|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях)
Классификация некэлеровых поверхностей и локально конформно кэлерова геометрия
М. С. Вербицкийab, В. Вулетескуc, Л. Орнеаcd a Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, Brasil
b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
c University of Bucharest, Bucharest, Romania
d Institute of Mathematics "Simion Stoilow" of the Romanian Academy, Bucharest, Romania
Аннотация:
С позиций классификации Энриквеса–Кодаиры некэлеровы поверхности оказываются специальным случаем в рамках схемы Кодаиры. Мы доказываем результаты по классификации некэлеровых комплексных поверхностей без привлечения аппарата классификации Энриквеса–Кодаиры и выводим классификационную теорему для некэлеровых поверхностей из теоремы Бухдаля–Ламари. Мы также доказываем, что некэлеровы поверхности, не относящиеся к классу VII, являются локально конформно кэлеровыми.
Библиография: 64 названия.
Ключевые слова:
локально конформно кэлеровы поверхности, поверхность Като, эллиптическое расслоение.
Поступила в редакцию: 30.03.2019
1. Введение Настоящая статья является переработанным курсом лекций по комплексным поверхностям, который был прочитан в Независимом Московском университете в 2008 и 2012 гг. Основным источником по комплексным поверхностям является замечательная книга В. Барта, К. Хулека, К. Петерса и А. Ван де Вена [5]. Эта книга – захватывающее чтение, однако (что нередко случается с выдающимися книгами) некоторые из сюжетных линий в ней тесно переплетены с другими, так что конкретную линию порою трудно вычленить из полифонического изложения. Для книги по локально конформно кэлеровым (ЛКК) многообразиям, готовящейся к публикации, первым двум авторам настоящей статьи потребовалась классификация ЛКК-структур на (как в итоге становится ясно, некэлеровых) поверхностях. Оказалось, что некэлерову часть классификации Энриквеса–Кодаиры проще (и поучительнее) получить напрямую, вместе с классификацией ЛКК-структур1[x]1Определение ЛКК-структур и введение в их теорию см. в п. 1.2.. В настоящей статье новых результатов (почти) нет, но бо́льшая часть доказательств отличается от тех, что имеются в литературе, к примеру, в [5]. Мы стремились к замкнутости изложения. За исключением двух результатов из статьи А. Ламари [42], мы ссылаемся только на общие понятия из комплексной алгебраической геометрии, которые можно найти, например, в [21]. Основное внимание в статье уделяется некэлеровым эллиптическим поверхностям. Приводится новое доказательство того факта, что они являются главными эллиптическими расслоениями в категории орбифолдов (теорема 4.2) – это было впервые показано В. Бринжанеско в статье [12] (см. также [13]) – и что они локально конформно кэлеровы (теорема 4.15), как показал Ф. А. Белгун [6]. Мы доказываем, что все они вайсмановы; при этом возникает новое доказательство классификации вайсмановых поверхностей, данной Белгуном [6]. Мы покажем, что все неэллиптические некэлеровы поверхности относятся к классу VII (теорема 5.1). По поверхностям этого класса имеется достаточно много хорошей литературы (см., например, [23], [22], [46], [47], [56]), так что мы можем рассматривать их в меньших подробностях. Мы формулируем известные классификационные результаты, установленные по модулю гипотезы о глобальной сферической оболочке, и даем новое доказательство теоремы Брунеллы о существовании ЛКК-метрик на поверхностях Като. Из этого результата и (пока еще не полностью доказанной) гипотезы о глобальной сферической оболочке будет следовать, что все некэлеровы комплексные поверхности, за вычетом некоторых поверхностей Инуэ, являются ЛКК [6]. 1.1. Теорема Бухдаля–Ламари В работах [18], [42] Н. Бухдаль и А. Ламари дали доказательство результата, ранее известного только как следствие классификации Энриквеса–Кодаиры комплексных поверхностей. Теорема 1.1. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность. Тогда ее первое число Бетти $b_1(M)$ нечетно в том и только том случае, когда $M$ некэлерова. С другой стороны, прямое доказательство этой теоремы существенно упрощает упомянутую классификацию. В нашей статье предпринята попытка изложить бо́льшую часть классификации Энриквеса–Кодаиры для некэлеровых поверхностей, опираясь на теорему Бухдаля–Ламари и на следующий ниже вспомогательный результат (теорема 1.3), использованный Ламари в доказательстве теоремы 1.1. Наше доказательство по нескольким позициям отличается от классического, приведенного в [5]: мы не апеллируем ни к бирациональной эквивалентности, ни к кодаировской классификации эллиптических поверхностей. Мы также ставим целью классифицировать ЛКК-структуры на комплексных поверхностях. Базовые сведения о потоках и их применениях в дифференциальной геометрии см. в [21]. Напомним, что “потоки” на $M$ – это функционалы на пространстве финитных дифференциальных форм на $M$, непрерывные в $C^\infty$-топологии. Любая дифференциальная форма $\alpha$ задает поток $\tau \to \displaystyle\int_M \tau\wedge \alpha$, так что мы можем рассматривать дифференциальные формы как подпространство потоков. Замечание 1.2. Стандартные операторы и конструкции кэлеровой геометрии (к примеру, $d$, $d^*$, $\partial$, $\overline\partial$, лапласиан, разложение Ходжа) естественно продолжаются с дифференциальных форм на потоки. Соответствующие группы когомологий (де Рама, Дольбо, Ботта–Черна) для потоков совпадают с таковыми для дифференциальных форм [21]. По определению $(1,1)$-форма на комплексном многообразии $M$ размерности $\dim_{\mathbb{C}} M=n$ называется положительной, если она задается псевдоэрмитовой формой с неотрицательными собственными значениями, и строго положительной, если она эрмитова. $(n-1,n-1)$-Форма положительна, если она является произведением $n-1$ положительной формы. Говорят, что $(1,1)$-поток положителен, если его значение на любой положительной $(n-1,n-1)$-форме неотрицательно.2[x]2Исторически “положительность” дифференциальных форм трактуют, следуя французской традиции, в которой нуль “положителен”. Во избежание путаницы мы бы предложили попросту говорить о “положительности по-французски”. Для форм и потоков понятия положительности согласованы между собой [21]. Теорема 1.3. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность. Тогда на $M$ существует ненулевой точный положительный $(1,1)$-поток $\Theta$. Доказательство. См. [42; теорема 6.1]. Замечание 1.4. Существование ненулевого точного положительного $(1,1)$-потока $\Theta$ означает, что поверхность $M$ некэлерова. Действительно, пусть на $M$ имеется кэлерова форма $\omega$. Тогда $\displaystyle\int_M \omega\wedge \Theta > 0$, поскольку $\omega\wedge \Theta$ – ненулевая мера на $M$, называемая мерой массы потока [21; гл. III, замечание 1.15]. Однако это строгое неравенство невозможно, поскольку поток $\Theta$ точный. 1.2. Локально конформно кэлеровы поверхности Напомним, что комплексное многообразие $M$ размерности $\dim_{\mathbb{C}}M>1$ называется локально конформно кэлеровым (ЛКК), если на нем существует такая эрмитова форма $\omega$, что $d\omega=\theta \wedge \omega$, где 1-форма $\theta$ замкнута; см. [24]. В этом случае любое накрывающее многообразие $\widetilde M \xrightarrow{\tau} M$, на котором форма $\tau^*(\theta)=df$ точна, окажется кэлеровым с кэлеровой формой $\widetilde\omega:=e^{-f}\tau^*\omega$. Если форма $\theta$ точна, то $M$ называется глобально конформно кэлеровым. Однако, когда $\theta$ неточна, а многообразие $M$ компактно, оно оказывается некэлеровым [58]. Если вдобавок имеется голоморфный поток конформных преобразований $\rho\colon \mathbb{C} \to \operatorname{Aut}(M)$, не поднимающихся до изометрий кэлерова накрытия $(\widetilde M,\widetilde\omega)$, то $M$ называется вайсмановым многообразием. Замечание 1.5. Так как многообразие $(\widetilde M,\widetilde \omega)$ кэлерово, любое ЛКК-многообразие может быть получено как фактор кэлерова многообразия по собственному дискретному действию некоторой группы голоморфных автоморфизмов, действующих на форму $\omega$ гомотетиями.3[x]3Заметим, что конформное голоморфное отображение $\varphi\colon(\widetilde M,\widetilde\omega)\to (\widetilde M,\widetilde\omega)$ связного кэлерова многообразия размерности $\dim_\mathbb{C} \widetilde M>1$ переводит $\widetilde\omega$ в $f\widetilde\omega$, где $df=0$, поскольку $d(\varphi^*\widetilde\omega)=d(f\widetilde\omega)=df\wedge\omega=0$. Таким образом, конформный автоморфизм кэлерова многообразия – всегда гомотетия. Таким образом, ЛКК-многообразие можно определить как фактор кэлерова многообразия $(\widetilde M,\widetilde\omega)$ по собственному дискретному действию некоторой группы голоморфными гомотетиями. Определение 1.6. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность с числом Бетти $b_1(M)=1$. Она называется поверхностью класса VII, если ее размерность Кодаиры $\kappa(M)$ равна $-\infty$. Из классификации Энриквеса–Кодаиры [5] следует, что минимальные некэлеровы поверхности, не относящиеся к классу VII, являются эллиптическими. Мы докажем этот результат в теореме 4.2 (не опираясь на остальную часть классификации Энриквеса–Кодаиры). Мы также докажем, что если эллиптическая поверхность минимальна, то она вайсманова. Теорема 1.7. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность, не относящаяся к классу VII. Тогда на $M$ есть ЛКК-структура, причем на $M$ есть вайсманова ЛКК-структура, если эта поверхность минимальна. Доказательство. В силу теоремы 5.1 если поверхность $M$ минимальная, то она эллиптическая, а по теореме 4.15 она вайсманова. В силу [57] и [63] раздутия в отдельных точках не выводят из класса ЛКК-многообразий; в частности, раздутие ЛКК-поверхности остается ЛКК-поверхностью. Так что поверхность принадлежит к классу ЛКК, если ее минимальная модель является ЛКК-поверхностью, к примеру, эллиптической. Теорема доказана. Полная классификация поверхностей класса VII неизвестна, но она следовала бы из так называемой “гипотезы о глобальной сферической оболочке”, согласно которой любая минимальная поверхность $M$ класса VII, у которой $b_2>0$, содержит открытое комплексное подмногообразие $U\subset M$, биголоморфно эквивалентное окрестности стандартной сферы $S^3 \subset {\mathbb{C}}^2$, причем $M \setminus U$ связно. Поверхности, для которых это так, называются поверхностями Като. М. Брунелла показал, что поверхности Като относятся к классу ЛКК (см. работу [17] и раздел 6 далее). Из теоремы Богомолова о поверхностях класса VII с $b_2(M)=0$ (см. [10], [11], [43], [53]) вытекает, что они являются либо поверхностями Инуэ, либо поверхностями Хопфа. Поверхности Хопфа – это ЛКК-поверхности [30], [6], [48], а из трех классов поверхностей Инуэ два входят в класс ЛКК, в то время как третий содержит подкласс поверхностей, не допускающих ЛКК-структуру [57], [6]. Современное доказательство теоремы Богомолова (полученное А. Телеманом и Ц. Ли, Ш.-Т. Яу и Ф. Чжэном) основано на теории калибровочных полей. Используя методы этой теории, Телеману удалось доказать гипотезу о глобальной сферической оболочке для минимальных поверхностей класса VII с $b_2=1$ [54]. Перенося этот подход на случай $b_2>1$, он также смог показать, что любое многообразие класса VII, у которого $b_2(M)=2$, содержит цикл из рациональных кривых и, значит, может быть гладко деформировано в раздутие поверхности Хопфа [56]. Как только гипотезу о глобальной сферической оболочке удастся доказать, классификация ЛКК-поверхностей будет завершена. Если эта гипотеза верна, то все некэлеровы поверхности являются ЛКК-поверхностями, за исключением некоторого класса поверхностей Инуэ, не являющихся ЛКК в силу результатов Белгуна [6].
2. Когомологии некэлеровых поверхностей2.1. Когомологии Ботта–Черна поверхности В этом пункте мы воспроизведем некоторые рассуждения из работ [55] и [1], касающиеся когомологий Ботта–Черна. Напомним, что на компактном комплексном многообразии в любом конформном классе эрмитовых метрик можно задать метрику Годушона [29]. По определению метрика Годушона на $n$-мерном комплексном многообразии – это эрмитова метрика, эрмитова форма $\omega$ которой удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation*}
dd^c\omega^{n-1}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d^c=I dI^{-1}$ – “скрученный дифференциал” (здесь и всюду далее $I$ обозначает оператор комплексной структуры, мультипликативно продолженный на дифференциальные формы). Определение 2.1. Группа когомологий Ботта–Черна комплексного многообразия – это группа
$$
\begin{equation*}
H^{p,q}_{\rm BC}(M):= \frac{\ker d\big|_{\Lambda^{p,q}(M)}}{\operatorname{im} dd^c}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 2.2. По $dd^c$-лемме на компактном кэлеровом многообразии группы когомологий Ботта–Черна совпадают с группами когомологий де Рама и (следовательно) Дольбо (замечание 1.2). Как обычно, пространство глобально определенных $(p,q)$-форм на $M$ обозначим через $\Lambda^{p,q}(M)$. Хорошо известно (и нетрудно видеть), что комплекс
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{p-1,q-1}(M)\xrightarrow{dd^c} \Lambda^{p,q}(M) \xrightarrow{\;\,d\;\,} \Lambda^{p+q+1}(M)
\end{equation*}
\notag
$$
эллиптический; см. [41; предложение 5]. Отсюда следует, что на всяком компактном комплексном многообразии группы когомологий Ботта–Черна конечномерны. Теорема 2.3. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность. Тогда ядро естественного отображения $P\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M) \to H^2(M)$ одномерно. Доказательство. Шаг 1. Пусть $\omega$ – метрика Годушона на $M$. Рассмотрим дифференциальный оператор $D\colon f\mapsto dd^c(f) \wedge \omega$, переводящий функции в 4-формы. Ясно, что $D$ – эллиптический оператор с таким же индексом, как оператор Лапласа: $\operatorname{ind}D=\operatorname{ind}\Delta=0$, а значит, $\dim \ker D=\dim \operatorname{coker} D$. В силу хопфовского принципа максимума $\ker D$ состоит из констант, так что $\operatorname{coker} D$ одномерно. Однако
$$
\begin{equation*}
\int_M D(f)=\int_M dd^c(f) \wedge \omega=\int_M f\,dd^c \omega=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, 4-форма $\kappa$ лежит в подпространстве $\operatorname{im}D$ тогда и только тогда, когда $\displaystyle\int_M\kappa=0$.
Шаг 2. Пусть $\alpha$ – замкнутая $(1,1)$-форма. Определим ее степень формулой $\deg_\omega \alpha:=\displaystyle\int_M \omega \wedge\alpha$. Поскольку $\displaystyle\int_M dd^cf \wedge \omega=0$, возникает отображение $\deg_\omega\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})\to \mathbb{R}$. Для замкнутой $(1,1)$-формы $\alpha$ степени 0 форма $\alpha':=\alpha- dd^c(D^{-1}(\alpha\wedge \omega))$ удовлетворяет соотношению $\alpha'\wedge \omega=0$; иными словами, она $\omega$-примитивна. Для $\omega$-примитивных $(1,1)$-форм имеет место равенство $\alpha'\wedge \alpha'=-|\alpha'|^2\omega\wedge\omega$, так что
$$
\begin{equation}
\int_M \alpha'\wedge \alpha'=-\|\alpha'\|^2_\omega.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В том случае, когда $\alpha'$ представляет собой ненулевой элемент $\ker P$, это невозможно, поскольку тогда форма $\alpha'$ точная. Таким образом, в подпространстве $\ker P\subset H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})$ векторы степени 0 должны быть нулевыми. Значит, любые два вектора из $\ker P$ пропорциональны. Теорема доказана. 2.2. Первая группа когомологий некэлеровых поверхностей Обозначим когомологии Дольбо комплексного многообразия $M$ через $H^{p,q}(M)$. Ясно, что $H^{p,0}(M)$ совпадает с пространством голоморфных $p$-форм на $M$. На компактном кэлеровом многообразии голоморфные $p$-формы замкнуты, поскольку они гармонические. На некэлеровых многообразиях это, вообще говоря, не так. Однако для компактных комплексных поверхностей это все же верно. Лемма 2.4. На компактной комплексной поверхности все голоморфные 1-формы замкнуты. Пусть $\alpha\in \Lambda^{1,0}(M)$ – голоморфная 1-форма. Тогда $\overline\partial\alpha=0$, поскольку $\alpha$ голоморфна, и по той же причине $d\alpha$ является точной голоморфной $(2,0)$-формой. С другой стороны, $d\alpha\wedge d\overline\alpha$ – положительная $(2,2)$-форма, так что
$$
\begin{equation*}
0=\int_M d\alpha\wedge d\overline\alpha=\|d\alpha\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $d\alpha=0$ и $\alpha$ замкнута. Лемма доказана. Теорема 2.5. Пусть $M$ – некэлерово многообразие, а $\Theta$ – ненулевой точный положительный $(1,1)$-поток, существующий по теореме 1.3. Пусть $d\alpha=\beta$ – вещественная $(1,1)$-форма в том же классе когомологий Черна– Ботта. Тогда выполнено следующее. (i) Пусть $H^{1,0}(M)$ – пространство голоморфных 1-форм на $M$, а $\overline{H^{1,0}(M)}$ – комплексно сопряженное пространство (антиголоморфных форм). Как показывает лемма 2.4, голоморфные 1-формы замкнуты, так что определено естественное отображение $H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)} \to H^1(M, \mathbb{C})$, переводящее сумму голоморфной и антиголоморфной форм в ее класс когомологий. Утверждается, что это отображение инъективно и, более того, при подходящем выборе 1-формы $\alpha$ форма $\theta:=\alpha^{1,0}-\alpha^{0,1}$ замкнута и
$$
\begin{equation}
H^1(M)=H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)} \oplus \langle[\theta]\rangle,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
т. е. $H^1(M)$ порождается классами когомологий голоморфных форм, антиголоморфных форм и формы $\theta$. (ii) Поскольку все голоморфные формы замкнуты, антиголоморфные формы $\overline\partial$-замкнуты и им соответствуют классы когомологий Дольбо. Тем самым возникает естественное вложение $\overline{H^{1,0}(M)}\hookrightarrow H^{0,1}(M)$. Утверждается, что $H^{0,1}(M)$ порождается $\overline{H^{1,0}(M)}$ и классом Дольбо $[\theta^{0,1}]$, так что $H^{0,1}(M)=\overline{H^{1,0}(M)}\oplus \langle[\theta^{0,1}]\rangle$. Доказательство. (i) Нетривиальная линейная комбинация голоморфной и антиголоморфной форм замкнута и никогда не точна. В самом деле, если $df$ – линейная комбинация голоморфной и антиголоморфной форм, то $d^c df=0$, так что $f$ – глобально заданная гармоническая функция на компактном многообразии. Такая функция должна быть постоянной по принципу максимума. Значит, естественное отображение $H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)} \xrightarrow{\kappa} H^1(M,\mathbb{C})$ инъективно. Для доказательства (i) остается показать, что коразмерность образа этого отображения равна 1 и что $H^1(M,\mathbb{C})$ порождено классом $\theta$ и образом отображения $\kappa$.
Ясно, что ядро естественного отображения $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ совпадает с $\overline{H^{1,0}(M)}$. Образ этого отображения лежит в одномерном ядре отображения $P\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M) \to H^2(M)$ (теорема 2.3). Значит, у образа $\kappa$ коразмерность не больше 1. У класса $\partial[\alpha^{0,1}]\in H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ ненулевая степень, поскольку $\partial\alpha^{0,1}+\overline{\partial\alpha^{0,1}}=\beta$, а значит, $\partial [\alpha^{0,1}]$ порождает $\ker P=\langle[\beta]\rangle=\langle[\Theta]\rangle$.
Заменяя $\alpha^{0,1}$ формой из того же класса когомологий Дольбо при необходимости, можно считать, что $\beta=\partial\alpha^{0,1}$ и $\overline\partial\alpha^{0,1}=0$. Поскольку $d\alpha$ – вещественная $(1,1)$-форма, разность $\theta:=\alpha^{1,0}-\alpha^{0,1}$ замкнута. Так как у ее $(0,1)$-компоненты тот же класс когомологий Дольбо, что и у $-\alpha^{0,1}$, форма $\theta$ неточна. Значит, она порождает коядро вложения $H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)}\xrightarrow{\kappa} H^1(M,\mathbb{C})$. Тем самым мы доказали равенство (2.2).
(ii) Рассмотрим отображение $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$. В силу утверждения (i) класс когомологий $\partial[\theta^{0,1}]$ в $H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ ненулевой. Поскольку оператор $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ обращается в нуль на антиголоморфных формах, класс когомологий Дольбо формы $\theta^{0,1}$ не лежит в $\overline{H^{1,0}(M)}$, и мы получаем инъективное отображение
$$
\begin{equation}
\overline{H^{1,0}(M)}\oplus \langle[\theta^{0,1}]\rangle\longrightarrow H^{0,1}(M).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Ядро оператора $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ порождено антиголоморфными формами, и мы получаем точную последовательность
$$
\begin{equation}
0\longrightarrow \overline{H^{1,0}(M)}\longrightarrow H^{0,1}(M) \longrightarrow H^{1,1}_{\rm BC}(M).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Теорема 2.3 показывает, что образ оператора $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ имеет размерность не выше 1, значит, он порождается классом $\partial[\theta^{0,1}]$. Из последовательности (2.4) мы видим, что инъективное отображение (2.3) на самом деле сюръективно. Тем самым утверждение (ii) доказано.
Теорема доказана. 2.3. Вторые когомологии некэлеровых поверхностей Утверждение 2.6. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность. Тогда
$$
\begin{equation*}
\overline{H^{0,2}(M)}=H^{2,0}(M)=H^0(\Omega^2(M)).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. По двойственности Серра $H^{0,2}(M)=H^0(K_M)^*$, и эта группа имеет ту же размерность, что и $H^0(\Omega^2(M))=H^0(K_M)=H^{2,0}(M)$. Естественное отображение $R\colon H^{2,0}(M) \to \overline{H^{0,2}(M)}$ инъективно, поскольку его ядро состоит из $\partial$-точных голоморфных форм $\alpha=\partial\beta$; однако для таких форм $\alpha$ выполнено равенство $0=\displaystyle\int_Md\beta\wedge \overline\alpha= \displaystyle\int_M\alpha\wedge \overline\alpha=\|\alpha\|^2$, а это возможно, только если $\alpha=0$. Как показано выше, размерности рассматриваемых пространств равны, и, следовательно, $R$ – изоморфизм. Утверждение доказано. Следствие 2.7 [5; теорема IV.2.8]. Для компактной комплексной поверхности спектральная последовательность Ходжа–де Рама–Фрелихера вырождается на листе $E_1$. Доказательство стандартно: спектральная последовательность Ходжа– де Рама–Фрелихера вырождается, когда размерность не падает.
Мы уже доказали вырождение для $H^1(M)$ в теореме 2.5. Двойственность Серра и двойственность Пуанкаре обеспечивают вырождение спектральной последовательности на шаге $E_1$ в члене $H^3(M)$. Но тогда она должна вырождаться на листе $E_1$ и в члене $H^2(M)$, поскольку каждый раз, когда $d_k\ne 0$, в случае нетривиальности $d_k\colon E^{p,q}_{k-1}\to E^{p-k+1,q+k}_{k-1}$ группа $E^{p,q}_{k-1}$ заменяется на $\ker d_k$, а $E^{p-k+1,q+k}_{k-1}$ заменяется на $\operatorname{coker}d_k$. Тогда полная размерность пространств $\bigoplus\limits_{p+q=d}E^{p,q}_{k-1}$ и $\bigoplus\limits_{p+q=d}E^{p-k+1,q+k}_{k-1}$ уменьшается. Однако для $d=1$ и $d=3$ она уже минимальна, так что $d_k=0$ при любом $k\geqslant 2$. Следствие доказано. Замечание 2.8. Мы показали, что, аналогично случаю кэлеровых поверхностей, имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
H^2(M,\mathbb{C})=H^{2,0}(M) \oplus H^{1,1}(M) \oplus H^{0,2}(M)
\end{equation*}
\notag
$$
и $H^{2,0}(M)=\overline{H^{0,2}(M)}$ (см. утверждение 2.6). Лемма 2.9. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность. Тогда естественное отображение $H^{1,1}_{\rm BC}(M) \to H^{1,1}(M)$ (из группы когомологий Ботта–Черна в когомологии Дольбо) сюръективно. Доказательство. Пусть $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ есть $\overline\partial$-замкнутая форма, представляющая класс когомологий Дольбо $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$. Ясно, что $\alpha$ представима замкнутой $(1,1)$-формой тогда и только тогда, когда класс Черна–Ботта $[\beta]\in H^{2,1}_{\rm BC}(M)$ формы $\beta:=\partial \alpha$ нулевой. Действительно, если $\beta=\partial\overline\partial\eta$, то форма $\alpha-\partial\eta$ является $\overline\partial$-замкнутой.
Поскольку спектральная последовательность Ходжа–де Рама–Фрелихера вырождается на листе $E_1$, а форма $\beta$ является $\partial$-точной и $\overline\partial$-замкнутой, $\beta=\overline\partial\gamma$ для некоторой формы $\gamma\in \Lambda^{2,0}(M)$. Однако коядро отображения $\partial\colon \Lambda^{1,0}(M)\to \Lambda^{2,0}(M)$ порождается голоморфными 2-формами, а они всегда замкнуты (утверждение 2.6). Значит, $\overline\partial(\Lambda^{2,0}(M))= \overline\partial\partial(\Lambda^{1,0}(M))$, и класс Черна–Ботта формы $\beta\in \overline\partial(\Lambda^{2,0}(M))$ равен нулю. Лемма доказана. Предложение 2.10 [5; теорема IV.2.14]. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность. Тогда форма пересечений отрицательно определена на образе группы $H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})$ в когомологиях де Рама. Доказательство. Выберем метрику Годушона $\omega$ на поверхности $M$. Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ – некоторый класс когомологий. Как показывает лемма 2.9, $[\alpha]$ представляется замкнутой $(1,1)$-формой $\alpha$. Рассмотрим функционал степени $\deg_\omega\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$, определенный в п. 2.1. Поскольку для точных $(1,1)$-потоков $\Theta$ имеем $\deg_\omega\Theta> 0$, каждый класс когомологий $[\alpha]\in H^{1,1}(M)\subset H^2(M)$ можно представить замкнутой $(1,1)$-формой $\alpha$ степени $\deg_\omega\alpha=0$. Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы 2.3, мы можем найти функцию $f\in C^\infty(M)$, для которой форма $\alpha-dd^c f$ является $\omega$-примитивной. Заменим $\alpha$ на $\alpha-dd^c f$; тогда $\displaystyle\int_M \alpha\wedge \alpha=-\|\alpha\|^2_\omega<0$, как в (2.1). Предложение доказано. Замечание 2.11. В [13; теорема 2.37] (см. также [14], [15]) показано, что для комплексной поверхности алгебраической размерности 0 форма пересечений отрицательно определена на пространстве $H^{1,1}(M) \cap H^2(M,\mathbb{Q})$ (т. е. на рациональной группе Нерона–Севери). Этот важный результат вытекает и из предложения 2.10. 2.4. Обращение в нуль произведений голоморфных $1$-форм У предложения 2.10 есть интересное следствие. Предложение 2.12. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность. Тогда для любых голоморфных 1-форм $\alpha$, $\beta$ внешнее произведение $\alpha\wedge \beta$ равно нулю, а произведение $\alpha\wedge \overline\beta$ точное. Доказательство. Шаг 1. Пусть $\alpha$, $\beta$ – голоморфные 1-формы. Тогда $\alpha\wedge \beta$ – голоморфная 2-форма и $\displaystyle\int_M \alpha\wedge \beta\wedge \overline\alpha\wedge \overline\beta>0$ за исключением случая, когда $\alpha\wedge \beta=0$.
Шаг 2. Форма пересечений на $H^{1,1}(M)$ отрицательно определена по предложению 2.10. Следовательно, для любой формы $\eta\in H^{1,1}(M)$ из равенства $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta=0$ следует, что $\eta=0$. Положим $\eta=\alpha\wedge \overline\alpha$ и $\rho=\beta\wedge \overline\beta$. Тогда ясно, что $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta= \displaystyle\int_M \rho\wedge \overline\rho=0$, откуда следует, что $\displaystyle\int_M \alpha\wedge \beta\wedge \overline\alpha\wedge \overline\beta=0$, и, значит, $\alpha\wedge \beta=0$ (шаг 1).
Шаг 3. Чтобы установить, что форма $\eta:=\alpha\wedge \overline\beta$ точная, снова обратимся к предложению 2.10. Если бы форма $\eta$ не была точной, выполнялось бы неравенство $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta<0$; однако $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta=0$, как показано на шаге 2. Следовательно, $\eta$ точная.
Предложение доказано. 2.5. Структура операции умножения в $H^1(M)$ для некэлеровой поверхности без кривых Ниже нам потребуется следующая лемма. Лемма 2.13. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность, а $\Theta$ – точная вещественная $(1,1)$-форма. Тогда существует замкнутая форма $\theta \in \Lambda^1(M)$, для которой $d^c\theta=\Theta$. Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что $\Theta$ – точная вещественная $(1,1)$-форма, представляющая ненулевой класс когомологий в $H^{1,1}_{\rm BC}(M)$. По теореме 2.5, (ii), класс когомологий формы $\Theta$ лежит в образе естественного отображения $\partial\colon H^{0,1}(M) \to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ и имеет представление $\partial\widetilde\theta^{0,1}$, где $\widetilde\theta$ – замкнутая форма. Следовательно, $\Theta-d^c\widetilde\theta=d^cdf$ для некоторой функции $f\in C^\infty(M)$. Рассмотрим форму $\theta:=\widetilde\theta+ d f$. Это замкнутая 1-форма, причем $d^c\theta=\Theta$. Лемма доказана. В этом пункте доказывается следующая структурная теорема для операции умножения в $H^1(M)$. Фактически она справедлива и в общей ситуации, но нам она нужна только в случае поверхностей, не содержащих комплексных кривых. Теорема 2.14. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность без кривых, а $\theta \in \Lambda^1(M)$ – замкнутая 1-форма такая, что класс когомологий формы $d^c\theta$ в $H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})$ отличен от нуля (лемма 2.13). Через $W \subset \Lambda^1(M)$ обозначим подпространство, порожденное голоморфными и антиголоморфными формами, и отождествим $W$ с его образом в $H^1(M)=W\oplus\langle\theta\rangle$ (теорема 2.5). Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Умножение $W \wedge W \to H^2(M)$ тождественно равно нулю. Умножение $W \wedge \theta \to H^2(M)$ инъективно. (ii) Пусть $\theta^c:=I(\theta)$. Тогда для любой ненулевой формы $x \in W$ форма $x\wedge \theta^c$ замкнута и представляет ненулевой элемент группы $H^2(M)$. (iii) На подпространствах $W \wedge \theta$, $W \wedge \theta^c\subset H^2(M)$ спаривание Пуанкаре тривиально. Спаривание Пуанкаре элементов этих подпространств невырождено. Доказательство. Шаг 1. Умножение $W \wedge W \to H^2(M)$ тождественно нулевое в силу предложения 2.12. Докажем, что для ненулевой формы $x\in W$ форма $x\wedge \theta^c$ замкнута и представляет ненулевой элемент группы $H^2(M)$.
Без ограничения общности можно считать, что $W\ne 0$. Для любой формы $x\in W$ замкнутая $(1,1)$-форма $x\wedge\overline x$ когомологична нулю (предложение 2.12). Действительно, $(x\wedge\overline x)^2=0$, и спаривание Пуанкаре отрицательно определено на образе $H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ в когомологиях де Рама в силу предложения 2.10.
Для произвольной ненулевой голоморфной формы $x$ форма $\Theta:=x\wedge \overline x$ положительная, ненулевая и точная. Зафиксируем $\Theta$ и, как в теореме 2.5, (ii), выберем замкнутую форму $\theta$, для которой $d^c\theta=\Theta$. Пусть $y\in W$. Тогда $d(y\wedge \theta^c)= y \wedge x\wedge \overline x=0$ (предложение 2.12), так что форма $y\wedge \theta^c$ замкнута.
Шаг 2. Мы докажем инъективность отображений $W \xrightarrow{\;x\wedge \theta\;} H^2(M)$ и $W \xrightarrow{x\wedge \theta^c} H^2(M)$, если покажем, что формула
$$
\begin{equation*}
x,y \longrightarrow \int_M x\wedge y \wedge \theta\wedge \theta^c,\qquad x,y\in W,
\end{equation*}
\notag
$$
задает невырожденное спаривание на $W$. Для этого достаточно показать, что спаривание элементов подпространств, указанных в формулировке, невырождено. Таким образом, (i) и (ii) следуют из (iii).
На образах $W\wedge \theta$ и $W\wedge\theta^c$ подпространства $W$ в $H^2(M)$ спаривание Пуанкаре обращается в нуль, поскольку $\theta\wedge\theta=\theta^c \wedge\theta^c=0$. Чтобы показать, что спаривание между подпространствами $W\wedge \theta$ и $W\wedge \theta^c$ невырождено, рассмотрим голоморфную 1-форму $x\in W$. Для завершения доказательства утверждения (iii) теоремы достаточно показать, что интеграл $\displaystyle\int_M\sqrt{-1}\,x\wedge\overline x\wedge\theta\wedge\theta^c$ положителен. Форма $\sqrt{-1}\,x\wedge \overline x \wedge \theta \wedge \theta^c$ положительная, поскольку она является произведением $(2,0)$-формы и комплексно сопряженной к ней. Она ненулевая, если только $x$ не пропорциональна $(1,0)$-компоненте формы $\theta$, которую мы обозначим через $\theta^{1,0}$.
Шаг 3. Остается показать, что $\theta^{1,0}$ не пропорциональна никакой голоморфной форме; именно здесь используется, что на $M$ нет голоморфных кривых: в этом случае множество нулей любой 1-формы $x\in W$ конечно.
Пусть $x\in W$ – голоморфная форма, пропорциональная $\theta^{1,0}$. Тогда вне множества нулей $S$ формы $x$ определена такая гладкая функция $\alpha$, что $\theta^{1,0}=\alpha x$. Без ограничения общности будем считать, что $d\theta^{1,0}=x \wedge \overline x$ (шаг 1). Тогда $\overline\partial\alpha=\overline x$, откуда следует, что $dd^c \alpha=0$ вне $S$. В этом случае $\alpha$ локально является вещественной частью голоморфной функции; по теореме Хартогса о продолжении $\alpha$ определена на $M$ глобально как гладкая функция. Значит, $\alpha=0$ по принципу максимума, поскольку оператор $dd^c$ эллиптический.
Теорема доказана. Следствие 2.15. Пусть $M$ – компактная поверхность, не содержащая кривых, а $W \subset H^1(M,\mathbb{C})$ – подпространство, порожденное голоморфными и антиголоморфными формами. Тогда $W$ – рациональное подпространство, т. е. существует такое подпространство $W_{\mathbb{Q}} \subset H^1(M,\mathbb{Q})$, что $W=W_{\mathbb{Q}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$. Доказательство. Для $x\in H^1(M)$ через $L_x\colon H^1(M)\to H^2(M)$ обозначим отображение $y \to x\wedge y$. Без ограничения общности можно считать, что $W\ne 0$; тогда $\dim W\geqslant 2$. В силу теоремы 2.14 имеем $\operatorname{rk} L_\theta=\dim W\geqslant 2$ и $\operatorname{rk} L_x=1$ при $x\in W$. Следовательно, $W$ – пространство всех таких векторов $x\in H^1(M)$, что $\operatorname{rk}L_x=1$. Поскольку умножение на $H^*(M)$ определено над полем $\mathbb{Q}$, пространство $W\subset H^1(M)$ рационально. Следствие доказано. Замечание 2.16. Следствие 2.15 верно для всех поверхностей. Соответствующее доказательство мы оставляем читателю в качестве упражнения.
3. Пространства Барле Пространства Барле – это пространства циклов, т. е. замкнутых комплексно-аналитических подмножеств фиксированной размерности данного комплексного многообразия, неприводимым компонентам которых приписаны некоторые кратности (натуральные числа). Они похожи на пространства Дуади, которые являются пространствами замкнутых комплексно-аналитических подпространств (структурные пучки которых могут содержать нильпотентные элементы), но не совпадают с ними. С деталями теории пространств Барле и их свойствами можно ознакомиться в книге [4]. Пусть $M$ – метрическое пространство. Метрика (Громова–)Хаусдорфа на множестве ${\mathscr C}$ замкнутых подмножеств $M$ определяется следующим образом: $d(X,Y)$ равно нижней грани таких $\varepsilon$, для которых $X$ лежит в $\varepsilon$-окрестности $Y$, а $Y$ лежит в $\varepsilon$-окрестности $X$. Когда $M$ компактно, соответствующая топология на ${\mathscr C}$ не зависит от выбора метрики на $M$. Она называется топологией (Громова–)Хаусдорфа. Для дальнейшего изложения важно, что пространство Барле является приведенным комплексно-аналитическим пространством с топологией, согласующейся с топологией (Громова–)Хаусдорфа на множестве комплексно-аналитических подмножеств. Пусть $\mathfrak{B}_k(M)$ – пространство Барле $k$-циклов на многообразии $M$. Для каждого $k\geqslant0$ в $\mathfrak{B}_k(M)$ возникает универсальное семейство циклов, носители которых образуют замкнутое комплексно-аналитическое подмножество ${\mathfrak B}^m_k(M) \subset M \times {\mathfrak B}_k(M)$ – “отмеченное пространство Барле” пар вида (комплексно-аналитический цикл, точка на его носителе). Забывающее отображение ${\mathfrak B}^m_k(M)\to {\mathfrak B}_k(M)$ равноразмерное, относительной размерности $k$, а забывающее отображение $\Psi\colon{\mathfrak B}^m_k(M) \to M$ комплексно-аналитическое. В частности, для любой неприводимой компактной компоненты $Z$ пространства Барле верно следующее: если $Z^m$ – соответствующий отмеченный цикл, то по теореме Реммерта о собственном отображении образ $\Psi(Z^m)$ является комплексно-аналитическим подмножеством. Геометрически это означает, что для любого компактного комплексно-аналитического семейства $Z$ циклов из $M$ объединение носителей этих циклов – комплексное подмножество $M$. В дальнейшем мы будем пользоваться следующим результатом, доказанным для кривых в [61; следствие 2.19] и для дивизоров в [3]. Теорема 3.1. Пусть $(M,I)$ – компактное комплексное многообразие, а $\omega$ – эрмитова форма. Предположим, что $dd^c\omega^k=0$ для некоторого целого $k>0$. Тогда каждая связная компонента $Z$ пространства Барле ${\mathfrak B}_k(M)$ компактна. Доказательство. По теореме Бишопа [8], предел по (Громову–)Хаусдорфу семейства компактных комплексно-аналитических подмножеств имеет комплексную структуру, если эрмитов объем этих подмножеств ограничен. Поскольку пространство замкнутых подмножеств $M$ компактно в топологии (Громова–)Хаусдорфа, множество замкнутых компактных $k$-мерных аналитических подмножеств объема, ограниченного константой $C\in \mathbb{R}$, тоже компактно.
Поэтому для доказательства компактности достаточно показать, что, как функция $[S]\in Z$, объем $\operatorname{Vol}(S)$ постоянен.
Пусть $X$ – отмеченное семейство, ассоциированное с $Z$, а $\pi_M\colon X \to M$ и $\pi_X\colon X \to Z$ – забывающие отображения. Тогда функцию объема $\operatorname{Vol}\colon Z\to \mathbb{R}_{>0}$ можно представить в виде $\operatorname{Vol}=(\pi_X)_*\pi_M^* \omega^k$, где $(\pi_X)_*$ – прямой образ дифференциальной формы (вообще говоря, это не форма, но корректно определенный поток).
Пусть $k$ – размерность циклов, параметризованных точками $Z$. Поскольку взятие прямого и обратного образа дифференциальной формы коммутирует с операторами $d$ и $d^c$, имеем
$$
\begin{equation*}
dd^c\operatorname{Vol}=(\pi_X)_*\pi_M^*(dd^c\omega^k)
\end{equation*}
\notag
$$
(к примеру, см. [ 36; (8.12)], [ 60; теорема 2.10] или [ 35; предложение 1.9]). Следовательно, $dd^c\operatorname{Vol}=0$ при условии, что $dd^c\omega^k=0$.
Функции, удовлетворяющие уравнению $dd^c f=0$, называются плюригармоническими. С помощью локальной $dd^c$-леммы легко видеть, что плюригармоническая функция локально является суммой голоморфной и антиголоморфной функций.
По теореме Бишопа для любого $C\in \mathbb{R}$ множество $\operatorname{Vol}^{-1}(]{-}\infty,C])$ компактно, так что функция ${-}\!\operatorname{Vol}$ достигает максимума на $X$. Однако плюригармоническая функция, достигающая максимума, постоянна по строгому принципу максимума Хопфа. Значит, на каждой связной компоненте пространства Барле функция $\operatorname{Vol}$ постоянна. Следовательно, каждая из этих компонент компактна в силу результата Бишопа. Теорема доказана. Применяя этот результат к пространству кривых на комплексной поверхности и используя форму Годушона $\omega$ (п. 2.1), получаем следующее полезное утверждение. Следствие 3.2. Предположим, что $M$ – компактная комплексная поверхность, ${\mathfrak B}_1(M)$ – пространство Барле 1-циклов на $M$ и $Z$ – связная компонента этого пространства. Тогда $Z$ компактна.
4. Некэлеровы эллиптические поверхности4.1. Связность Гаусса–Манина Для дальнейшего изложения напомним некоторые основы теории связности Гаусса–Манина (см. [32] или [62]). Пусть $\pi\colon M \to B$ – гладкая собственная субмерсия гладких многообразий. По теореме Эресманна слои $\pi$ диффеоморфны. Тогда $\pi$ является локально тривиальным расслоением и $k$-е когомологии слоев для каждого $k$ образуют локальную систему, называемую локальной системой Гаусса–Манина. В силу соответствия Римана–Гильберта категория локальных систем эквивалентна категории векторных расслоений с плоскими связностями. Расслоение, ассоциированное с локальной системой Гаусса–Манина, называется расслоением Гаусса–Манина, а связность на нем называется связностью Гаусса–Манина. Ее можно построить следующим образом. Пусть $T_{\rm vert} M\subset TM$ – расслоение векторов, касательных к слоям отображения. По определению связность Эресманна $e$ на $M$ – это разложение
$$
\begin{equation*}
TM= T_{\rm vert} M \oplus T_{\rm hor} M
\end{equation*}
\notag
$$
(точнее, некоторый выбор такого разложения). Идентифицируя $T_{\rm hor} M$ с обратным образом $\pi^*TB$, можно в качестве прообраза векторного поля $X\in TB$ взять векторное поле $X_e\in T_{\rm hor} M$. Сечение векторного расслоения, ассоциированного с послойными когомологиями на многообразии $M$, задается послойно замкнутой дифференциальной формой $\eta\in\Lambda^k(M)$. Для всякого векторного поля на $B$, поднятого до горизонтального векторного поля $X_e$ на $M$, производная Ли $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta$ замкнута на слоях $\pi$: в самом деле, соответствующие диффеоморфизмы переводят слои в слои, а послойно замкнутые формы в послойно замкнутые. Поскольку выбор разных связностей Эресманна $e$ и $e'$ приводит к векторным полям $X_e$ и $X_{e'}$, удовлетворяющим соотношению $Y:=X_e-X_{e'}\in T_{\rm vert} M$, а форма $\operatorname{Lie}_{Y}\eta$ послойно точна, класс когомологий ограничения $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta$ на слой не зависит от выбора связности Эресманна. Пусть теперь $[\eta]$ – семейство классов когомологий формы $\eta$ на слоях $\pi$, рассматриваемое как сечение расслоения Гаусса–Манина. Положим
$$
\begin{equation}
\nabla_X[\eta]:=[\operatorname{Lie}_{X_e}\eta],
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $[\operatorname{Lie}_{X_e}\eta]$ – семейство классов когомологий формы $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta$ на слоях $\pi$. Эта формула задает связность Гаусса–Манина $\nabla$. Это замечание нужно нам для доказательства следующей леммы. Лемма 4.1. Пусть $\pi\colon M \to B$ – гладкое расслоение, а $\eta$ – $p$-форма, замкнутая на слоях $\pi$. Рассмотрим обратный образ $\pi^*(\Lambda^*(B))$ как подпространство $\Lambda^*(M)$. Предположим, что $d\eta$ лежит в произведении $\pi^*(\Lambda^2(B))\wedge \Lambda^{p-1}(M)\subset \Lambda^{p+1}(M)$. Тогда сечение $[\eta]$ расслоения Гаусса–Манина является параллельным. Доказательство. Используем формулу (4.1): $\nabla_X[\eta]=[\operatorname{Lie}_{X_e}\eta]$. По формуле Картана $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta=i_{X_e}d\eta+d(i_{X_e}\eta)$. Здесь второй член справа точен, а первый обращается с нуль на слоях, поскольку $d\eta\in \pi^*(\Lambda^2(B))\wedge \Lambda^{p-1}(M)$. Лемма доказана. 4.2. Эллиптические слоения на некэлеровых поверхностях Варианты теоремы, приведенной ниже, имеются (с другими доказательствами) в [13; теорема 3.17] и [12]. Теорема 4.2. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность, на которой определено непостоянное одномерное семейство дивизоров. Тогда на $M$ можно определить сюръективное голоморфное отображение поверхности $M$ на кривую $\pi\colon M \to S$, общие слои которого – изоморфные эллиптические кривые. Вдобавок, если $M$ минимально, то все слои $\pi$ – эллиптические кривые. Доказательство. Шаг 1. Можем считать, что все дивизоры указанного семейства – неприводимые кривые (если у дивизора все компоненты неподвижны, то и сам дивизор неподвижен). Пусть $S$ – база семейства. Это приведенное одномерное комплексное пространство, а кривые из семейства (взятые с кратностью единица) образуют аналитическое семейство $1$-циклов на $M$. В силу универсального свойства пространств Барле последнее семейство возникает из универсального посредством некоторого отображения $S \to {\mathfrak B}_1(M)$. Заменим $S$ неприводимой компонентой пространства ${\mathfrak B}_1(M)$, содержащей образ этого отображения. Как показано в следствии 3.2, связные компоненты ${\mathfrak B}_1(M)$ компактны. Следовательно, $S$ компактно, носитель $S^m \subset M \times S$ семейства $S$ неприводим и его образ $\Psi(S^m) \subset M$ при проекции $\Psi\colon M \times S \to M$ – неприводимое замкнутое аналитическое подмножество. Поскольку исходное семейство непостоянно, $\Psi(S^m)$ не может быть кривой, так что $\Psi(S^m)=M$.
В силу предложения 2.10 у комплексных кривых $C\subset M$ с фундаментальным классом $[C]\ne 0$ отрицательные индексы самопересечения. Так что если $U \subset S$ – плотное открытое подмножество $S$, параметризующее неприводимые циклы кратности единица, а $U^m \subset S^m$ – его прообраз в $S^m$, то собственное отображение $\Psi\colon S^m \to M$ инъективно на $U^m$. Это, прежде всего, означает, что размерность $S$ в точности равна $1$, а размерность $S^m$ равна $2$. Далее, $\Psi$ взаимно однозначно над дополнением $M \setminus \Psi(S^m \setminus U^m)$, и поскольку $S^m \setminus U^m$ – конечное дизъюнктное объединение “плохих” слоев проекции $S^m \to S$, образ $\Psi(S^m \setminus U^m) \subset M$ не более чем одномерен. Заметим, наконец, что, хотя эти “плохие” слои соответствуют разным циклам, у них могли бы быть общие неприводимые компоненты, т. е. они могли бы пересекаться. Однако если бы $\Psi$ стягивало кривую $C \subset S^m$, то $C$ лежала бы в разности $S^m \setminus U^m$, так что каждая ее связная компонента лежала бы в “плохом” слое. С другой стороны, по определению $\Psi$ инъективно на всех слоях проекции на $S$, в том числе и на “плохих”, так что такой кривой $C$ не существует.
Итак, $\Psi\colon S^m \to M$ – собственное отображение с конечными слоями, взаимно однозначное над дополнением к аналитическому подмножеству положительной коразмерности. Поскольку многообразие $M$ гладкое и, значит, нормальное, $\Psi$ – изоморфизм, так что получаем голоморфное отображение $\pi\colon M \cong S^m \to S$ на неприводимую компактную кривую. Рассмотрев факторизацию Штейна этого отображения, мы можем считать, что $S$ – нормальная и, значит, гладкая кривая.
Шаг 2. Теперь пусть $C$ – общий слой отображения $\pi$. С помощью стандартного изоморфизма $\pi^*(\Omega^1(S))=N^*_\pi M$ между обратным образом кокасательного пучка и конормальным расслоением к слоям $\pi$ получаем точную последовательность, иногда называемую формулой присоединения:
$$
\begin{equation}
0 \longrightarrow \pi^*(\Omega^1(S))\longrightarrow \Omega^1 (M) \longrightarrow \Omega^1_\pi (M) \longrightarrow 0,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\Omega^1_\pi(M)$ – расслоение голоморфных дифференциалов на слоях $\pi$. Эта последовательность имеет смысл в неособых точках $\pi$, но она и интересует нас только вблизи общего слоя $C$.
Из точной последовательности (4.2) получаем равенство $K_M\big|_C=K_C$, т. е. ограничение на слой $C$ канонического расслоения многообразия $M$ дает каноническое расслоение слоя. Поскольку у $C$ нулевой индекс самопересечения, этот слой гомологичен нулю (предложение 2.10). В результате имеем $\displaystyle\int_C c_1(K_M)=0$, так что степень $K_C$ равна нулю. Значит, $C$ – эллиптическая кривая.
Шаг 3. Вернемся к отображению $\pi\colon M \to S$, построенному выше. На этом этапе мы докажем, что все гладкие слои этого отображения изоморфны.
Пусть $S_0\subset S$ – множество его регулярных значений, а $H$ – расслоение Гаусса–Манина, ассоциированное с первыми когомологиями слоев $\pi$. Пусть $\theta$ – замкнутая $1$-форма, определенная в лемме 2.13. Поскольку класс когомологий формы $\theta$ не поднимается с $S$ (теорема 2.5), класс когомологий ограничения $\theta\big|_C$ нетривиален. С другой стороны, $d^c\theta=\Theta$ зануляется на слоях $\pi$. Мы получаем, что $\theta^{1,0}\big|_C$ – нетривиальная голоморфная $1$-форма. Поскольку форма $\theta$ замкнута, она параллельна относительно связности Гаусса–Манина. Форма $d^c\theta=\Theta$ принадлежит пространству $\pi^*(\Lambda^2(B))$. Значит, форма $I(\theta)$ замкнута на слоях $\pi$. По лемме 4.1 форма $I(\theta)$, а значит, и ходжевы компоненты формы $\theta$ задают параллельные сечения расслоения Гаусса–Манина.4[x]4То же заключение вытекает из теоремы Шмидта о “неподвижной части” [52; теорема 7.22]: для любой поляризуемой вариации структур Ходжа над квазипроективной базой $(1,0)$- и $(0,1)$-компоненты параллельного сечения $\theta$ также постоянны относительно связности Гаусса–Манина.
Мы получили базис $\theta^{1,0}$, $\theta^{0,1}$ для $H$. Значит, вариация структур Ходжа, индуцированная периодами эллиптических кривых на $H$, тривиальна. Это означает, что соответствующее эллиптическое расслоение изотривиально.
Заметим, что по теореме Грауэрта–Фишера [25] изотривиальность означает локальную тривиальность, так что расслоение $\pi$ локально тривиально над $S_0$.
Шаг 4. Осталось показать, что каждый слой $\pi$ содержит эллиптическую кривую и не содержит больше ничего, если $M$ минимально.
Пусть $s \in S \setminus S_0$ – критическое значение отображения $\pi$. Выберем такую достаточно малую окрестность $U \subset S$ точки $s$, не содержащую других критических значений, что область $M_U=\pi^{-1}(U)$ ретрагируется на особый слой $C_s=\pi^{-1}(s)$ (такая ретракция строится в работах [49], [19]; см. также [45]). Кроме того, выберем точку $u$ в проколотом круге $U^o=U \setminus \{s\}$ и точку $m$ в ее прообразе $C_u=\pi^{-1}(u) \subset M_U$ и положим
$$
\begin{equation*}
M_U^o=\pi^{-1}(U^o)=M_U \setminus C_s \subset M_U.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку вещественная коразмерность $C_s \subset M$ не меньше $2$, отображение $\pi_1(M_U^o,m) \to \pi_1(M_U,m)$ сюръективно, так что отображение
$$
\begin{equation*}
H_1(M_U^o,\mathbb{Z}) \longrightarrow H_1(M_U,\mathbb{Z}) \cong H_1(C_s,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
и его рациональная версия
$$
\begin{equation}
H_1(M_U^o,\mathbb{Q}) \longrightarrow H_1(M_U,\mathbb{Q}) \cong H_1(C_s,\mathbb{Q})
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
также сюръективны. Из спектральной последовательности Лере видно, что $H_1(M_U^o,\mathbb{Q}) \cong H_1(C_u,\mathbb{Q}) \oplus \mathbb{Q}\langle \alpha \rangle$, где $\alpha$ – произвольный класс с нетривиальным образом $\pi(\alpha) \in \mathbb{Q} \cong H_1(U^o,\mathbb{Q})$. В частности, возникают индуцированное отображение специализации $H_1(C_u,\mathbb{Q}) \to H_1(C_s,\mathbb{Q})$ и соответствующее ему отображение в гомологиях с коэффициентами в $\mathbb{Z}$. Теперь рассмотрим “мультисечение” $\sigma\colon\widetilde{U} \to M_U$ проекции $\pi\colon M_U \to U$, т. е. конечнократное накрытие $\widetilde{U} \to U$ круга $U$, разветвленное в точке $s \in U$ и пропускающееся через $\pi$, и пусть $\alpha=\sigma(1)$ – образ образующей $1 \in \mathbb{Q}$ при отображении $\sigma\colon\mathbb{Q}=H_1(\widetilde{U}^o,\mathbb{Q}) \to H_1(M_U^o,\mathbb{Q})$. Тогда отображение (4.3) переводит $\alpha$ в нуль, так что отображение специализации $H_1(C_u,\mathbb{Q}) \to H_1(C_s,\mathbb{Q})$ тоже оказывается сюръективным.
Заметим теперь, что, поскольку $U$ – круг, кэлерова форма $\omega_S$ является $dd^c$-точной на $U$, так что $\omega_S=\overline\partial\partial \varphi$ для некоторого $\varphi\in C^\infty (U)$. Заменяя $\theta^{1,0}$ на $\gamma:=\theta^{1,0}-\partial\varphi$, получим $(1,0)$-форму $\gamma$ с такими же ограничениями на слои, однако теперь она удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation*}
d\gamma=d\theta^{1,0}-d\partial\varphi= \omega_S-\overline\partial\partial\varphi=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, форма $\gamma$ голоморфна и замкнута на $M_U$, а потому задает класс когомологий де Рама $[\gamma]$.
Введем обозначения $P=H_1(C_u,\mathbb{Z})$ и $P'=H_1(C_s,\mathbb{Z})$ и рассмотрим отображения
$$
\begin{equation}
P \longrightarrow P' \longrightarrow \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где первая стрелка – отображение специализации, а вторая получается вычислением значений $[\gamma]$ на рассматриваемых циклах. Из шага 2 известно, что $C_u$ – эллиптическая кривая $E$, так что $P \cong \mathbb{Z}^2$ – решетка ранга $2$, а отображение (4.4) – отображение периодов, реализующее отождествление $E\cong \mathbb{C}/P$. В частности, отображение $P \to \mathbb{C}$ инъективно. Но тогда и отображение специализации $P \to P'$ инъективно, а поскольку отображение $P \otimes \mathbb{Q} \to P' \otimes \mathbb{Q}$ сюръективно, получаем, что $P'\otimes \mathbb{Q} \cong P \otimes \mathbb{Q}$ и $P \subset P'$ – подгруппа некоторого конечного индекса $n$.
Положим $G=P'/P$ и заметим, что $G$, будучи фактором группы гомологий $H_1(M_U,\mathbb{Z}) \cong P'$, является также фактором фундаментальной группы $\pi_1$. Пусть $\eta\colon M'_U \to M_U$ – соответствующее неразветвленное $n$-кратное накрытие Галуа с группой Галуа $G$. По определению отображение $H_1(M'_U,\mathbb{Z}) \to H_1(M_U,\mathbb{Z})= P'$ пропускается через $P$. Рассмотрим отображение $\pi \circ \eta\colon M'_U \to U$, и его штейнову факторизацию $\pi \circ \eta=\nu \circ \pi'$ в композицию разветвленного конечнократного накрытия $\nu\colon U' \kern-1pt \to U$ и голоморфного отображения $\pi'\colon M'_U \to U'$ со связными слоями. Тогда для любой точки $u \in U^o$ отображение $\pi_1(C_u) \to \pi_1(M_U) \to G$ тривиально по построению, так что накрытие $\eta$ тривиально над $C_u$, и $C'_u=\eta^{-1}(C_u)$ – несвязное объединение $n$ экземпляров $E \cong C_u$, транзитивно переставляемых действием группы $G$. По определению эти компоненты соответствуют точкам множества $\nu^{-1}(u)$, так что $\nu\colon U' \to U$ – неразветвленное $n$-кратное накрытие области $U^o \subset U$. Поскольку $M'_U$ связно, многообразие $U'$ связно, и, поскольку оно нормальное, а значит, гладкое, это круг, а $\nu\colon U' \to U$ оказывается стандартным $n$-кратным накрытием $z \mapsto z^n$. Следовательно, $G\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ – циклическая группа, образующая которой действует на $U'$ умножениями на корень из единицы.
Теперь положим $C_s'=\eta^{-1}(C_s)$, выберем точку $m \in C'_s$ и рассмотрим отображение $\operatorname{Alb}\colon M'_U \to E=\mathbb{C}/P$ типа Альбанезе, переводящее точку $m' \in M_U'$ в интеграл $\displaystyle\int_l \eta^*\gamma$, где $l\colon [0,1] \to M'_U$ – произвольный путь, соединяющий точки $m$ и $m'$ (по модулю $P$ этот интеграл не зависит от выбора пути). Тогда $\operatorname{Alb}$ отождествляет каждую компоненту кривой $C'_u$, $u \in U^o$, с $E$, а произведение $\operatorname{Alb} \times \pi'\colon M'_U \to E \times U'$ – собственное отображение, являющееся изоморфизмом над $\nu^{-1}(U^o)$. Значит, это сюръективное рациональное отображение, группа $\pi_1(M'_U,m) \cong P$ абелева, а отображение
$$
\begin{equation*}
H^1(E,\mathbb{Z}) \cong H^1(E \times U',\mathbb{Z}) \longrightarrow H^1(M'_U,\mathbb{Z}) \cong H^1(C'_s,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом. Более того, $C'_s \to E$ – сюръективное собственное отображение, и, следовательно, у $C'_s$ есть компонента $C$, доминирующая кривую $E$ и потому имеющая род $\geqslant 1$ (причем могут также иметься и другие компоненты). Однако если $C''_s$ – нормализация $C'_s$, то отображение $H^1(E,Z) \cong H^1(C'_s,\mathbb{Z}) \to H^1(C''_s,\mathbb{Z})$ сюръективно. Следовательно, $H^1(E,\mathbb{Z}) \cong H^1(C,\mathbb{Z})$, так что $C \cong E$, в то время как остальные компоненты $C'_s$ – рациональные кривые с тривиальными группами $H^1$. Если $M$ минимально, то других компонент нет и $M'_U \cong E \times U'$.
Для завершения доказательства остается заметить, что $G \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ действует на $M'_U$ без неподвижных точек, и поскольку при этом единственная нерациональная компонента $C \cong E$ кривой $C'_s$ переводится в себя, возникает действие на $E$ без неподвижных точек. Следовательно, образующая $1 \in P'/P \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ действует сдвигами на элемент $n$-кручения $e\in E=\mathbb{C}/P$, и отображение $P' \to \mathbb{C}$ инъективно, так что $P' \cong \mathbb{Z}^2$ и слой $C_s=C'_s/G$ состоит из эллиптической кривой $E'=E/G=\mathbb{C}/P'$ и нескольких рациональных кривых (которых нет в минимальном случае).
Теорема 4.2 доказана. Следствие 4.3. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность с $b_1(M)>3$. Тогда на $M$ определено эллиптическое расслоение. Доказательство. Теорема 2.5 означает, что $\dim H^{1,0}(M)=(b_1(M)-1)/2$, и, следовательно, $\dim H^0(\Omega^1(M))\geqslant 2$. По предложению 2.12 все глобально определенные голоморфные 1-формы на $M$ пропорциональны в каждой точке. Рассмотрим пучок $L\subset \Omega^1(M)$ ранга 1, порожденный голоморфными 1-формами. Если $\dim H^{1,0}(M)=\dim H^0(L)>1$, то дивизоры нулей сечений этого пучка образуют непрерывное семейство кривых на $M$ и мы можем использовать теорему 4.2. Следствие доказано. Замечание 4.4. Доказанный выше результат не означает, что $\pi$ – субмерсия. В действительности у $\pi$ могут быть кратные слои. Основной локальный пример – это логарифмическое преобразование Кодаиры. Для эллиптической кривой $E=\mathbb{C}/P$ и точки кручения $e \in E$ некоторого порядка $n$ рассмотрим фактор
$$
\begin{equation*}
M_U(E,e)=(E \times U')/(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $U'$ – единичный круг, а образующая $1 \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ действует на кривой $E$ сдвигами на $e$ и действует на круге $U'$ умножением на корень степени $n$ из единицы. У этого действия нет неподвижных точек, так что $M_U(E,e)$ – гладкое многообразие, причем определено голоморфное отображение $M_U(E,e) \to U=U'/(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, где $U$ – тоже круг. Как мы видели на шаге 4 доказательства теоремы 4.2, этот локальный пример универсален: если $M$ минимально, то все многообразия $M_U=M'_U/(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ – этого типа. 4.3. Изотривиальные эллиптические расслоения Предложение 4.5. Предположим, что $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность, на которой определено эллиптическое расслоение $\pi\colon M \to B$. Пусть $C$ – общий слой $M$. Тогда определено естественное голоморфное действие $C$ на $M$, которое транзитивно на слоях и свободно на слоях кратности единица. Доказательство. Назовем пары точек $(a,b)$ и $(a_1,b_1)$ на гладкой кривой $T$ рода 1 рационально эквивалентными, если существует сдвиг $T$, переводящий $(a,b)$ в $(a_1,b_1)$. Ясно, что множество $\operatorname{Jac}(T)$ таких пар, рассматриваемых с точностью до рациональной эквивалентности, изоморфно самому $T$ с фиксированной точкой $(x,x)$, которую можно считать единичным элементом группы. Будем рассматривать $T$ как торсор над $\operatorname{Jac}(T)$.5[x]5Торсор над группой $G$ – это множество с заданным на нем свободным и транзитивным действием $G$.
Рассмотрим относительный якобиан $\operatorname{Jac}(M)$ многообразия $M$ над шаром $B$ (см. [44]), т. е. фактор произведения $M\times_B M$ по модулю рациональной эквивалентности: две точки $x,y\in M\times_B M$ рационально эквивалентны, если их можно соединить рациональной кривой. Относительный якобиан можно локально интерпретировать с помощью относительного отображения Альбанезе (см. замечание 4.4 и шаг 4 доказательства теоремы 4.2).
Отображение $\pi\colon \operatorname{Jac}(M)\to B$ – это локально тривиальное расслоение с глобально определенным сечением, так что оно тривиально. Естественное послойное действие $\operatorname{Jac}(M)=C\times B$ на $M$ задает действие на $M$, свободное и транзитивное на общих слоях.
Это действие транзитивно на всех слоях. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\{(x,y,c) \in M\times_B M\times_B \operatorname{Jac}(M)\mid (x,y)\sim c\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это комплексно-аналитическое подмножество пространства $M\times_B M\times_B \operatorname{Jac}(M)$. По теореме Реммерта о собственном отображении его проекция $V$ на $M\times_B M$ – замкнутое множество. Поскольку $V$ содержит все регулярные точки отображения $M\times_B M\to B$, получаем, что $V=M\times_B M$. Предложение доказано. Определение 4.6. Пусть $M$ – комплексное многообразие, на котором задано действие компактного комплексного тора $T$, с орбитами одинаковой размерности. Предположим, что факторотображение $\pi\colon M \to S$ корректно определено. Тогда $\pi\colon M \to S$ называется изотривиальным торическим расслоением (или изотривиальным эллиптическим расслоением, если $\dim_\mathbb{C} T=1$). Замечание 4.7. Некоторые авторы называют изотривиальным эллиптическим расслоением расслоение, все гладкие слои которого изоморфны одной и той же эллиптической кривой, причем все особенности сводятся к кратным слоям. В работах [13] и [12] аналогичный объект называется quasi-bundle. Замечание 4.8. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение со слоем $C$ над кривой $S$. Свяжем с $\pi$ следующую структуру орбифолда на $S$. Для кратного слоя $R=\pi^{-1}(s)$ расслоения $\pi$ рассмотрим группу $\Gamma_R\subset C$, являющуюся ядром естественного действия $C$ на $R$. Рассмотрев фактор $M/\Gamma_R$, мы получим другое расслоение, локально тривиальное в окрестности $s$. Гладкое сечение этого расслоения в окрестности $s$ порождает $\Gamma_R$-инвариантное мультисечение $\widetilde U \to U$ расслоения $\pi\colon \pi^{-1}(U) \to U$. Тогда $U$ можно получить факторизацией конечного порядка многообразия $\widetilde U$ и $\pi$ поднимается до локально тривиального расслоения на $\widetilde U$. Замечание 4.9. Мы установили, что изотривиальное эллиптическое расслоение $\pi\colon M \to S$ над кривой задает на этой кривой структуру орбифолда и относительно этой структуры $\pi$ локально тривиально. Такие же рассуждения проходят для любой базы $S$ независимо от ее размерности. Для упрощения обозначений и рассуждений мы будем обращаться с гладкими расслоениями над орбифолдами так же, как с обычными гладкими расслоениями, и использовать стандартную терминологию, не добавляя “в смысле орбифолдов” всякий раз, когда упоминается гладкость. Бо́льшая часть стандартных результатов и построений рутинно распространяются на категорию орбифолдов; единственное важное для нас исключение обсуждается ниже в замечании 4.12. Топология и геометрия изотривиальных торических расслоений и главных торических расслоений довольно тщательно анализировались в работе [33]. Для наших целей будет полезна следующая теорема. Заметим, что в рамках категории орбифолдов изотривиальное торическое расслоение можно рассматривать как локально тривиальное главное торическое расслоение. Вслед за [33] определим классы Черна, ассоциированные с изотривиальными торическими расслоениями следующим образом. Теорема 4.10. Пусть $T(S)$ – пучок гладких функций на $S$ со значениями в торе $T$. Пусть $\widetilde T=\mathbb{R}^n$ – универсальное накрытие $T$, а $\widetilde T(S)$ – пучок ростков гладких $\widetilde T$-значных функций на $S$. Через $\mathbb{Z}^n(S)$ обозначим постоянный пучок со слоем $\mathbb{Z}^n$. Тогда точная последовательность пучков
$$
\begin{equation*}
0 \longrightarrow \mathbb{Z}^n(S) \longrightarrow \widetilde T(S)\longrightarrow T(S)\longrightarrow 0
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует точную последовательность когомологий
$$
\begin{equation*}
0=H^1(S,\widetilde T(S)) \longrightarrow H^1(S,TS) \longrightarrow H^2(S,\mathbb{Z}^n(S)) \longrightarrow H^1(S,\widetilde T(S))=0
\end{equation*}
\notag
$$
и биективное соответствие между множеством $H^1(T(S))$ главных торических расслоений и группой когомологий $H^2(\mathbb{Z}^n(S))=(H^2(S,\mathbb{Z}))^n$. Доказательство. Это очевидно (см. детали в [33]). Определение 4.11. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное торическое расслоение со слоем $T=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$. Тогда классы $n$-мерных когомологий, связанные с $\pi$, как в теореме 4.10, называются классами Черна изотривиального торического расслоения. Эти классы задаются отображением $H_1(T,\mathbb{Z}) \to H^2(S,\mathbb{Z})$. Когда $H^2(S,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$, классы Черна $\pi$ можно понимать как отображения $H_1(T,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$, т. е. элементы двойственной решетки $H_1(T,\mathbb{Z})^*=H^1(T,\mathbb{Z})$. В этой ситуации имеет смысл говорить про “класс Черна”. Замечание 4.12. В случае, когда $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение над компактной кривой, имеем $H^2(S,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$. Следовательно, такое торическое расслоение однозначно определено вектором $c_1(\pi) \in \mathbb{Z}^2=(H^2(S,\mathbb{Z}))^2$. Напомним, что вектор $v$ решетки $\mathbb{Z}^n$ называется примитивным, если $v$ не делится на целые числа $n>1$. Для примитивного вектора $v$ решетки $\Lambda=\mathbb{Z}^2$ существует вектор $w\in \Lambda$, для которого $\Lambda=\langle w,v\rangle$. Следовательно, класс Черна изотривиального эллиптического расслоения над кривой определяется (с точностью до изоморфизма $\Lambda$) наибольшим $n \in \mathbb{Z}$ таким, что $c_1(\pi)$ делится на $n$. С учетом этого замечания будем трактовать $c_1(\pi)$ как неотрицательное целое число. Оно равно нулю для $v=0$ и равно наибольшему целому делителю $v$ при $v\ne 0$. Заметим, что, когда $S$ – орбифолд, первый класс Черна по-прежнему корректно определен и классифицирует изотривиальные векторные расслоения, но уже неверно, что $H^2(S,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ – в когомологиях может быть кручение. Докажем теперь, что изотривиальное эллиптическое расслоение $\pi\colon M \to S$ над кривой, у которого $c_1(\pi)$ не является элементом кручения, получается как фактор тотального пространства некоторого обильного $\mathbb{C}^*$-расслоения. Для начала нам понадобится следующий топологический результат. Утверждение 4.13. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение над компактной кривой $S$ с общим слоем $C$. Предположим, что $c_1(\pi)$ имеет бесконечный порядок. Тогда естественное отображение $H_1(C) \to H_1(M)$ имеет ранг 1. Более того, существует такая нормальная подгруппа $G\subset \pi_1(M)$ с $\pi_1(M)/G=\mathbb{Z}$, для которой соответствующее $\mathbb{Z}$-накрытие индуцирует бесконечное $\mathbb{Z}$-накрытие кривой $C$. Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
$$
\begin{equation}
H_2(S,\mathbb{Q})\overset{\delta}{\longrightarrow} H_1(C,\mathbb{Q})\overset{\psi}{\longrightarrow} H_1(M,\mathbb{Q}) \longrightarrow H_1(S,\mathbb{Q})\longrightarrow 0,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
следующую из спектральной последовательности Лере для рассматриваемого расслоения. Легко видеть, что $\delta$ двойственно к классу Черна $\pi$. Следовательно, ранг отображения $\psi\colon H_1(C,\mathbb{Q}) \to H_1(M,\mathbb{Q})$ равен 1, если порядок $c_1$ бесконечен, и равен 2, если $c_1$ – элемент кручения. Значит, существует такой элемент $v\in \pi_1(C)$, что у его образа в $\pi_1(M)$ порядок бесконечен. Рассмотрим гомоморфизм $H_1(M,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$, не обращающийся в нуль на $\psi(H_1(C))$. Поскольку $H_1(M)= {\pi_1(M)}/{[\pi_1(M),\pi_1(M)]}$, отображение $v$ задает гомоморфизм групп $\pi_1(M) \to \mathbb{Z}$, нетривиальный на $\pi_1(C)=H_1(C,\mathbb{Z})$. Утверждение доказано. Предложение 4.14. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение над компактной кривой $S$, а $C$ – его общий слой. Рассмотрим такое $\mathbb{Z}$-накрытие $\varphi\colon\widetilde M\to M$, что $\varphi^{-1}(C)\to C$ – бесконечное $\mathbb{Z}$-накрытие. Тогда $\widetilde M$ – тотальное пространство главного $\mathbb{C}^*$-расслоения, ассоциированного с некоторым линейным расслоением $L$ на $M$. Более того, поверхность $M$ можно получить факторизацией тотального пространства $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ ненулевых векторов из $L$ по голоморфному автоморфизму $q\colon S \to S$, действующему на $L$ эквивариантно и линейно на слоях. Наконец, автоморфизм $q\colon S \to S$ имеет конечный порядок и $|c_1(L)|$ совпадает с $c_1(\pi)$. Доказательство. Поскольку $\varphi^{-1}(C)\to C$ есть $\mathbb{Z}$-накрытие, пространство $\widetilde M$ является главным $C^*$-расслоением над $S$. Пусть $L$ – ассоциированное линейное расслоение. Тогда $\widetilde M=\operatorname{Tot}(L^*)$ и $M$ получается из $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ факторизацией по действию циклической группы автоморфизмов, порожденной автоморфизмом $\widetilde q\colon \widetilde M \to \widetilde M$, коммутирующим с $\mathbb{C}^*$-действием. Поэтому $\widetilde q$ задает голоморфный автоморфизм $q$ кривой $S$. Однако все автоморфизмы $\mathbb{C}^*$, коммутирующие с $\mathbb{C}^*$-действием, задаются умножением на число. Следовательно, $\widetilde q$ задает голоморфное сечение $\lambda\in \operatorname{Hom}(L,q^*(L))$. Слои $\pi\colon M \to S$ компактны, так что автоморфизм $q$ имеет конечный порядок.
Класс Черна расслоения $L$ вычисляется по $U(1)$-расслоению, ассоциированному с $L$, которое гомотопически эквивалентно пространству $\widetilde M$. Значит, $c_1(L)$ равен классу Черна $c_1$ расслоения на окружности, ассоциированного с $\mathbb{C}^*$-расслоением $\widetilde M \to S$. Однако класс $c_1$ расслоения $\widetilde M \to S$ равен $\pm c_1(\pi)$ по построению (знак $\pm$ связан с неоднозначностью определения класса $c_1$ торического расслоения: см. замечание 4.12). Предложение доказано. 4.4. Теорема Бланшара и локально конформно кэлеровы структуры на некэлеровых поверхностях Основной результат настоящего пункта – это следующая теорема, доказательство которой приводится в конце этого пункта. Теорема 4.15 [6; теорема 1]. Пусть $M$ – компактная некэлерова минимальная поверхность, на которой можно задать эллиптическое расслоение. Тогда $M$ вайсманова. Мы воспользуемся теоремой Бланшара (см. [9] или [51]), которую для целей настоящего случая удобно использовать в следующем виде. Теорема 4.16. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение. Тогда $M$ кэлерова в том и только том случае, когда $c_1(\pi)$ – элемент кручения. Доказательство. Предположим, что $c_1(\pi)$ – элемент кручения, и рассмотрим точную последовательность
$$
\begin{equation*}
0 \longrightarrow H^1(S,\mathbb{Q}) \longrightarrow H^1(M,\mathbb{Q}) \longrightarrow H^1(C,\mathbb{Q})\overset{\delta^*}{\longrightarrow} H^2(S,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
следующую из спектральной последовательности Лере. Как показано в доказательстве утверждения 4.13, $\delta^*=0$ тогда и только тогда, когда $c_1(\pi)$ – элемент кручения. Однако если $\delta^*\ne 0$, то обратный образ $\pi^*(\omega_S)$ формы объема точен, что для кэлерова многообразия $M$ невозможно по замечанию 1.4.
Теперь пусть $c_1(\pi)$ – элемент кручения или, что то же, $\delta^*=0$. С помощью предложения 4.14 поверхность $M$ представляется в виде фактора тотального пространства $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ по действию автоморфизма, имеющего вид $\varphi\colon S \to S$ на базе $S$ и действующего на слои эндоморфизмом умножения на число $\lambda\colon L \to \varphi^* L$, $|\lambda|\ne 0$. Поскольку $c_1(L)=\pm c_1(\pi)$ – элемент кручения, на этом расслоении вводится плоская эрмитова связность. Обозначим соответствующее преобразование монодромии через $\rho$. Поскольку $\rho$ действует изометриями на слоях $L$, на слоях расслоения $L^\circ/\lambda$, представляющих собой эллиптические кривые, мы можем выбрать $\rho$-инвариантную кэлерову метрику $\omega_F$. Продолжим $\omega_F$ на $M$ с помощью плоской эресманновой связности на $\pi\colon M \to S$. Мы получим замкнутую положительную $(1,1)$-форму $\widehat\omega_F$ на $M$, строго положительную на слоях $\pi$; сумма $\omega:=\widehat\omega_F+\pi^*(\omega_S)$ является замкнутой положительной $(1,1)$-формой, которая почти всюду строго положительна. Тогда $\omega^2>0$, что противоречит отрицательной определенности формы пересечений на $H^{1,1}(M)$ (предложение 2.10). Теорема доказана. Доказательство теоремы 4.15 (см. [59; теорема 3.5 и следующее за ней замечание] для регулярного случая, а также см. [64]). Если многообразие $M$ некэлерово, то по предложению 4.14 оно получается факторизацией пространства $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ по действию эндоморфизма $\lambda\colon L \to \varphi^* L$, где $c_1(L)\ne 0$. Заменяя при необходимости расслоение $L$ на дуальное, мы можем считать $L$ обильным. Выберем на $L$ эрмитову структуру, кривизна которой является положительной $(1,1)$-формой на $S$, и пусть $\psi\in C^\infty(\operatorname{Tot}(L^\circ))$ – функция $\psi(v)=|v|^2$.
Добьемся, чтобы изоморфизм $\lambda\colon L \to \varphi^* L$ имел постоянную длину. Поскольку у $\varphi$ конечный порядок, кривизну $\Theta$ расслоения $L$ всегда можно представить $\varphi$-инвариантной формой. Стандартное применение $dd^c$-леммы позволяет найти метрику на $L$ с кривизной $\Theta$. Тогда кривизна расслоения $\operatorname{Hom}(L,\varphi^*L)$ равна $\varphi^*(\Theta)-\Theta=0$. Следовательно, $\operatorname{Hom}(L,\varphi^*L)$ – плоское унитарное расслоение; любое сечение $\lambda\in \operatorname{Hom}(L,\varphi^*L)$ оказывается голоморфным сечением плоского унитарного расслоения и, следовательно, имеет постоянную длину.
В силу [7; (15.19)] $dd^c\psi$ – кэлерова форма на $\operatorname{Tot}(L^\circ)$. Тогда $\lambda$ действует на $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ голоморфными гомотетиями, так что фактормногообразие $M=\operatorname{Tot}(L^\circ)/\langle \lambda\rangle$ локально конформно кэлерово. Вдобавок этот фактор вайсманов, поскольку стандартное действие $\mathbb{C}^*$ на $\operatorname{Tot}(L^*)=\widetilde M$ оказывается действием голоморфными гомотетиями; см. [37].
5. Поверхности класса VII В этом разделе будет доказана следующая теорема. Теорема 5.1. Пусть $M$ – минимальная некэлерова компактная комплексная поверхность. Тогда $M$ изотривиальная эллиптическая или относится к классу VII (или и то, и другое). Доказательство. Шаг 1. Поскольку $b_1(M)>0$ и
$$
\begin{equation*}
H_1(M,\mathbb{Z})=\pi_1(M)/[\pi_1(M),\pi_1(M)],
\end{equation*}
\notag
$$
у фундаментальной группы $\pi_1(M)$ существует подгруппа любого заданного конечного индекса $r$. Пусть $\sigma\colon M_1\to M$ – соответствующее накрытие. Тогда $M_1$ – компактное многообразие. Поскольку $\chi(\mathscr{O}_{M})=(c_1^2+c_2)/12$ выражается через кривизну, видим, что $\chi(\mathscr{O}_{M_1})=d\chi(\mathscr{O}_{M})\geqslant d$ для каждого $d$-листного накрытия $\sigma\colon M_1\to M$. За исключением случая, когда $\chi(\mathscr{O}_{M})=0$, можно найти накрытие $M_1$, для которого $\chi(\mathscr{O}_{M_1})<-3$ или $\chi(\mathscr{O}_{M_1})>3$. В первом случае многообразие $M_1$ эллиптическое в силу следствия 4.3. Во втором случае для канонического расслоения $K_{M_1}$ имеем $\dim H^0(K_{M_1})\geqslant 2$, так что у него есть сечения, порождающие непрерывное семейство дивизоров. Следовательно, при $\chi(\mathscr{O}_{M})\ne 0$ в конечнолистном накрытии $M_1$ имеется непрерывное семейство дивизоров. Тогда такое непрерывное семейство есть и в $M$; по теореме 4.2 оно эллиптическое.
Шаг 2. Предположим, что $b_1(M)=3$, но поверхность $M$ неэллиптическая. Тогда $\chi(\mathscr{O}_{M})=0$, а значит, $h^{0,1}(M)=2$ и $h^{0,2}(M)=1$, и те же равенства верны для всех неразветвленных накрытий $M$. Докажем, что на $M$ нет кривых.
Сначала покажем, что $c_1(M)^2=(K_M)^2=0$. Предположим, что это не так. Тогда $c_1(M)^2<0$, так что расслоение $K_M$ нетривиально, а поскольку $h^{0,2}(M)= 1$, то $K_M=\mathscr{O}(D)$ для некоторого эффективного дивизора $D=\displaystyle\sum_ia_iD_i$. Если $(D_i)^2 < 0$ и $(K_M \cdot D_i) < 0$ для некоторого $i$, то $D$ есть $(-1)$-кривая, что невозможно, поскольку $M$ минимальна. Если $(D_i)^2=0$, то кривая $D_i$ гомологична нулю в силу предложения 2.10. В любом случае $(K_M \cdot D_i)=0$, так что $(K_M)^2=\displaystyle\sum_ia_i(K_M,D_i)=0$ – противоречие.
Заметим, что равенство $c_1(M)^2=0$ означает, что
$$
\begin{equation*}
0=\chi(\mathscr{O}_{M})=\frac{c_1(M)^2+c_2(M)}{12}= \frac{c_2(M)}{12}=\frac{\chi(M)}{12}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
b_2(M)=b_1(M)+b_3(M)-b_0(M)-b_4(M)=6-2=4.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, то же верно для любого неразветвленного накрытия $M_1$ поверхности $M$.
Допустим теперь, что $M$ содержит неприводимую кривую $C$. Тогда по формуле присоединения арифметический род $C$ равен
$$
\begin{equation*}
p_a(C)=\frac{(C)^2+(K_M \cdot C)}{2}+1,
\end{equation*}
\notag
$$
а так как $(C)^2 \leqslant 0$ и $(K_M)^2=0$, то $(K_M \cdot C)=0$ и, следовательно, $p_a(C) \leqslant 1$. В этом случае либо $C$ – гладкая рациональная кривая, либо она рациональна с одним нодом или рациональна с одним каспом, либо она гладкая эллиптическая. Во всяком случае $b_1(C) \leqslant 2$. Поскольку $b_1(M)=3 > b_1(C)$, получаем неразветвленное накрытие $M_1 \to M$ произвольной кратности $d$, тривиальное над $C$. Значит, оно содержит непересекающиеся кривые $C_1,\dots,C_d$ с одинаковыми индексами самопересечения $l=(C_i)^1$, $i=1,\dots,d$.
Далее, если $l < 0$, то классы когомологий кривых $C_i$ порождают $d$-мерное подпространство в $H^2(M_1,\mathbb{Q})$, так что $d \leqslant b_1(M_1)=4$. Это приводит к противоречию, поскольку $d$ может быть любым.
В противном случае $l=0$ и все кривые $C_i$ гомологичны нулю. Пусть $D$ – их объединение. Рассмотрим короткую точную последовательность
$$
\begin{equation}
0 \longrightarrow \mathscr{O}(-D) \longrightarrow \mathscr{O}_{M_1} \longrightarrow \bigoplus_i \mathscr{O}_{C_i}\longrightarrow 0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Из соответствующей длинной точной последовательности
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}=H^0(\mathscr{O}_{M_1}) \longrightarrow \mathbb{C}^d= \bigoplus_i H^0(\mathscr{O}_{C_i})\longrightarrow H^1(\mathscr{O}(-D))
\end{equation*}
\notag
$$
видно, что $\dim H^1(M_1,L) \geqslant d-1$, где $L:=\mathscr{O}(-D)$. С другой стороны, $\chi(L)=\chi(\mathscr{O}_{M_1})=0$, поскольку $c_1(L)=[D]=0$, и для любого линейного расслоения $L'$ на $M_1$ выполнено неравенство $\dim H^0(M_1,L') \leqslant 1$ – иначе на $M_1$, а значит, и на $M$ существовало бы нетривиальное семейство дивизоров и поверхность была бы эллиптической по теореме 4.2. Итак, размерности $\dim H^0(M_1,L)$ и $\dim H^2(M_1,L)=\dim H^0(M_1,K_{M_1} \otimes L^*)$ не превосходят $1$, а $d \leqslant 3$. Мы снова пришли к противоречию.
Шаг 3. Можно доказать, что все поверхности с $b_1(M)=3$ и $\chi(\mathscr{O}_M)=0$ – эллиптические. Рассуждая от противного, предположим, что $M$ – не эллиптическая. Однако тогда на $M$ нет комплексных кривых (см. шаг 2). Рассмотрим пространство $W\subset H^1(M)$, порожденное голоморфными и антиголоморфными формами. Пусть $\alpha\in \Lambda^{1,0}(M)$ – голоморфная 1-форма, порождающая пространство $H^{1,0}(M)$. Зафиксируем точку $x\in M$ и определим отображение Альбанезе, переводящее $y\in M$ в $\displaystyle\int_\gamma \alpha$, где $\gamma$ – путь, соединяющий $x$ и $y$. Это отображение зависит от выбора пути $\gamma$, так что возникает отображение $\operatorname{Alb}\colon M \to \mathbb{C}/\Lambda$, где $\Lambda\subset \mathbb{C}$ – решетка периодов формы $\alpha$, т. е. множество $\biggl\{\displaystyle\int_v\alpha\Bigm| v \in H_1(M,\mathbb{Z})\biggr\}$. В силу следствия 2.15 подпространство $W$ рациональное. Следовательно, интеграл $\displaystyle\int_v\alpha$ обращается в нуль на одной из образующих группы $H_1(M,\mathbb{Z})$, а $\Lambda$ – решетка ранга 2 в $\mathbb{C}$. Легко видеть, что она дискретна. Значит, отображение Альбанезе задает расслоение $M \to \mathbb{C}/\Lambda$, и поверхность $M$ содержит непрерывное семейство кривых и потому является эллиптической.
Шаг 4. Остается показать, что поверхность $M$ принадлежит классу VII или является эллиптической, если $\chi(\mathscr{O}_{M_1})=0$. При $b_1(M)=3$ поверхность $M$ эллиптическая (см. шаг 3); то же верно при $b_1(M) \geqslant 5$ в силу следствия 4.3. Следовательно, можно считать, что $b_1(M)=h^{0,1}(M)=1$ и аналогичные равенства верны для всех накрытий $M _1$ поверхности $M$, как разветвленных, так и неразветвленных. Если $M$ неэллиптическая, имеем $\chi(\mathscr{O}_M)=0$, а следовательно, $h^{0,2}(M)=0$. Чтобы доказать, что $M$ из класса VII, надо проверить, что для всех $n>0$ выполнено равенство $H^0(K_M^n)=0$.
Если у расслоения $K^n_M$ есть ненулевое сечение, то для некоторого конечнолистного разветвленного накрытия $\sigma\colon M_1\to M$ у $K_{M_1}$ тоже есть ненулевое сечение. Действительно, если $\alpha$ – сечение $K^n_M$ с дивизором нулей $C$, то в окрестности точки $x\in M\setminus C$ из него можно извлечь корень $\sqrt[n]{\alpha}$ степени $n$ и получить сечение расслоения $K_M$. Пучок таких сечений конечен и локально постоянен на $M \setminus C$, а значит, он тривиализуется после перехода к конечнолистному накрытию $\widetilde {M\setminus C} \to M\setminus C$. В окрестности $U$ точки $x\in C$ мы можем интерпретировать $\sqrt[n]{\alpha}$ как многозначную функцию со значениями в расслоении $K_M$, которое тривиально на $U$. График функции $\sqrt[n]{\alpha}$, лежащий в $U\times \mathbb{C}$, можно подклеить к $\widetilde {M\setminus C}$ и получить разветвленное накрытие $\sigma\colon M_1\to M$ и сечение расслоения $K_{M_1}$. Тогда $h^{0,2}(M_1)\ne 0$ и, следовательно, поверхность $M_1$ эллиптическая (см. шаг 3). Таким образом, на $M=\sigma(M_1)$ есть непрерывное семейство голоморфных кривых, и это – эллиптическая поверхность по теореме 4.2. Изотривиальность получившегося эллиптического расслоения следует из предложения 4.5. Теорема 5.1 доказана.
6. Теорема Брунеллы: все поверхности Като локально конформно кэлеровы Поверхности Като называются также поверхностями с глобальной сферической оболочкой. По определению поверхность Като – это поверхность $M$, у которой есть глобальная сферическая оболочка, т. е. открытое подмножество $U\subset M$, биголоморфное окрестности сферы $S^3$ в $\mathbb{C}^2$ и такое, что разность $M \setminus U$ связна. В этом разделе мы докажем теорему Брунеллы, показывающую, что все поверхности Като локально конформно кэлеровы. Оригинальное определение Като и первые результаты по этим поверхностях можно найти в [38]–[40], [22], а оригинальное доказательство Брунеллы изложено в [16] и [17]. Несложно видеть, что все поверхности Като являются деформациями раздутий поверхности Хопфа. Мы докажем это, рассматривая следующую явную конструкцию поверхностей Като. Пусть $M$ – поверхность Като, а $S\subset U \subset M$ – соответствующая 3-сфера. Рассмотрим отображение $\chi\colon \pi_1(M) \to \mathbb{Z}$, которое пути $\gamma$ ставит в соответствие индекс пересечения $\gamma \cap S$. Ясно, что $\chi$ – гомоморфизм групп. Пусть $\widetilde M$ – соответствующее $\mathbb{Z}$-накрытие, а $S_i$, $i\in \mathbb{Z}$, – прообразы $S$ в $\widetilde M$ (их можно перенумеровать, поскольку группа монодромии $\mathbb{Z}$ действует свободно и транзитивно на множестве прообразов $S$). Через $M_i$ обозначим подмножество поверхности $\widetilde M$, заключенное между $S_i$ и $S_{i-1}$ (см. рис. 1). Ясно, что каждое $M_i$ является фундаментальной областью для действия группы скольжения. У каждой области $M_i$ две граничные компоненты – псевдовыпуклая $S_i$ и псевдовогнутая $S_{i-1}$. Подклеив шар $B$ к $S_{i-1}$, мы получим компактное многообразие $\widehat M_i= B \coprod_{S_{i-1}} M_i$ с псевдовыпуклым краем. Из решения Грауэрта проблемы Леви [31; разд. 2, теорема 1] следует, что многообразие $\widehat M_i$ голоморфно выпукло. По теореме Реммерта о редукции [50] существует собственное отображение со связными слоями $p\colon \widehat M_i \to X$ на многообразие Штейна. Поскольку окрестность границы $X$ биголоморфно эквивалентна окрестности $S^3\subset B$, по теореме Хартогса $X$ на самом деле биголоморфно эквивалентно $B$. Тогда $p\colon \widehat M_i \to X$ – бимероморфное голоморфное отображение в шар, сводящееся к последовательным раздутиям. Вслед за Ж. Длусским [22] зададим на замкнутом шаре $B\subset \mathbb{C}^2$ данные Като, состоящие из бимероморфного голоморфного отображения $\widehat B \to B$, открытого подмножества $B_0\subset \widehat B$ и биголоморфного отображения $B_0$ на единичный шар. Тогда у дополнения $\widehat B \setminus B_0$ две гладкие граничные компоненты, обе изоморфные $S^3\subset B$, и их можно склеить, получив компактную комплексную поверхность. Мы только что доказали следующий результат, первоначально установленный М. Като [38]. Теорема 6.1. Пусть $M$ – поверхность Като, а $S\subset M$ – глобальная сферическая оболочка. Тогда $M$ получается из данных Като склейкой двух граничных компонент области $\widehat B \setminus B_0$, как описано выше. Замечание 6.2. Такими же рассуждениями можно показать, что поверхность Като $M$ никогда не минимальна, за исключением случая, когда $\widehat B$ получается раздутием точки $x_0\in B$ и последующими раздутиями точек, лежащих на исключительных дивизорах (Ж. Длусский, частное сообщение, 2019 г.). Поскольку раздутие ЛКК-многообразия остается ЛКК, мы всегда можем считать, что $M$ минимальна, а $\widehat B$ получается из $B$ последовательными раздутиями в $0\in B$. Замечание 6.3. Предположим, что данные Като удовлетворяют условиям из замечания 6.2. Тогда в конструкции поверхности Като $M$ по данным Като открытый шар $B$ радиуса 1 всегда можно заменить шаром $B(r)\subset B$ радиуса $r$, а шар $B_0$ – образом последнего при действии образующей группы скольжения соответствующего $\mathbb{Z}$-накрытия $M$. Ясно, что получающаяся поверхность Като биголоморфно эквивалентна $M$. Аналогично, шар $B$ можно заменить любой голоморфно выпуклой областью $U\subset \mathbb{C}^2$ с гладкой границей, содержащей начало координат 0. Определение 6.4. Для заданного $\varepsilon >0$ пусть $\max_\varepsilon\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ – гладкая выпуклая функция, монотонная по обеим переменным и удовлетворяющая равенству $\max_\varepsilon(x,y)=\max(x,y)$ при $|x-y|>\varepsilon$. Такая функция называется регуляризованным максимумом [20]. Легко видеть, что регуляризованный максимум пары плюрисубгармонических функций снова плюрисубгармоничен. Используя эту конструкцию, можно “склеивать” плюрисубгармонические функции и соответствующие кэлеровы метрики. Теперь мы можем доказать теорему Брунеллы. Теорема 6.5. Пусть $M$ – поверхность Като. Тогда $M$ локально конформно кэлерова. Доказательство. Шаг 1. Пусть $\pi\colon \widehat B \to B$ и $B_0\subset \widehat B$ – данные Като, а через $\Psi\colon B\to B_0$ обозначим соответствующую биголоморфную эквивалентность. Рассмотрим кэлерову метрику $\widehat\omega$ на $\widehat B$.
Теорема Брунеллы доказывается выбором метрики $\widehat\omega$ на $\widehat B$, которая удовлетворяет следующему условию автоморфности. Рассмотрим пространство $\widetilde M$, полученное склейкой $\mathbb{Z}$ экземпляров $\widehat B \setminus B_0=M_i$, как описано выше. Кэлерову метрику $\widetilde \omega$ на $\widetilde M$ назовем $\mathbb{Z}$-автоморфной, если группа преобразований скольжения, переводящих $M_i$ в $M_j$, действует на $(\widetilde M,\widetilde\omega)$ гомотетиями. Для получения такой формы надо найти кэлерову форму $\widehat\omega$ на $\widehat B$ такую, что $\widehat\omega\big|_{B_0}$ совпадает с $\Psi^*\widehat\omega$ в окрестности границы $B_0$. Если это выполнено, то $\Psi$ действует гомотетиями в окрестности границы $S$. Тогда ограничение $\widehat\omega$ на $\widehat B \setminus B_0=M_i$ продолжается до $\mathbb{Z}$-автоморфной кэлеровой формы $\widetilde M=\bigcup\limits_{i\in \mathbb{Z}} M_i$.
Мы будем действовать описанным выше образом, за тем исключением, что мы заменим $B$ на другую псевдовыпуклую область, как указано в замечании 6.3.
Шаг 2. С помощью локальной $dd^c$-леммы можно найти такую гладкую функцию $\varphi$ на $B_0$, что $dd^c\varphi=\widehat\omega\big|_{B_0}$. Добавив при необходимости подходящую плюрисубгармоническую функцию, можно считать, что $\varphi$ достигает минимума во внутренней точке $x\in B_0$. Добавив еще константу, мы можем предполагать, что у множества $U_0:=\varphi^{-1}(-\infty,0)$ компактное замыкание с гладкой строго псевдовыпуклой границей. Пусть $U$ – замыкание области $\Psi^{-1}(U_0)$, а $\widehat U$ – прообраз $U$ относительно бимероморфного стягивания $\widehat B \to B$. Мы получим $M$ склейкой двух граничных компонент множества $\widehat U\setminus U_0$, как в замечании 6.3.
Шаг 3. Отображение $\pi\colon \widehat U \to U$ – собственное голоморфное отображение многообразий равных размерностей. Следовательно, прямой образ положительной $(p,p)$-формы – это положительный $(p,p)$-поток.
Пусть $\pi_*\widehat \omega$ – прямой образ $\widehat\omega$, рассматриваемый как поток на $U$. По $dd^c$-лемме для потоков получаем, что $\pi_*\widehat\omega= dd^c f$, где $f$ – плюрисубгармоническая функция на $U$, гладкая вне множества критических значений $\pi$.
Обозначим границу $U\subset \mathbb{C}^2$ через $R$. Тогда $f$ – строго плюрисубгармоническая гладкая функция в окрестности $R$. Еще одну плюрисубгармоническую функцию в окрестности $R$ можно получить в виде $f_1:=(\Psi^{-1})^*\varphi$, где $\varphi$ – кэлеров потенциал на $U_0$, построенный на шаге 2.
Нормируя $f$ и добавляя константу при необходимости, можно считать, что $-\varepsilon <f\big|_R<0$ и $|df|\big|_R \ll \varepsilon$. Пусть $A$ – достаточно большое положительное число, а $0 < \delta \ll \varepsilon$. Тогда регуляризованный максимум $\max_{\delta}$ функций $f$ и $A f_1$ совпадает с $A f_1$ в очень маленькой окрестности поверхности $R$ (поскольку $f$ отрицательна на $R$, а $f_1=0$ на $R$) и с $f$ в окрестности $V$ множества $R_\varepsilon:=(Af_1)^{-1}(-2\varepsilon)$ (поскольку $|df| \ll A |df_1|$ и, в то время как $Af_1$ стремится к $-2\varepsilon$, значения $f$ не опускаются ниже $-\varepsilon$).
Заменив $\widehat\omega$ на $dd^c \max_{\delta}(f,f_1)$ в кольце между $R$ и $R_{2\varepsilon}$, получим кэлерову форму $\widehat\omega_1$. Так как $\max_{\delta}(f,f_1)=f_1$ в окрестности $R$, отображение $\Psi\colon (U,\widehat\omega_1) \to (U_0,\widehat\omega_1)$ – гомотетия, которая изометрически отображает окрестность поверхности $R$ с метрикой $\widehat\omega_1$ в окрестность поверхности $\Psi(R)$ с метрикой $A\widehat\omega_1$ (заметим, что $A\widehat\omega_1=A\widehat\omega$ вне кольца, ограниченного поверхностями $R$ и $R_{2\varepsilon}$). Таким образом на произвольной поверхности Като мы построили ЛКК-метрику.
Теорема 6.5 доказана. Замечание 6.6. Рассуждения, использованные в доказательстве теоремы Брунеллы, проходят для открытых шаров в пространстве $\mathbb{C}^n$, в результате чего возникают обобщения многообразия Като на любую размерность. Такие многообразия изучались в работе [34]. В силу теоремы Брунеллы на них также вводится ЛКК-структура. Замечание 6.7. Публикации общего результата Брунеллы в [17] предшествовали его же примеры ЛКК-метрик на поверхностях Эноки (см. [16]) – некоторых специальных поверхностях из класса VII, содержащих глобальные сферические оболочки. Еще раньше на некоторых поверхностях Като (гиперболических и параболических поверхностях Инуэ) ЛКК-метрики были получены твисторными методами в работах А. Фуджики и М. Понтекорво (см. [26], [27]) как антисамодуальные биэрмитовы метрики. В [28] обсуждаются возможные значения класса Ли (Lee) этих ЛКК-структур (т. е. класса когомологий формы Ли $\theta\in \Lambda^1(M)$); см. также [2]. Как указал Понтекорво (частное сообщение), там по сути было показано, что эти классы Ли отличаются от построенных Брунеллой. Мы благодарны Жоржу Длусскому и Матею Тома за внимательное прочтение одной из первоначальных версий этой статьи и Эдуардо Эстевесу за интересные обсуждения эллиптических поверхностей. Стефан Немировский и Ику Накамура помогли авторам со ссылками и с исправлением первого варианта статьи. Мы весьма признательны Дмитрию Каледину и анонимному рецензенту за глубокие замечания и множество полезных советов по усовершенствованию многих доказательств.
|
|
|
Список литературы
|
|
|
1. |
D. Angella, A. Tomassini, M. Verbitsky, “On non-Kähler degrees of complex manifolds”, Adv. Geom., 19:1 (2019), 65–69 ; (2017 (v1 – 2016)), 5 pp., arXiv: 1605.03368 |
2. |
V. Apostolov, G. Dloussky, “On the Lee classes of locally conformally symplectic complex surfaces”, J. Symplectic Geom., 16:4 (2018), 931–958 ; (2016), 18 pp., arXiv: 1611.00074 |
3. |
D. Barlet, Gauduchon's form and compactness of the space of divisors, 2017, 12 pp., arXiv: 1705.01743 |
4. |
D. Barlet, J. Magnússon, Cycles analytiques complexes, v. I, Cours Spéc., 22, Théorèmes de préparation des cycles, Soc. Math. France, Paris, 2014, 525 pp. |
5. |
W. P. Barth, K. Hulek, C. A. M. Peters, A. Van de Ven, Compact complex surfaces, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 4, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2004, xii+436 pp. |
6. |
F. A. Belgun, “On the metric structure of non-Kähler complex surfaces”, Math. Ann., 317:1 (2000), 1–40 |
7. |
А. Бессе, Многообразия Эйнштейна, Мир, М., 1990, 704 с. ; пер. с англ.: A. L. Besse, Einstein manifolds, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 10, Springer-Verlag, Berlin, 1987, xii+510 с. |
8. |
E. Bishop, “Conditions for the analyticity of certain sets”, Michigan Math. J., 11:4 (1964), 289–304 |
9. |
A. Blanchard, “Sur les variétés analytiques complexes”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 73:2 (1956), 157–202 |
10. |
Ф. А. Богомолов, “Классификация поверхностей класса $\mathrm{VII}_0$ с $b_2=0$”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:2 (1976), 273–288 ; англ. пер.: F. A. Bogomolov, “Classification of surfaces of class $\mathrm{VII}_0$ with $b_2=0$”, Math. USSR-Izv., 10:2 (1976), 255–269 |
11. |
Ф. А. Богомолов, “Поверхности класса $\mathrm{VII}_0$ и аффинная геометрия”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:4 (1982), 710–761 ; англ. пер.: F. A. Bogomolov, “Surfaces of class $\mathrm{VII}_0$ and affine geometry”, Math. USSR-Izv., 21:1 (1983), 31–73 |
12. |
V. Brînzănescu, “Neron-Severi group for nonalgebraic elliptic surfaces. II. Non-kählerian case”, Manuscripta Math., 84:3-4 (1994), 415–420 |
13. |
V. Brînzănescu, Holomorphic vector bundles over compact complex surfaces, Lecture Notes in Math., 1624, Springer-Verlag, Berlin, 1996, x+170 pp. |
14. |
V. Brînzănescu, P. Flondor, “Holomorphic 2-vector bundles on nonalgebraic 2-tori”, J. Reine Angew. Math., 1985:363 (1985), 47–58 |
15. |
V. Brînzănescu, P. Flondor, “Quadratic intersection form and 2-vector bundles on nonalgebraic surfaces”, Proceedings of the conference on algebraic geometry (Berlin, 1985), Teubner-Texte Math., 92, Teubner, Leipzig, 1986, 53–64 |
16. |
M. Brunella, “Locally conformally Kähler metrics on certain non-Kählerian surfaces”, Math. Ann., 346:3 (2010), 629–639 |
17. |
M. Brunella, “Locally conformally Kähler metrics on Kato surfaces”, Nagoya Math. J., 202 (2011), 77–81 ; (2010), 4 pp., arXiv: 1001.0530 |
18. |
N. Buchdahl, “On compact Kähler surfaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49:1 (1999), 287–302 |
19. |
C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290 |
20. |
J.-P. Demailly, “Estimations $L^2$ pour l'opérateur $\bar\partial$ d'un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d'une variété kählérienne complète”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 15:3 (1982), 457–511 |
21. |
J.-P. Demailly, Complex analytic and differential geometry, 2012, 455 pp.\par https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf |
22. |
G. Dloussky, Structure des surfaces de Kato, Mém. Soc. Math. France (N. S.), 14, Soc. Math. France, Paris, 1984, ii+120 pp. |
23. |
G. Dloussky, K. Oeljeklaus, M. Toma, “Class $\mathrm{VII}_0$ surfaces with {$b_2$} curves”, Tohoku Math. J. (2), 55:2 (2003), 283–309 |
24. |
S. Dragomir, L. Ornea, Locally conformal Kähler manifolds, Progr. Math., 155, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1998, xiv+327 pp. |
25. |
W. Fischer, H. Grauert, “Lokal-triviale Familien kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten”, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1965 (1965), 89–94 |
26. |
A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Anti-self-dual bihermitian structures on Inoue surfaces”, J. Differential Geom., 85:1 (2010), 15–72 |
27. |
A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Twistors and bi-Hermitian surfaces of non-Kähler type”, SIGMA, 10 (2014), 042, 13 pp. |
28. |
A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Bi-Hermitian metrics on Kato surfaces”, J. Geom. Phys., 138 (2019), 33–43 ; (2018 (v1 – 2016)), 19 pp., arXiv: 1607.00192v2 |
29. |
P. Gauduchon, “La 1-forme de torsion d'une variété hermitienne compacte”, Math. Ann., 267:4 (1984), 495–518 |
30. |
P. Gauduchon, L. Ornea, “Locally conformally Kähler metrics on Hopf surfaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48:4 (1998), 1107–1127 |
31. |
H. Grauert, “On Levi's problem and the imbedding of real-analytic manifolds”, Ann. of Math. (2), 68:2 (1958), 460–472 |
32. |
P. A. Griffiths (ed.), Topics in transcendental algebraic geometry, Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984, viii+316 pp. |
33. |
T. Höfer, “Remarks on torus principal bundles”, J. Math. Kyoto Univ., 33:1 (1993), 227–259 |
34. |
N. Istrati, A. Otiman, M. Pontecorvo, “On a class of Kato manifolds”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2020, rnz354 ; 2019, 29 pp., arXiv: 1905.03224 |
35. |
S. Ivashkovich, “Extension properties of meromorphic mappings with values in non-Kähler manifolds”, Ann. of Math. (2), 160:3 (2004), 795–837 ; (2004 (v1 – 1997)), 37 pp., arXiv: math/9704219 |
36. |
D. Kaledin, M. Verbitsky, “Non-Hermitian Yang–Mills connections”, Selecta Math. (N. S.), 4:2 (1998), 279–320 |
37. |
Y. Kamishima, L. Ornea, “Geometric flow on compact locally conformally Kähler manifolds”, Tohoku Math. J. (2), 57:2 (2005), 201–221 ; (2002 (v1 – 2001)), 21 pp., arXiv: math/0105040 |
38. |
Ma. Kato, “Compact complex manifolds containing “global” spherical shells”, Proc. Japan Acad., 53:1 (1977), 15–16 |
39. |
Ma. Kato, “Compact complex manifolds containing “global” spherical shells. I”, Proceedings of the international symposium on algebraic geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978, 45–84 |
40. |
Ma. Kato, “On a certain class of non-algebraic non-Kähler compact complex manifolds”, Recent progress of algebraic geometry in Japan, North-Holland Math. Stud., 73, North-Holland, Amsterdam, 1983, 28–50 |
41. |
K. Kodaira, D. C. Spencer, “On deformations of complex analytic structures. III. Stability theorems for complex structures”, Ann. of Math. (2), 71 (1960), 43–76 |
42. |
A. Lamari, “Courants kählériens et surfaces compactes”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49:1 (1999), 263–285 |
43. |
J. Li, S.-T. Yau, F. Zheng, “On projectively flat Hermitian manifolds”, Comm. Anal. Geom., 2:1 (1994), 103–109 |
44. |
A. C. López-Martín, “Relative Jacobians of elliptic fibrations with reducible fibers”, J. Geom. Phys., 56:3 (2006), 375–385 ; (2004), 12 pp., arXiv: math/0410394 |
45. |
D. R. Morrison, “The Clemens–Schmid exact sequence and applications”, Topics in transcendental algebraic geometry (Princeton, NJ, 1981/1982), Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984, 101–119 |
46. |
I. Nakamura, “Classification of non-Kählerian surfaces”, Sugaku Expo., 2:2 (1989), 209–229 |
47. |
I. Nakamura, “On surfaces of class $\mathrm{VII}_0$ with curves. II”, Tohoku Math. J. (2), 42:4 (1990), 475–516 |
48. |
L. Ornea, M. Verbitsky, “Locally conformally Kähler metrics obtained from pseudoconvex shells”, Proc. Amer. Math. Soc., 144:1 (2016), 325–335 ; (2014 (v1 – 2012)), 13 pp., arXiv: 1210.2080 |
49. |
U. Persson, On degenerations of algebraic surfaces, Mem. Amer. Math. Soc., 11, № 189, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1977, xv+144 pp. |
50. |
R. Remmert, “Sur les espaces analytiques holomorphiquement séparables et holomorphiquement convexes”, C. R. Acad. Sci. Paris, 243 (1956), 118–121 |
51. |
V. Rogov, Kähler submanifolds in Iwasawa manifolds, 2018 (v1 – 2017), 18 pp., arXiv: 1710.02180 |
52. |
W. Schmid, “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. Math., 22 (1973), 211–319 |
53. |
A.-D. Teleman, “Projectively flat surfaces and Bogomolov's theorem on class $\mathrm{VII}_0$ surfaces”, Internat. J. Math., 5:2 (1994), 253–264 |
54. |
A. Teleman, “Donaldson theory on non-Kählerian surfaces and class VII surfaces with $b_2=1$”, Invent. Math., 162:3 (2005), 493–521 ; (2007), 29 pp., arXiv: 0704.2638 |
55. |
A. Teleman, “The pseudo-effective cone of a non-Kählerian surface and applications”, Math. Ann., 335:4 (2006), 965–989 ; (2007), 25 pp., arXiv: 0704.2948 |
56. |
A. Teleman, “Instantons and curves on class VII surfaces”, Ann. of Math. (2), 172:3 (2010), 1749–1804 ; (2009 (v1 – 2007)), 48 pp., arXiv: 0704.2634 |
57. |
F. Tricceri, “Some examples of locally conformal Kähler manifolds”, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 40:1 (1982), 81–92 |
58. |
I. Vaisman, “A geometric condition for an l.c.K. manifold to be Kähler”, Geom. Dedicata, 10:1-4 (1981), 129–134 |
59. |
I. Vaisman, “Generalized Hopf manifolds”, Geom. Dedicata, 13:3 (1982), 231–255 |
60. |
M. Verbitsky, “Pseudoholomorphic curves on nearly Kähler manifolds”, Comm. Math. Phys., 324:1 (2013), 173–177 ; (2012), 6 pp., arXiv: 1208.6321 |
61. |
M. Verbitsky, “Rational curves and special metrics on twistor spaces”, Geom. Topol., 18:2 (2014), 897–909 ; (2012), 12 pp., arXiv: 1210.6725 |
62. |
C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp. ; v. II, Cambridge Stud. Adv. Math., 77, 2003, x+351 pp. |
63. |
V. Vuletescu, “Blowing-up points on l.c.K. manifolds”, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie (N. S.), 52(100):3 (2009), 387–390 ; (2009), 5 pp., arXiv: 0906.1657 |
64. |
V. Vuletescu, LCK metrics on elliptic principal bundles, 2010, 5 pp., arXiv: 1001.0936 |
Образец цитирования:
М. С. Вербицкий, В. Вулетеску, Л. Орнеа, “Классификация некэлеровых поверхностей и локально конформно кэлерова геометрия”, УМН, 76:2(458) (2021), 71–102; Russian Math. Surveys, 76:2 (2021), 261–289
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/rm9858https://doi.org/10.4213/rm9858 https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i2/p71
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 428 | PDF русской версии: | 131 | PDF английской версии: | 73 | HTML русской версии: | 139 | Список литературы: | 49 | Первая страница: | 18 |
|