Полиномиальная неинтегрируемость магнитных бильярдов на сфере и гиперболической плоскости

В статье рассматривается магнитный бильярд в выпуклой области с гладкой границей на поверхности постоянной кривизны в постоянном магнитном поле. Исследуется вопрос о существовании интеграла движения, полиномиального по компонентам скорости. Доказано, что если такой интеграл существует, то граница области определяет несингулярную алгебраическую кривую в $\mathbb{C}^3$. Также доказано, что для области, отличной от геодезического диска, магнитный бильярд не допускает полиномиального интеграла для всех значений магнитуды магнитного поля за исключением, быть может, конечного числа. Для доказательства основных теорем этой работы мы вводим новую динамическую систему “внешний магнитный бильярд” на поверхности постоянной кривизны, которая “двойственна” магнитному бильярду. Переход к этой динамической системе позволяет применить к магнитному бильярду методы алгебраической геометрии.
Библиография: 30 названий.