической суммы вида Точные формулы для рассмотренных выше примеров метрик $g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$ на $\mathbb{S}^2$ и $\mathbb{T}^2$ имеются в работах [19]–[21]. В случае $(M,g)=(\mathbb{S}^2,g_2)$ (см. (11)) в работе [19] доказано, что при выполнении некоторых УОП Это есть равенство двух почти-периодических функций из пространства Безиковича [44], [45], и по определению
$$
\begin{equation*}
f_1=_{B^p}f_2\ \ \Longleftrightarrow\ \ D_p(f_1,f_2)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_p(f_1,f_2) =\biggl[\lim_{T\to\infty}\frac1T \int_0^T|f_1(t)-f_2(t)|^p\,dt\biggr]^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [19] указан явный вид разложения функции $F(t) \in B^2$ в ряд Фурье:
$$
\begin{equation}
F(t)=_{B^2}\sum_{\{\gamma\}}A(\gamma)\cos\bigl(L(\gamma)t+ \varphi(\gamma)\bigr),
\end{equation}
\tag{28}
$$
где суммирование ведется по множеству $\{\gamma\}$ замкнутых геодезических и $L(\gamma)$ – длина геодезической $\gamma$. Аналогичный результат для $(M,g)=(\mathbb{T}^2,g_3)$ (см. (12)) получен в работах [20], [21]. В этом случае доказано, что где
$$
\begin{equation}
G(t)=_{B^1}\sum_\gamma A'(\gamma)\cos\bigl(L(\gamma)t+ \varphi'(\gamma)\bigr),
\end{equation}
\tag{30}
$$
и высказана гипотеза, что равенства (29), (30) имеют место и в $B^2$.
6. Статистические свойства спектра и гипотезы универсальностиК статистическим свойствам спектра $\{\lambda_n\}$ мы относим существование функции распределения для величины $\Delta N(x)$ и собственно статистические свойства последовательности $\lambda_n$. Для случая $(\mathbb{T}^2,g_0)$ эти вопросы рассмотрены в обзоре [25]. Общий случай $(M,g)$ кратко рассмотрен в [25; § 7], и настоящей раздел можно рассматривать как расширенный и уточненный вариант § 7 обзора [25]. Рассмотрим вопрос о существовании функции распределения для величины $\Delta N(x)$. В соответствии с определением (см. [46]) некоторая величина $F(t)$ имеет функцию распределения с плотностью $\rho_F(s)$, если для любой плотности $\rho(s)$ распределения вероятностей на $[0,1]$ и любой непрерывной функции $g(t)$ ($-\infty<t<\infty$) имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{T \to \infty}\int_0^T g(F(t))\rho\biggl(\frac{t}{T}\biggr)\,dt= \int_{-\infty}^{+\infty} g(s)\rho_F(s)\,ds
\end{equation*}
\notag
$$
и $\rho_F(s)$ не зависит от выбора $\rho(t)$. В работе [47] доказано, что функция распределения существует, если существуют непрерывные, периодические с периодом $1$ функции $a_n(t)$ и константы $\gamma_n$, линейно независимые над полем рациональных чисел, такие, что
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}\,\limsup_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^T\min\biggl\{1,\biggl|F(t) -\sum_{n\leqslant N}a_n(\gamma_nt)\biggr|\biggr\}\,dt=0,
\end{equation}
\tag{31}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty a_n(t)\,dt=0, \qquad \sum_{n=1}^\infty a_n^2(t)<\infty,
\end{equation}
\tag{32}
$$
$$
\begin{equation}
\max_{t \in [0,1]}|a_n(t)|\ll n^{1-\mu} \quad (\mu>1), \qquad \lim_{n\to\infty}n^\mu \int_0^1 a_n^2(t)\,dt=\infty.
\end{equation}
\tag{33}
$$
В работе [46] доказано, что если выполнены условия (31), (32), то $\rho_F(s)$ совпадает с плотностью распределения вероятностей случайной величины где $t_n$ – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке $[0,1]$.Общие вопросы существования функций распределения обсуждаются в работе [48]. Вопрос о существовании и свойствах функции распределения для величины $\Delta N(x)$ в случае $(\mathbb{S}^2,g_2)$ (см. (11)) рассмотрен в работе [19]. В этой работе доказано, что величина $F(t)$, определенная равенством (28), удовлетворяет условиям (31)–(33), а функция $\rho_F(s)$ ведет себя так же, как соответствующая величина для $(\mathbb{T}^2,g_0)$ (см. [21]), и
$$
\begin{equation*}
\rho_F(s)\ll \exp\{-|s|^{4-\varepsilon}\} \quad \forall\,\varepsilon>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В [20], [21] аналогичный результат доказан для $(M,g)=(\mathbb{T }^2,g_3)$ (см. (12)). Для величины $G(t)$ (см. (29)) доказано, что
$$
\begin{equation*}
\rho_G(s)\ll \exp\{-|s|^{16/9-\varepsilon}\} \quad \forall\,\varepsilon>0
\end{equation*}
\notag
$$
и высказана гипотеза, что
$$
\begin{equation*}
\rho_G(s)\ll \exp\{-|s|^{4-\varepsilon}\} \quad \forall\,\varepsilon>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В обоих указанных случаях предполагается, что выполнены некоторые УОП. Что касается случая $g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$, то оценки (15), (17) подсказывают, что и в случае $(M,g)=\mathcal{F}(\Gamma)$, где $\Gamma(A,p)$ определена формулой (18), величина $F(t)=t^{-1/2}\Delta N(t^2)$ должна была бы иметь функцию распределения, однако это не доказано. Вопросы, связанные со статистическими свойствами последовательности $\lambda_n$, рассматриваются в теории квантового хаоса [4]–[6], [49]. В этой теории вместо последовательности $\lambda_n$ принято рассматривать последовательность для которой
$$
\begin{equation*}
\widetilde{N}(x)=\#\{n \colon\widetilde{\lambda}_n \leqslant x\}= x+O(x^{1/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
В работах, посвященных квантовому хаосу, ожидаемые статистические свойства последовательности $\widetilde{\lambda}_n$ формулируются в виде гипотез универсальности. Эти гипотезы основаны на экспериментальных фактах, результатах численных экспериментов, и ни одна из них не только не доказана, но и четко не сформулирована. В частности, предполагается, что рассматриваемые метрики удовлетворяют некоторым УОП, которые явно не формулируются. В гипотезах универсальности речь идет о локальных асимптотических свойствах последовательности $\widetilde{\lambda}_n$, зависящих от поведения этой последовательности в интервалах $(\lambda,\lambda+O(\lambda^{1/2}))$ при $\lambda \to \infty$ и не зависящих от выбора $\lambda$. С учетом вышесказанного сформулируем гипотезы универсальности. Согласно этим гипотезам статистические свойства последовательности $\widetilde{\lambda}_n$ зависят только от того, интегрируем или нет геодезический поток. Если геодезический поток интегрируем ($g \in \{g_{\mathrm{I}}\}$), то последовательность $\widetilde{\lambda}_n$ распределена по Пуассону. Если геодезический поток неинтегрируем ($g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}$), то последовательность $\widetilde{\lambda}_n$ распределена как собственные значения случайных матриц из гауссова ортогонального ансамбля (см. [50]). Экспериментальной и теоретической проверке подлежат следствия из этих гипотез. В частности, это относится к равенствам
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}n^{-1}\# \{i\leqslant n\colon a\leqslant\widetilde{\lambda}_{i+1}-\widetilde{\lambda}_{i}\leqslant b\}= \int_a^b \rho(\xi)\,d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
в которых
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \rho(\xi)&=e^{-\xi}&&\qquad (g \in \{g_{\mathrm{I}}\}), \\ \nonumber \rho(\xi)&\simeq \frac{\pi}{2}\xi e^{-\pi\xi^2/4}&&\qquad (g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{34}
$$
Заметим, что равенство (34) не доказано даже в случае $(\mathbb{T}^2,g_0)$. Кроме расстояния $\widetilde{\lambda}_{i+1}-\widetilde{\lambda}_{i}$ в теории квантового хаоса рассматриваются и другие статистики, например величина
$$
\begin{equation*}
\Sigma^2(\lambda,L)=\lambda^{-1}\int_\lambda^{2\lambda} [\widetilde{N}(x+L)-\widetilde{N}(x)-L]^2\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
и ее сглаженный вариант (см. [51])
$$
\begin{equation*}
\overline\Sigma^2(\lambda,L)=\frac{1}{L}\int_0^L\Sigma^2(\lambda,\xi)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Из гипотез универсальности следует, что при $1\ll L \ll \lambda^{1/2}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \Sigma^2(\lambda,L)&=L\qquad (g \in \{g_{\mathrm{I}}\}), \\ \Sigma^2(\lambda,L)&=\frac{2}{\pi} \biggl(\ln(2\pi L)+\gamma+1- \frac{\pi^2}{8}\biggr) +O(L^{-1})\qquad (g \in \{g_{\mathrm{NI}}\}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
В работе [51] рассматривалась величина $\overline{\Sigma}^2(\lambda,L)$ в случае $\mathcal{F}(\Gamma)$, где $\Gamma$ – арифметическая или кватернионная группа [31]. Эти группы не являются группами общего положения. В работе [50], в частности, показано, что для кватернионных групп
$$
\begin{equation*}
\overline{\Sigma}^2(\lambda,L) \gg \frac{L}{\ln L}, \quad\text{где\ \ } L\sim \frac{\sqrt{\lambda}}{\ln \lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка противоречит (35), что указывает на важность УОП при рассмотрении гипотез универсальности.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|