| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества Гиперболические поля Руссари с вырожденной квадратичной частью Н. Г. Павловаabc, А. О. Ремизовa a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) b Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН c Российский университет дружбы народов
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM9893 
Реферативные базы данных:
      Многие задачи анализа и геометрии приводят к необходимости исследовать векторные поля, особые точки которых не изолированы, а образуют подмногообразие фазового пространства, чаще всего коразмерности два. В первую очередь представляют интерес локальные орбитальные нормальные формы таких полей. Орбитальность означает, что разрешается умножать векторные поля на знакопостоянные скалярные функции. Далее все векторные поля и функции по умолчанию считаются гладкими (класса $C^\infty$), если не указано противное. Р. Руссари исследовал [1] векторные поля специального типа, во всех особых точках которых выполнены следующие условия: 1) компоненты поля содержатся в идеале (в кольце гладких функций), порожденном двумя из них; 2) дивергенция поля, т. е. след его линейной части, равна нулю. В честь него мы будем далее называть такие поля $\mathscr R$-полями. В локальных координатах росток $\mathscr R$-поля в особой точке имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot x=v, \quad \dot y=w, \quad \dot z_i=a_i v+b_i w, \quad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $v$, $w$ и $a_i$, $b_i$ – гладкие функции от координат $x$, $y$ и $z=(z_1,\dots,z_n)$. Множество $S$ особых точек поля (1) задается уравнениями $v=0$, $w=0$. Спектр его линейной части в любой особой точке имеет вид $(\lambda,-\lambda,0,\dots,0)$. Росток $\mathscr R$-поля называется гиперболическим, если $\lambda^2 > 0$, эллиптическим, если $\lambda^2 < 0$, и параболическим, если $\lambda=0$. Ростки всех трех типов встречаются в различных задачах (см., например, работы [1]–[5] и приведенные в них ссылки). Ниже мы рассматриваем только гиперболические ростки, которые обозначаем ${\mathscr R}_{\rm h}$.
В работе [1] показано, что ${\mathscr R}_{\rm h}$-росток с типичной квадратичной частью гладко орбитально эквивалентен
$$
\begin{equation}
\dot x=x, \quad \dot y=-y, \quad \dot z_1=xy, \quad \dot z_i=0, \quad i=2,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Отметим, что в аналитической категории (как вещественной, так и комплексной) нормализующие ряды ${\mathscr R}_{\rm h}$-ростков почти всегда расходятся. В этой заметке мы представим гладкую орбитальную нормальную форму для ${\mathscr R}_{\rm h}$-ростков, не удовлетворяющих упомянутому выше условию типичности квадратичной части (теорема 2).
Сначала заметим, что с помощью $C^\infty$-диффеоморфизма и умножения на константу любой ${\mathscr R}_{\rm h}$-росток приводится к виду
$$
\begin{equation}
\dot x=x(1+\Phi_1(r,z)), \quad \dot y=y(-1+\Phi_2(r,z)), \quad \dot z_i=r\Psi_i(r,z), \quad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $r=xy$, а $\Phi_{j}(r,z)$, $\Psi_i(r,z)$ – гладкие функции, $\Phi_{j}(0,0)=0$, $j=1,2$. Предварительная нормальная форма (3) также установлена в [1], но более поздние результаты позволяют дать более простое доказательство. А именно, из [6] следует, что любой ${\mathscr R}_{\rm h}$-росток $C^k$-гладко ($k \geqslant 1$) эквивалентен (3), где $\Phi_{j}(r,z)$ и $\Psi_i(r,z)$ – полиномы степени $4(k+1)$ по $r$ с коэффициентами, гладко зависящими от $z$. Используя технику из [7], гладкость можно повысить до бесконечности, при этом $\Phi_{j}(r,z)$ и $\Psi_i(r,z)$ из полиномов превращаются в гладкие функции.
Условие типичности (невырожденности) квадратичной части, о котором шла речь выше, состоит в том, что в предварительной нормальной форме (3) $\Psi_i(0,0) \ne 0$ хотя бы для одного $i$. Такие ростки будем далее обозначать ${\mathscr R}_{\rm h}^1$, а ростки, для которых $\Psi_i(0,0)=0$ при всех $i=1,\dots,n$, будем обозначать ${\mathscr R}_{\rm h}^{\circ}$. Введем в рассмотрение факторполе, порожденное полем (3) в пространстве с координатами $(r,z)$. Компоненты этого поля имеют общий сомножитель $r$, сокращая который получаем
$$
\begin{equation}
\dot r=\Phi(r,z), \quad \dot z_i=\Psi_i(r,z), \quad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $r=xy$ и $\Phi(r,z)=\Phi_1(r,z)+\Phi_2(r,z)$. Согласно определению $\mathscr R$-поля, $\Phi(r,z) \equiv 0$ во всех точках центрального многообразия $S=\{x=y=0\}$, и $\Phi(r,z)=r\varphi(r,z)$ с некоторой гладкой функцией $\varphi$. Таким образом, ${\mathscr R}_{\rm h}^{\circ}$-ростки отвечают особым точкам факторполя (4), причем они, как правило, изолированы.
Доказательство. Теорема следует из очевидного факта, что в случае ${\mathscr R}_{\rm h}^1$-ростка (3) факторполе (4) имеет $n$ первых интегралов $U_1= r+f_1(r,z)$, $U_i=z_i+f_i(r,z)$, $i=2,\dots,n$, с некоторыми 1-плоскими $f_i$. Замена $z_i \mapsto U_i$, $i=2,\dots,n$, приводит поле (3) к аналогичному виду с $\Psi_i=0$, $i=2,\dots,n$, и первым интегралом $U_1=rg(r,z)$, $g(0,0) \ne 0$. После замены $y \mapsto y g(r,z)$ получаем $U_1=r$. В этом случае $\Phi(r,z) \equiv 0$, и после умножения поля на $(1+\Phi_1)^{-1}$ получаем (3) с $\Phi_1=\Phi_2=\Psi_2=\cdots=\Psi_n=0$ и $\Psi_1(0,0) \ne 0$. Наконец, с помощью замены $z_1 \mapsto h(r,z)$ росток полученного поля приводится к искомому виду (2).
Перейдем к ${\mathscr R}_{\rm h}^{\circ}$-росткам. Обозначим через $\mu_0, \mu_1,\dots,\mu_n$ собственные числа линейной части поля (4) в особой точке. Как известно (теорема Стернберга–Ченя), росток поля (4) гладко эквивалентен своей линейной части, если в наборе $\mu_0, \mu_1,\dots,\mu_n$ нет резонансов $\mu_j=s_0\mu_0+\cdots+s_n\mu_n$, $s_0+\cdots+s_n \geqslant 2$, где $s_i \in \mathbb{Z}_+$, $i,j=0,1,\dots,n$. Теорема 2. Предположим, что в наборе $\mu_0, \mu_1,\dots,\mu_n$ нет двух одинаковых чисел и нет резонансов указанного типа. Тогда ${\mathscr R}_{\rm h}^{\circ}$-росток гладко орбитально эквивалентен где $\alpha$, $\beta$ – вещественные числа. Если $\mu_i$ вещественное, то $\Psi_i=\mu_i z_i$. Комплексным парам $\mu_i=\overline{\mu}_{i+1}$ вида $\alpha_i \pm \beta_i \sqrt{-1}$ отвечают $\Psi_i=\alpha_i z_i-\beta_i z_{i+1}$, $\Psi_{i+1}=\beta_i z_i+\alpha_i z_{i+1}$. Если одно из чисел $\alpha$, $\beta$ не равно нулю, его можно сделать равным 1. Отношение $\alpha\mathbin{:}\beta$ является гладким инвариантом. Доказательство теоремы 2 также основано на анализе факторполя (4). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavRem21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|