Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Успехи математических наук, 2021, том 76, выпуск 2(458), страницы 71–102
DOI: https://doi.org/10.4213/rm9858 (Mi rm9858) 		 
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях)

Классификация некэлеровых поверхностей и локально конформно кэлерова геометрия

М. С. Вербицкийab, В. Вулетескуc, Л. Орнеаcd

a Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, Brasil
b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
c University of Bucharest, Bucharest, Romania
d Institute of Mathematics "Simion Stoilow" of the Romanian Academy, Bucharest, Romania
PDF полного текста (798 kB) PDF английской версии (731 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (5)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/rm9858
Аннотация: С позиций классификации Энриквеса–Кодаиры некэлеровы поверхности оказываются специальным случаем в рамках схемы Кодаиры. Мы доказываем результаты по классификации некэлеровых комплексных поверхностей без привлечения аппарата классификации Энриквеса–Кодаиры и выводим классификационную теорему для некэлеровых поверхностей из теоремы Бухдаля–Ламари. Мы также доказываем, что некэлеровы поверхности, не относящиеся к классу VII, являются локально конформно кэлеровыми.
Библиография: 64 названия.
Ключевые слова: локально конформно кэлеровы поверхности, поверхность Като, эллиптическое расслоение.
Финансовая поддержка Номер гранта
Unitatea Executiva pentru Finantarea Invatamantului Superior, a Cercetarii, Dezvoltarii si Inovarii, Romania PN-III-P4-ID-PCE-2016-0065
National Council for Scientific and Technological Development (CNPq) 313608/2017-2
Второй и третий авторы поддержаны Министерством национального образования исследований и инноваций Румынии (CNCS-UEFISCDI, проект PN-III-P4-ID-PCE-2016-0065 в рамках программы PNCDI III). Первый автор поддержан программой NPq-Process 313608/2017-2.
Поступила в редакцию: 30.03.2019
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 2, Pages 261–289
DOI: https://doi.org/10.1070/RM9858
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 515.173.4+515.174.5
MSC: Primary 32H15; Secondary 32Q57, 53C56

1. Введение

Настоящая статья является переработанным курсом лекций по комплексным поверхностям, который был прочитан в Независимом Московском университете в 2008 и 2012 гг. Основным источником по комплексным поверхностям является замечательная книга В. Барта, К. Хулека, К. Петерса и А. Ван де Вена [5]. Эта книга – захватывающее чтение, однако (что нередко случается с выдающимися книгами) некоторые из сюжетных линий в ней тесно переплетены с другими, так что конкретную линию порою трудно вычленить из полифонического изложения.

Для книги по локально конформно кэлеровым (ЛКК) многообразиям, готовящейся к публикации, первым двум авторам настоящей статьи потребовалась классификация ЛКК-структур на (как в итоге становится ясно, некэлеровых) поверхностях. Оказалось, что некэлерову часть классификации Энриквеса–Кодаиры проще (и поучительнее) получить напрямую, вместе с классификацией ЛКК-структур1. В настоящей статье новых результатов (почти) нет, но бо́льшая часть доказательств отличается от тех, что имеются в литературе, к примеру, в [5].

Мы стремились к замкнутости изложения. За исключением двух результатов из статьи А. Ламари [42], мы ссылаемся только на общие понятия из комплексной алгебраической геометрии, которые можно найти, например, в [21].

Основное внимание в статье уделяется некэлеровым эллиптическим поверхностям. Приводится новое доказательство того факта, что они являются главными эллиптическими расслоениями в категории орбифолдов (теорема 4.2) – это было впервые показано В. Бринжанеско в статье [12] (см. также [13]) – и что они локально конформно кэлеровы (теорема 4.15), как показал Ф. А. Белгун [6]. Мы доказываем, что все они вайсмановы; при этом возникает новое доказательство классификации вайсмановых поверхностей, данной Белгуном [6].

Мы покажем, что все неэллиптические некэлеровы поверхности относятся к классу VII (теорема 5.1). По поверхностям этого класса имеется достаточно много хорошей литературы (см., например, [23], [22], [46], [47], [56]), так что мы можем рассматривать их в меньших подробностях.

Мы формулируем известные классификационные результаты, установленные по модулю гипотезы о глобальной сферической оболочке, и даем новое доказательство теоремы Брунеллы о существовании ЛКК-метрик на поверхностях Като. Из этого результата и (пока еще не полностью доказанной) гипотезы о глобальной сферической оболочке будет следовать, что все некэлеровы комплексные поверхности, за вычетом некоторых поверхностей Инуэ, являются ЛКК [6].

1.1. Теорема Бухдаля–Ламари

В работах [18], [42] Н. Бухдаль и А. Ламари дали доказательство результата, ранее известного только как следствие классификации Энриквеса–Кодаиры комплексных поверхностей.

Теорема 1.1. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность. Тогда ее первое число Бетти $b_1(M)$ нечетно в том и только том случае, когда $M$ некэлерова.

С другой стороны, прямое доказательство этой теоремы существенно упрощает упомянутую классификацию. В нашей статье предпринята попытка изложить бо́льшую часть классификации Энриквеса–Кодаиры для некэлеровых поверхностей, опираясь на теорему Бухдаля–Ламари и на следующий ниже вспомогательный результат (теорема 1.3), использованный Ламари в доказательстве теоремы 1.1. Наше доказательство по нескольким позициям отличается от классического, приведенного в [5]: мы не апеллируем ни к бирациональной эквивалентности, ни к кодаировской классификации эллиптических поверхностей. Мы также ставим целью классифицировать ЛКК-структуры на комплексных поверхностях.

Базовые сведения о потоках и их применениях в дифференциальной геометрии см. в [21]. Напомним, что “потоки” на $M$ – это функционалы на пространстве финитных дифференциальных форм на $M$, непрерывные в $C^\infty$-топологии. Любая дифференциальная форма $\alpha$ задает поток $\tau \to \displaystyle\int_M \tau\wedge \alpha$, так что мы можем рассматривать дифференциальные формы как подпространство потоков.

Замечание 1.2. Стандартные операторы и конструкции кэлеровой геометрии (к примеру, $d$, $d^*$, $\partial$, $\overline\partial$, лапласиан, разложение Ходжа) естественно продолжаются с дифференциальных форм на потоки. Соответствующие группы когомологий (де Рама, Дольбо, Ботта–Черна) для потоков совпадают с таковыми для дифференциальных форм [21].

По определению $(1,1)$-форма на комплексном многообразии $M$ размерности $\dim_{\mathbb{C}} M=n$ называется положительной, если она задается псевдоэрмитовой формой с неотрицательными собственными значениями, и строго положительной, если она эрмитова. $(n-1,n-1)$-Форма положительна, если она является произведением $n-1$ положительной формы. Говорят, что $(1,1)$-поток положителен, если его значение на любой положительной $(n-1,n-1)$-форме неотрицательно.2 Для форм и потоков понятия положительности согласованы между собой [21].

Теорема 1.3. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность. Тогда на $M$ существует ненулевой точный положительный $(1,1)$-поток $\Theta$.

Доказательство. См. [42; теорема 6.1].

Замечание 1.4. Существование ненулевого точного положительного $(1,1)$-потока $\Theta$ означает, что поверхность $M$ некэлерова. Действительно, пусть на $M$ имеется кэлерова форма $\omega$. Тогда $\displaystyle\int_M \omega\wedge \Theta > 0$, поскольку $\omega\wedge \Theta$ – ненулевая мера на $M$, называемая мерой массы потока [21; гл. III, замечание 1.15]. Однако это строгое неравенство невозможно, поскольку поток $\Theta$ точный.

1.2. Локально конформно кэлеровы поверхности

Напомним, что комплексное многообразие $M$ размерности $\dim_{\mathbb{C}}M>1$ называется локально конформно кэлеровым (ЛКК), если на нем существует такая эрмитова форма $\omega$, что $d\omega=\theta \wedge \omega$, где 1-форма $\theta$ замкнута; см. [24]. В этом случае любое накрывающее многообразие $\widetilde M \xrightarrow{\tau} M$, на котором форма $\tau^*(\theta)=df$ точна, окажется кэлеровым с кэлеровой формой $\widetilde\omega:=e^{-f}\tau^*\omega$. Если форма $\theta$ точна, то $M$ называется глобально конформно кэлеровым. Однако, когда $\theta$ неточна, а многообразие $M$ компактно, оно оказывается некэлеровым [58]. Если вдобавок имеется голоморфный поток конформных преобразований $\rho\colon \mathbb{C} \to \operatorname{Aut}(M)$, не поднимающихся до изометрий кэлерова накрытия $(\widetilde M,\widetilde\omega)$, то $M$ называется вайсмановым многообразием.

Замечание 1.5. Так как многообразие $(\widetilde M,\widetilde \omega)$ кэлерово, любое ЛКК-многообразие может быть получено как фактор кэлерова многообразия по собственному дискретному действию некоторой группы голоморфных автоморфизмов, действующих на форму $\omega$ гомотетиями.3 Таким образом, ЛКК-многообразие можно определить как фактор кэлерова многообразия $(\widetilde M,\widetilde\omega)$ по собственному дискретному действию некоторой группы голоморфными гомотетиями.

Определение 1.6. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность с числом Бетти $b_1(M)=1$. Она называется поверхностью класса VII, если ее размерность Кодаиры $\kappa(M)$ равна $-\infty$.

Из классификации Энриквеса–Кодаиры [5] следует, что минимальные некэлеровы поверхности, не относящиеся к классу VII, являются эллиптическими. Мы докажем этот результат в теореме 4.2 (не опираясь на остальную часть классификации Энриквеса–Кодаиры). Мы также докажем, что если эллиптическая поверхность минимальна, то она вайсманова.

Теорема 1.7. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность, не относящаяся к классу VII. Тогда на $M$ есть ЛКК-структура, причем на $M$ есть вайсманова ЛКК-структура, если эта поверхность минимальна.

Доказательство. В силу теоремы 5.1 если поверхность $M$ минимальная, то она эллиптическая, а по теореме 4.15 она вайсманова. В силу [57] и [63] раздутия в отдельных точках не выводят из класса ЛКК-многообразий; в частности, раздутие ЛКК-поверхности остается ЛКК-поверхностью. Так что поверхность принадлежит к классу ЛКК, если ее минимальная модель является ЛКК-поверхностью, к примеру, эллиптической. Теорема доказана.

Полная классификация поверхностей класса VII неизвестна, но она следовала бы из так называемой “гипотезы о глобальной сферической оболочке”, согласно которой любая минимальная поверхность $M$ класса VII, у которой $b_2>0$, содержит открытое комплексное подмногообразие $U\subset M$, биголоморфно эквивалентное окрестности стандартной сферы $S^3 \subset {\mathbb{C}}^2$, причем $M \setminus U$ связно. Поверхности, для которых это так, называются поверхностями Като.

М. Брунелла показал, что поверхности Като относятся к классу ЛКК (см. работу [17] и раздел 6 далее). Из теоремы Богомолова о поверхностях класса VII с $b_2(M)=0$ (см. [10], [11], [43], [53]) вытекает, что они являются либо поверхностями Инуэ, либо поверхностями Хопфа. Поверхности Хопфа – это ЛКК-поверхности [30], [6], [48], а из трех классов поверхностей Инуэ два входят в класс ЛКК, в то время как третий содержит подкласс поверхностей, не допускающих ЛКК-структуру [57], [6].

Современное доказательство теоремы Богомолова (полученное А. Телеманом и Ц. Ли, Ш.-Т. Яу и Ф. Чжэном) основано на теории калибровочных полей. Используя методы этой теории, Телеману удалось доказать гипотезу о глобальной сферической оболочке для минимальных поверхностей класса VII с $b_2=1$ [54]. Перенося этот подход на случай $b_2>1$, он также смог показать, что любое многообразие класса VII, у которого $b_2(M)=2$, содержит цикл из рациональных кривых и, значит, может быть гладко деформировано в раздутие поверхности Хопфа [56].

Как только гипотезу о глобальной сферической оболочке удастся доказать, классификация ЛКК-поверхностей будет завершена. Если эта гипотеза верна, то все некэлеровы поверхности являются ЛКК-поверхностями, за исключением некоторого класса поверхностей Инуэ, не являющихся ЛКК в силу результатов Белгуна [6].

2. Когомологии некэлеровых поверхностей

2.1. Когомологии Ботта–Черна поверхности

В этом пункте мы воспроизведем некоторые рассуждения из работ [55] и [1], касающиеся когомологий Ботта–Черна. Напомним, что на компактном комплексном многообразии в любом конформном классе эрмитовых метрик можно задать метрику Годушона [29]. По определению метрика Годушона на $n$-мерном комплексном многообразии – это эрмитова метрика, эрмитова форма $\omega$ которой удовлетворяет соотношению

$$ \begin{equation*} dd^c\omega^{n-1}=0, \end{equation*} \notag $$
где $d^c=I dI^{-1}$ – “скрученный дифференциал” (здесь и всюду далее $I$ обозначает оператор комплексной структуры, мультипликативно продолженный на дифференциальные формы).

Определение 2.1. Группа когомологий Ботта–Черна комплексного многообразия – это группа

$$ \begin{equation*} H^{p,q}_{\rm BC}(M):= \frac{\ker d\big|_{\Lambda^{p,q}(M)}}{\operatorname{im} dd^c}\,. \end{equation*} \notag $$

Замечание 2.2. По $dd^c$-лемме на компактном кэлеровом многообразии группы когомологий Ботта–Черна совпадают с группами когомологий де Рама и (следовательно) Дольбо (замечание 1.2). Как обычно, пространство глобально определенных $(p,q)$-форм на $M$ обозначим через $\Lambda^{p,q}(M)$.

Хорошо известно (и нетрудно видеть), что комплекс

$$ \begin{equation*} \Lambda^{p-1,q-1}(M)\xrightarrow{dd^c} \Lambda^{p,q}(M) \xrightarrow{\;\,d\;\,} \Lambda^{p+q+1}(M) \end{equation*} \notag $$
эллиптический; см. [41; предложение 5]. Отсюда следует, что на всяком компактном комплексном многообразии группы когомологий Ботта–Черна конечномерны.

Теорема 2.3. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность. Тогда ядро естественного отображения $P\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M) \to H^2(M)$ одномерно.

Доказательство. Шаг 1. Пусть $\omega$ – метрика Годушона на $M$. Рассмотрим дифференциальный оператор $D\colon f\mapsto dd^c(f) \wedge \omega$, переводящий функции в 4-формы. Ясно, что $D$ – эллиптический оператор с таким же индексом, как оператор Лапласа: $\operatorname{ind}D=\operatorname{ind}\Delta=0$, а значит, $\dim \ker D=\dim \operatorname{coker} D$. В силу хопфовского принципа максимума $\ker D$ состоит из констант, так что $\operatorname{coker} D$ одномерно. Однако
$$ \begin{equation*} \int_M D(f)=\int_M dd^c(f) \wedge \omega=\int_M f\,dd^c \omega=0, \end{equation*} \notag $$
а значит, 4-форма $\kappa$ лежит в подпространстве $\operatorname{im}D$ тогда и только тогда, когда $\displaystyle\int_M\kappa=0$.

Шаг 2. Пусть $\alpha$ – замкнутая $(1,1)$-форма. Определим ее степень формулой $\deg_\omega \alpha:=\displaystyle\int_M \omega \wedge\alpha$. Поскольку $\displaystyle\int_M dd^cf \wedge \omega=0$, возникает отображение $\deg_\omega\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})\to \mathbb{R}$. Для замкнутой $(1,1)$-формы $\alpha$ степени 0 форма $\alpha':=\alpha- dd^c(D^{-1}(\alpha\wedge \omega))$ удовлетворяет соотношению $\alpha'\wedge \omega=0$; иными словами, она $\omega$-примитивна. Для $\omega$-примитивных $(1,1)$-форм имеет место равенство $\alpha'\wedge \alpha'=-|\alpha'|^2\omega\wedge\omega$, так что

$$ \begin{equation} \int_M \alpha'\wedge \alpha'=-\|\alpha'\|^2_\omega. \end{equation} \tag{2.1} $$
В том случае, когда $\alpha'$ представляет собой ненулевой элемент $\ker P$, это невозможно, поскольку тогда форма $\alpha'$ точная. Таким образом, в подпространстве $\ker P\subset H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})$ векторы степени 0 должны быть нулевыми. Значит, любые два вектора из $\ker P$ пропорциональны. Теорема доказана.

2.2. Первая группа когомологий некэлеровых поверхностей

Обозначим когомологии Дольбо комплексного многообразия $M$ через $H^{p,q}(M)$. Ясно, что $H^{p,0}(M)$ совпадает с пространством голоморфных $p$-форм на $M$. На компактном кэлеровом многообразии голоморфные $p$-формы замкнуты, поскольку они гармонические. На некэлеровых многообразиях это, вообще говоря, не так. Однако для компактных комплексных поверхностей это все же верно.

Лемма 2.4. На компактной комплексной поверхности все голоморфные 1-формы замкнуты.

Пусть $\alpha\in \Lambda^{1,0}(M)$ – голоморфная 1-форма. Тогда $\overline\partial\alpha=0$, поскольку $\alpha$ голоморфна, и по той же причине $d\alpha$ является точной голоморфной $(2,0)$-формой. С другой стороны, $d\alpha\wedge d\overline\alpha$ – положительная $(2,2)$-форма, так что

$$ \begin{equation*} 0=\int_M d\alpha\wedge d\overline\alpha=\|d\alpha\|^2. \end{equation*} \notag $$
Тогда $d\alpha=0$ и $\alpha$ замкнута. Лемма доказана.

Теорема 2.5. Пусть $M$ – некэлерово многообразие, а $\Theta$ – ненулевой точный положительный $(1,1)$-поток, существующий по теореме 1.3. Пусть $d\alpha=\beta$ – вещественная $(1,1)$-форма в том же классе когомологий Черна– Ботта. Тогда выполнено следующее.

(i) Пусть $H^{1,0}(M)$ – пространство голоморфных 1-форм на $M$, а $\overline{H^{1,0}(M)}$ – комплексно сопряженное пространство (антиголоморфных форм). Как показывает лемма 2.4, голоморфные 1-формы замкнуты, так что определено естественное отображение $H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)} \to H^1(M, \mathbb{C})$, переводящее сумму голоморфной и антиголоморфной форм в ее класс когомологий. Утверждается, что это отображение инъективно и, более того, при подходящем выборе 1-формы $\alpha$ форма $\theta:=\alpha^{1,0}-\alpha^{0,1}$ замкнута и

$$ \begin{equation} H^1(M)=H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)} \oplus \langle[\theta]\rangle, \end{equation} \tag{2.2} $$
т. е. $H^1(M)$ порождается классами когомологий голоморфных форм, антиголоморфных форм и формы $\theta$.

(ii) Поскольку все голоморфные формы замкнуты, антиголоморфные формы $\overline\partial$-замкнуты и им соответствуют классы когомологий Дольбо. Тем самым возникает естественное вложение $\overline{H^{1,0}(M)}\hookrightarrow H^{0,1}(M)$. Утверждается, что $H^{0,1}(M)$ порождается $\overline{H^{1,0}(M)}$ и классом Дольбо $[\theta^{0,1}]$, так что $H^{0,1}(M)=\overline{H^{1,0}(M)}\oplus \langle[\theta^{0,1}]\rangle$.

Доказательство. (i) Нетривиальная линейная комбинация голоморфной и антиголоморфной форм замкнута и никогда не точна. В самом деле, если $df$ – линейная комбинация голоморфной и антиголоморфной форм, то $d^c df=0$, так что $f$ – глобально заданная гармоническая функция на компактном многообразии. Такая функция должна быть постоянной по принципу максимума. Значит, естественное отображение $H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)} \xrightarrow{\kappa} H^1(M,\mathbb{C})$ инъективно. Для доказательства (i) остается показать, что коразмерность образа этого отображения равна 1 и что $H^1(M,\mathbb{C})$ порождено классом $\theta$ и образом отображения $\kappa$.

Ясно, что ядро естественного отображения $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ совпадает с $\overline{H^{1,0}(M)}$. Образ этого отображения лежит в одномерном ядре отображения $P\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M) \to H^2(M)$ (теорема 2.3). Значит, у образа $\kappa$ коразмерность не больше 1. У класса $\partial[\alpha^{0,1}]\in H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ ненулевая степень, поскольку $\partial\alpha^{0,1}+\overline{\partial\alpha^{0,1}}=\beta$, а значит, $\partial [\alpha^{0,1}]$ порождает $\ker P=\langle[\beta]\rangle=\langle[\Theta]\rangle$.

Заменяя $\alpha^{0,1}$ формой из того же класса когомологий Дольбо при необходимости, можно считать, что $\beta=\partial\alpha^{0,1}$ и $\overline\partial\alpha^{0,1}=0$. Поскольку $d\alpha$ – вещественная $(1,1)$-форма, разность $\theta:=\alpha^{1,0}-\alpha^{0,1}$ замкнута. Так как у ее $(0,1)$-компоненты тот же класс когомологий Дольбо, что и у $-\alpha^{0,1}$, форма $\theta$ неточна. Значит, она порождает коядро вложения $H^{1,0}(M)\oplus \overline{H^{1,0}(M)}\xrightarrow{\kappa} H^1(M,\mathbb{C})$. Тем самым мы доказали равенство (2.2).

(ii) Рассмотрим отображение $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$. В силу утверждения (i) класс когомологий $\partial[\theta^{0,1}]$ в $H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ ненулевой. Поскольку оператор $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ обращается в нуль на антиголоморфных формах, класс когомологий Дольбо формы $\theta^{0,1}$ не лежит в $\overline{H^{1,0}(M)}$, и мы получаем инъективное отображение

$$ \begin{equation} \overline{H^{1,0}(M)}\oplus \langle[\theta^{0,1}]\rangle\longrightarrow H^{0,1}(M). \end{equation} \tag{2.3} $$
Ядро оператора $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ порождено антиголоморфными формами, и мы получаем точную последовательность
$$ \begin{equation} 0\longrightarrow \overline{H^{1,0}(M)}\longrightarrow H^{0,1}(M) \longrightarrow H^{1,1}_{\rm BC}(M). \end{equation} \tag{2.4} $$
Теорема 2.3 показывает, что образ оператора $\partial\colon H^{0,1}(M)\to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ имеет размерность не выше 1, значит, он порождается классом $\partial[\theta^{0,1}]$. Из последовательности (2.4) мы видим, что инъективное отображение (2.3) на самом деле сюръективно. Тем самым утверждение (ii) доказано.

Теорема доказана.

2.3. Вторые когомологии некэлеровых поверхностей

Утверждение 2.6. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность. Тогда

$$ \begin{equation*} \overline{H^{0,2}(M)}=H^{2,0}(M)=H^0(\Omega^2(M)). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. По двойственности Серра $H^{0,2}(M)=H^0(K_M)^*$, и эта группа имеет ту же размерность, что и $H^0(\Omega^2(M))=H^0(K_M)=H^{2,0}(M)$. Естественное отображение $R\colon H^{2,0}(M) \to \overline{H^{0,2}(M)}$ инъективно, поскольку его ядро состоит из $\partial$-точных голоморфных форм $\alpha=\partial\beta$; однако для таких форм $\alpha$ выполнено равенство $0=\displaystyle\int_Md\beta\wedge \overline\alpha= \displaystyle\int_M\alpha\wedge \overline\alpha=\|\alpha\|^2$, а это возможно, только если $\alpha=0$. Как показано выше, размерности рассматриваемых пространств равны, и, следовательно, $R$ – изоморфизм. Утверждение доказано.

Следствие 2.7 [5; теорема IV.2.8]. Для компактной комплексной поверхности спектральная последовательность Ходжа–де Рама–Фрелихера вырождается на листе $E_1$.

Доказательство стандартно: спектральная последовательность Ходжа– де Рама–Фрелихера вырождается, когда размерность не падает. Мы уже доказали вырождение для $H^1(M)$ в теореме 2.5. Двойственность Серра и двойственность Пуанкаре обеспечивают вырождение спектральной последовательности на шаге $E_1$ в члене $H^3(M)$. Но тогда она должна вырождаться на листе $E_1$ и в члене $H^2(M)$, поскольку каждый раз, когда $d_k\ne 0$, в случае нетривиальности $d_k\colon E^{p,q}_{k-1}\to E^{p-k+1,q+k}_{k-1}$ группа $E^{p,q}_{k-1}$ заменяется на $\ker d_k$, а $E^{p-k+1,q+k}_{k-1}$ заменяется на $\operatorname{coker}d_k$. Тогда полная размерность пространств $\bigoplus\limits_{p+q=d}E^{p,q}_{k-1}$ и $\bigoplus\limits_{p+q=d}E^{p-k+1,q+k}_{k-1}$ уменьшается. Однако для $d=1$ и $d=3$ она уже минимальна, так что $d_k=0$ при любом $k\geqslant 2$. Следствие доказано.

Замечание 2.8. Мы показали, что, аналогично случаю кэлеровых поверхностей, имеют место равенства

$$ \begin{equation*} H^2(M,\mathbb{C})=H^{2,0}(M) \oplus H^{1,1}(M) \oplus H^{0,2}(M) \end{equation*} \notag $$
и $H^{2,0}(M)=\overline{H^{0,2}(M)}$ (см. утверждение 2.6).

Лемма 2.9. Пусть $M$ – компактная комплексная поверхность. Тогда естественное отображение $H^{1,1}_{\rm BC}(M) \to H^{1,1}(M)$ (из группы когомологий Ботта–Черна в когомологии Дольбо) сюръективно.

Доказательство. Пусть $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ есть $\overline\partial$-замкнутая форма, представляющая класс когомологий Дольбо $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$. Ясно, что $\alpha$ представима замкнутой $(1,1)$-формой тогда и только тогда, когда класс Черна–Ботта $[\beta]\in H^{2,1}_{\rm BC}(M)$ формы $\beta:=\partial \alpha$ нулевой. Действительно, если $\beta=\partial\overline\partial\eta$, то форма $\alpha-\partial\eta$ является $\overline\partial$-замкнутой.

Поскольку спектральная последовательность Ходжа–де Рама–Фрелихера вырождается на листе $E_1$, а форма $\beta$ является $\partial$-точной и $\overline\partial$-замкнутой, $\beta=\overline\partial\gamma$ для некоторой формы $\gamma\in \Lambda^{2,0}(M)$. Однако коядро отображения $\partial\colon \Lambda^{1,0}(M)\to \Lambda^{2,0}(M)$ порождается голоморфными 2-формами, а они всегда замкнуты (утверждение 2.6). Значит, $\overline\partial(\Lambda^{2,0}(M))= \overline\partial\partial(\Lambda^{1,0}(M))$, и класс Черна–Ботта формы $\beta\in \overline\partial(\Lambda^{2,0}(M))$ равен нулю. Лемма доказана.

Предложение 2.10 [5; теорема IV.2.14]. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность. Тогда форма пересечений отрицательно определена на образе группы $H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})$ в когомологиях де Рама.

Доказательство. Выберем метрику Годушона $\omega$ на поверхности $M$. Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ – некоторый класс когомологий. Как показывает лемма 2.9, $[\alpha]$ представляется замкнутой $(1,1)$-формой $\alpha$. Рассмотрим функционал степени $\deg_\omega\colon H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$, определенный в п. 2.1. Поскольку для точных $(1,1)$-потоков $\Theta$ имеем $\deg_\omega\Theta> 0$, каждый класс когомологий $[\alpha]\in H^{1,1}(M)\subset H^2(M)$ можно представить замкнутой $(1,1)$-формой $\alpha$ степени $\deg_\omega\alpha=0$. Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы 2.3, мы можем найти функцию $f\in C^\infty(M)$, для которой форма $\alpha-dd^c f$ является $\omega$-примитивной. Заменим $\alpha$ на $\alpha-dd^c f$; тогда $\displaystyle\int_M \alpha\wedge \alpha=-\|\alpha\|^2_\omega<0$, как в (2.1). Предложение доказано.

Замечание 2.11. В [13; теорема 2.37] (см. также [14], [15]) показано, что для комплексной поверхности алгебраической размерности 0 форма пересечений отрицательно определена на пространстве $H^{1,1}(M) \cap H^2(M,\mathbb{Q})$ (т. е. на рациональной группе Нерона–Севери). Этот важный результат вытекает и из предложения 2.10.

2.4. Обращение в нуль произведений голоморфных $1$-форм

У предложения 2.10 есть интересное следствие.

Предложение 2.12. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность. Тогда для любых голоморфных 1-форм $\alpha$, $\beta$ внешнее произведение $\alpha\wedge \beta$ равно нулю, а произведение $\alpha\wedge \overline\beta$ точное.

Доказательство. Шаг 1. Пусть $\alpha$, $\beta$ – голоморфные 1-формы. Тогда $\alpha\wedge \beta$ – голоморфная 2-форма и $\displaystyle\int_M \alpha\wedge \beta\wedge \overline\alpha\wedge \overline\beta>0$ за исключением случая, когда $\alpha\wedge \beta=0$.

Шаг 2. Форма пересечений на $H^{1,1}(M)$ отрицательно определена по предложению 2.10. Следовательно, для любой формы $\eta\in H^{1,1}(M)$ из равенства $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta=0$ следует, что $\eta=0$. Положим $\eta=\alpha\wedge \overline\alpha$ и $\rho=\beta\wedge \overline\beta$. Тогда ясно, что $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta= \displaystyle\int_M \rho\wedge \overline\rho=0$, откуда следует, что $\displaystyle\int_M \alpha\wedge \beta\wedge \overline\alpha\wedge \overline\beta=0$, и, значит, $\alpha\wedge \beta=0$ (шаг 1).

Шаг 3. Чтобы установить, что форма $\eta:=\alpha\wedge \overline\beta$ точная, снова обратимся к предложению 2.10. Если бы форма $\eta$ не была точной, выполнялось бы неравенство $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta<0$; однако $\displaystyle\int_M \eta\wedge \overline\eta=0$, как показано на шаге 2. Следовательно, $\eta$ точная.

Предложение доказано.

2.5. Структура операции умножения в $H^1(M)$ для некэлеровой поверхности без кривых

Ниже нам потребуется следующая лемма.

Лемма 2.13. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность, а $\Theta$ – точная вещественная $(1,1)$-форма. Тогда существует замкнутая форма $\theta \in \Lambda^1(M)$, для которой $d^c\theta=\Theta$.

Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что $\Theta$ – точная вещественная $(1,1)$-форма, представляющая ненулевой класс когомологий в $H^{1,1}_{\rm BC}(M)$. По теореме 2.5, (ii), класс когомологий формы $\Theta$ лежит в образе естественного отображения $\partial\colon H^{0,1}(M) \to H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ и имеет представление $\partial\widetilde\theta^{0,1}$, где $\widetilde\theta$ – замкнутая форма. Следовательно, $\Theta-d^c\widetilde\theta=d^cdf$ для некоторой функции $f\in C^\infty(M)$. Рассмотрим форму $\theta:=\widetilde\theta+ d f$. Это замкнутая 1-форма, причем $d^c\theta=\Theta$. Лемма доказана.

В этом пункте доказывается следующая структурная теорема для операции умножения в $H^1(M)$. Фактически она справедлива и в общей ситуации, но нам она нужна только в случае поверхностей, не содержащих комплексных кривых.

Теорема 2.14. Пусть $M$ – компактная некэлерова поверхность без кривых, а $\theta \in \Lambda^1(M)$ – замкнутая 1-форма такая, что класс когомологий формы $d^c\theta$ в $H^{1,1}_{\rm BC}(M,\mathbb{R})$ отличен от нуля (лемма 2.13). Через $W \subset \Lambda^1(M)$ обозначим подпространство, порожденное голоморфными и антиголоморфными формами, и отождествим $W$ с его образом в $H^1(M)=W\oplus\langle\theta\rangle$ (теорема 2.5). Тогда справедливы следующие утверждения.

(i) Умножение $W \wedge W \to H^2(M)$ тождественно равно нулю. Умножение $W \wedge \theta \to H^2(M)$ инъективно.

(ii) Пусть $\theta^c:=I(\theta)$. Тогда для любой ненулевой формы $x \in W$ форма $x\wedge \theta^c$ замкнута и представляет ненулевой элемент группы $H^2(M)$.

(iii) На подпространствах $W \wedge \theta$, $W \wedge \theta^c\subset H^2(M)$ спаривание Пуанкаре тривиально. Спаривание Пуанкаре элементов этих подпространств невырождено.

Доказательство. Шаг 1. Умножение $W \wedge W \to H^2(M)$ тождественно нулевое в силу предложения 2.12. Докажем, что для ненулевой формы $x\in W$ форма $x\wedge \theta^c$ замкнута и представляет ненулевой элемент группы $H^2(M)$.

Без ограничения общности можно считать, что $W\ne 0$. Для любой формы $x\in W$ замкнутая $(1,1)$-форма $x\wedge\overline x$ когомологична нулю (предложение 2.12). Действительно, $(x\wedge\overline x)^2=0$, и спаривание Пуанкаре отрицательно определено на образе $H^{1,1}_{\rm BC}(M)$ в когомологиях де Рама в силу предложения 2.10.

Для произвольной ненулевой голоморфной формы $x$ форма $\Theta:=x\wedge \overline x$ положительная, ненулевая и точная. Зафиксируем $\Theta$ и, как в теореме 2.5, (ii), выберем замкнутую форму $\theta$, для которой $d^c\theta=\Theta$. Пусть $y\in W$. Тогда $d(y\wedge \theta^c)= y \wedge x\wedge \overline x=0$ (предложение 2.12), так что форма $y\wedge \theta^c$ замкнута.

Шаг 2. Мы докажем инъективность отображений $W \xrightarrow{\;x\wedge \theta\;} H^2(M)$ и $W \xrightarrow{x\wedge \theta^c} H^2(M)$, если покажем, что формула

$$ \begin{equation*} x,y \longrightarrow \int_M x\wedge y \wedge \theta\wedge \theta^c,\qquad x,y\in W, \end{equation*} \notag $$
задает невырожденное спаривание на $W$. Для этого достаточно показать, что спаривание элементов подпространств, указанных в формулировке, невырождено. Таким образом, (i) и (ii) следуют из (iii).

На образах $W\wedge \theta$ и $W\wedge\theta^c$ подпространства $W$ в $H^2(M)$ спаривание Пуанкаре обращается в нуль, поскольку $\theta\wedge\theta=\theta^c \wedge\theta^c=0$. Чтобы показать, что спаривание между подпространствами $W\wedge \theta$ и $W\wedge \theta^c$ невырождено, рассмотрим голоморфную 1-форму $x\in W$. Для завершения доказательства утверждения (iii) теоремы достаточно показать, что интеграл $\displaystyle\int_M\sqrt{-1}\,x\wedge\overline x\wedge\theta\wedge\theta^c$ положителен. Форма $\sqrt{-1}\,x\wedge \overline x \wedge \theta \wedge \theta^c$ положительная, поскольку она является произведением $(2,0)$-формы и комплексно сопряженной к ней. Она ненулевая, если только $x$ не пропорциональна $(1,0)$-компоненте формы $\theta$, которую мы обозначим через $\theta^{1,0}$.

Шаг 3. Остается показать, что $\theta^{1,0}$ не пропорциональна никакой голоморфной форме; именно здесь используется, что на $M$ нет голоморфных кривых: в этом случае множество нулей любой 1-формы $x\in W$ конечно.

Пусть $x\in W$ – голоморфная форма, пропорциональная $\theta^{1,0}$. Тогда вне множества нулей $S$ формы $x$ определена такая гладкая функция $\alpha$, что $\theta^{1,0}=\alpha x$. Без ограничения общности будем считать, что $d\theta^{1,0}=x \wedge \overline x$ (шаг 1). Тогда $\overline\partial\alpha=\overline x$, откуда следует, что $dd^c \alpha=0$ вне $S$. В этом случае $\alpha$ локально является вещественной частью голоморфной функции; по теореме Хартогса о продолжении $\alpha$ определена на $M$ глобально как гладкая функция. Значит, $\alpha=0$ по принципу максимума, поскольку оператор $dd^c$ эллиптический.

Теорема доказана.

Следствие 2.15. Пусть $M$ – компактная поверхность, не содержащая кривых, а $W \subset H^1(M,\mathbb{C})$ – подпространство, порожденное голоморфными и антиголоморфными формами. Тогда $W$ – рациональное подпространство, т. е. существует такое подпространство $W_{\mathbb{Q}} \subset H^1(M,\mathbb{Q})$, что $W=W_{\mathbb{Q}} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$.

Доказательство. Для $x\in H^1(M)$ через $L_x\colon H^1(M)\to H^2(M)$ обозначим отображение $y \to x\wedge y$. Без ограничения общности можно считать, что $W\ne 0$; тогда $\dim W\geqslant 2$. В силу теоремы 2.14 имеем $\operatorname{rk} L_\theta=\dim W\geqslant 2$ и $\operatorname{rk} L_x=1$ при $x\in W$. Следовательно, $W$ – пространство всех таких векторов $x\in H^1(M)$, что $\operatorname{rk}L_x=1$. Поскольку умножение на $H^*(M)$ определено над полем $\mathbb{Q}$, пространство $W\subset H^1(M)$ рационально. Следствие доказано.

Замечание 2.16. Следствие 2.15 верно для всех поверхностей. Соответствующее доказательство мы оставляем читателю в качестве упражнения.

3. Пространства Барле

Пространства Барле – это пространства циклов, т. е. замкнутых комплексно-аналитических подмножеств фиксированной размерности данного комплексного многообразия, неприводимым компонентам которых приписаны некоторые кратности (натуральные числа). Они похожи на пространства Дуади, которые являются пространствами замкнутых комплексно-аналитических подпространств (структурные пучки которых могут содержать нильпотентные элементы), но не совпадают с ними.

С деталями теории пространств Барле и их свойствами можно ознакомиться в книге [4].

Пусть $M$ – метрическое пространство. Метрика (Громова–)Хаусдорфа на множестве ${\mathscr C}$ замкнутых подмножеств $M$ определяется следующим образом: $d(X,Y)$ равно нижней грани таких $\varepsilon$, для которых $X$ лежит в $\varepsilon$-окрестности $Y$, а $Y$ лежит в $\varepsilon$-окрестности $X$. Когда $M$ компактно, соответствующая топология на ${\mathscr C}$ не зависит от выбора метрики на $M$. Она называется топологией (Громова–)Хаусдорфа.

Для дальнейшего изложения важно, что пространство Барле является приведенным комплексно-аналитическим пространством с топологией, согласующейся с топологией (Громова–)Хаусдорфа на множестве комплексно-аналитических подмножеств.

Пусть $\mathfrak{B}_k(M)$ – пространство Барле $k$-циклов на многообразии $M$. Для каждого $k\geqslant0$ в $\mathfrak{B}_k(M)$ возникает универсальное семейство циклов, носители которых образуют замкнутое комплексно-аналитическое подмножество ${\mathfrak B}^m_k(M) \subset M \times {\mathfrak B}_k(M)$ – “отмеченное пространство Барле” пар вида (комплексно-аналитический цикл, точка на его носителе). Забывающее отображение ${\mathfrak B}^m_k(M)\to {\mathfrak B}_k(M)$ равноразмерное, относительной размерности $k$, а забывающее отображение $\Psi\colon{\mathfrak B}^m_k(M) \to M$ комплексно-аналитическое. В частности, для любой неприводимой компактной компоненты $Z$ пространства Барле верно следующее: если $Z^m$ – соответствующий отмеченный цикл, то по теореме Реммерта о собственном отображении образ $\Psi(Z^m)$ является комплексно-аналитическим подмножеством. Геометрически это означает, что для любого компактного комплексно-аналитического семейства $Z$ циклов из $M$ объединение носителей этих циклов – комплексное подмножество $M$.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующим результатом, доказанным для кривых в [61; следствие 2.19] и для дивизоров в [3].

Теорема 3.1. Пусть $(M,I)$ – компактное комплексное многообразие, а $\omega$ – эрмитова форма. Предположим, что $dd^c\omega^k=0$ для некоторого целого $k>0$. Тогда каждая связная компонента $Z$ пространства Барле ${\mathfrak B}_k(M)$ компактна.

Доказательство. По теореме Бишопа [8], предел по (Громову–)Хаусдорфу семейства компактных комплексно-аналитических подмножеств имеет комплексную структуру, если эрмитов объем этих подмножеств ограничен. Поскольку пространство замкнутых подмножеств $M$ компактно в топологии (Громова–)Хаусдорфа, множество замкнутых компактных $k$-мерных аналитических подмножеств объема, ограниченного константой $C\in \mathbb{R}$, тоже компактно.

Поэтому для доказательства компактности достаточно показать, что, как функция $[S]\in Z$, объем $\operatorname{Vol}(S)$ постоянен.

Пусть $X$ – отмеченное семейство, ассоциированное с $Z$, а $\pi_M\colon X \to M$ и $\pi_X\colon X \to Z$ – забывающие отображения. Тогда функцию объема $\operatorname{Vol}\colon Z\to \mathbb{R}_{>0}$ можно представить в виде $\operatorname{Vol}=(\pi_X)_*\pi_M^* \omega^k$, где $(\pi_X)_*$ – прямой образ дифференциальной формы (вообще говоря, это не форма, но корректно определенный поток).

Пусть $k$ – размерность циклов, параметризованных точками $Z$. Поскольку взятие прямого и обратного образа дифференциальной формы коммутирует с операторами $d$ и $d^c$, имеем

$$ \begin{equation*} dd^c\operatorname{Vol}=(\pi_X)_*\pi_M^*(dd^c\omega^k) \end{equation*} \notag $$
(к примеру, см. [36; (8.12)], [60; теорема 2.10] или [35; предложение 1.9]). Следовательно, $dd^c\operatorname{Vol}=0$ при условии, что $dd^c\omega^k=0$.

Функции, удовлетворяющие уравнению $dd^c f=0$, называются плюригармоническими. С помощью локальной $dd^c$-леммы легко видеть, что плюригармоническая функция локально является суммой голоморфной и антиголоморфной функций.

По теореме Бишопа для любого $C\in \mathbb{R}$ множество $\operatorname{Vol}^{-1}(]{-}\infty,C])$ компактно, так что функция ${-}\!\operatorname{Vol}$ достигает максимума на $X$. Однако плюригармоническая функция, достигающая максимума, постоянна по строгому принципу максимума Хопфа. Значит, на каждой связной компоненте пространства Барле функция $\operatorname{Vol}$ постоянна. Следовательно, каждая из этих компонент компактна в силу результата Бишопа. Теорема доказана.

Применяя этот результат к пространству кривых на комплексной поверхности и используя форму Годушона $\omega$ (п. 2.1), получаем следующее полезное утверждение.

Следствие 3.2. Предположим, что $M$ – компактная комплексная поверхность, ${\mathfrak B}_1(M)$ – пространство Барле 1-циклов на $M$ и $Z$ – связная компонента этого пространства. Тогда $Z$ компактна.

4. Некэлеровы эллиптические поверхности

4.1. Связность Гаусса–Манина

Для дальнейшего изложения напомним некоторые основы теории связности Гаусса–Манина (см. [32] или [62]). Пусть $\pi\colon M \to B$ – гладкая собственная субмерсия гладких многообразий. По теореме Эресманна слои $\pi$ диффеоморфны. Тогда $\pi$ является локально тривиальным расслоением и $k$-е когомологии слоев для каждого $k$ образуют локальную систему, называемую локальной системой Гаусса–Манина. В силу соответствия Римана–Гильберта категория локальных систем эквивалентна категории векторных расслоений с плоскими связностями.

Расслоение, ассоциированное с локальной системой Гаусса–Манина, называется расслоением Гаусса–Манина, а связность на нем называется связностью Гаусса–Манина. Ее можно построить следующим образом.

Пусть $T_{\rm vert} M\subset TM$ – расслоение векторов, касательных к слоям отображения. По определению связность Эресманна $e$ на $M$ – это разложение

$$ \begin{equation*} TM= T_{\rm vert} M \oplus T_{\rm hor} M \end{equation*} \notag $$
(точнее, некоторый выбор такого разложения). Идентифицируя $T_{\rm hor} M$ с обратным образом $\pi^*TB$, можно в качестве прообраза векторного поля $X\in TB$ взять векторное поле $X_e\in T_{\rm hor} M$.

Сечение векторного расслоения, ассоциированного с послойными когомологиями на многообразии $M$, задается послойно замкнутой дифференциальной формой $\eta\in\Lambda^k(M)$. Для всякого векторного поля на $B$, поднятого до горизонтального векторного поля $X_e$ на $M$, производная Ли $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta$ замкнута на слоях $\pi$: в самом деле, соответствующие диффеоморфизмы переводят слои в слои, а послойно замкнутые формы в послойно замкнутые.

Поскольку выбор разных связностей Эресманна $e$ и $e'$ приводит к векторным полям $X_e$ и $X_{e'}$, удовлетворяющим соотношению $Y:=X_e-X_{e'}\in T_{\rm vert} M$, а форма $\operatorname{Lie}_{Y}\eta$ послойно точна, класс когомологий ограничения $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta$ на слой не зависит от выбора связности Эресманна.

Пусть теперь $[\eta]$ – семейство классов когомологий формы $\eta$ на слоях $\pi$, рассматриваемое как сечение расслоения Гаусса–Манина. Положим

$$ \begin{equation} \nabla_X[\eta]:=[\operatorname{Lie}_{X_e}\eta], \end{equation} \tag{4.1} $$
где $[\operatorname{Lie}_{X_e}\eta]$ – семейство классов когомологий формы $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta$ на слоях $\pi$. Эта формула задает связность Гаусса–Манина $\nabla$.

Это замечание нужно нам для доказательства следующей леммы.

Лемма 4.1. Пусть $\pi\colon M \to B$ – гладкое расслоение, а $\eta$ – $p$-форма, замкнутая на слоях $\pi$. Рассмотрим обратный образ $\pi^*(\Lambda^*(B))$ как подпространство $\Lambda^*(M)$. Предположим, что $d\eta$ лежит в произведении $\pi^*(\Lambda^2(B))\wedge \Lambda^{p-1}(M)\subset \Lambda^{p+1}(M)$. Тогда сечение $[\eta]$ расслоения Гаусса–Манина является параллельным.

Доказательство. Используем формулу (4.1): $\nabla_X[\eta]=[\operatorname{Lie}_{X_e}\eta]$. По формуле Картана $\operatorname{Lie}_{X_e}\eta=i_{X_e}d\eta+d(i_{X_e}\eta)$. Здесь второй член справа точен, а первый обращается с нуль на слоях, поскольку $d\eta\in \pi^*(\Lambda^2(B))\wedge \Lambda^{p-1}(M)$. Лемма доказана.

4.2. Эллиптические слоения на некэлеровых поверхностях

Варианты теоремы, приведенной ниже, имеются (с другими доказательствами) в [13; теорема 3.17] и [12].

Теорема 4.2. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность, на которой определено непостоянное одномерное семейство дивизоров. Тогда на $M$ можно определить сюръективное голоморфное отображение поверхности $M$ на кривую $\pi\colon M \to S$, общие слои которого – изоморфные эллиптические кривые. Вдобавок, если $M$ минимально, то все слои $\pi$ – эллиптические кривые.

Доказательство. Шаг 1. Можем считать, что все дивизоры указанного семейства – неприводимые кривые (если у дивизора все компоненты неподвижны, то и сам дивизор неподвижен). Пусть $S$ – база семейства. Это приведенное одномерное комплексное пространство, а кривые из семейства (взятые с кратностью единица) образуют аналитическое семейство $1$-циклов на $M$. В силу универсального свойства пространств Барле последнее семейство возникает из универсального посредством некоторого отображения $S \to {\mathfrak B}_1(M)$. Заменим $S$ неприводимой компонентой пространства ${\mathfrak B}_1(M)$, содержащей образ этого отображения. Как показано в следствии 3.2, связные компоненты ${\mathfrak B}_1(M)$ компактны. Следовательно, $S$ компактно, носитель $S^m \subset M \times S$ семейства $S$ неприводим и его образ $\Psi(S^m) \subset M$ при проекции $\Psi\colon M \times S \to M$ – неприводимое замкнутое аналитическое подмножество. Поскольку исходное семейство непостоянно, $\Psi(S^m)$ не может быть кривой, так что $\Psi(S^m)=M$.

В силу предложения 2.10 у комплексных кривых $C\subset M$ с фундаментальным классом $[C]\ne 0$ отрицательные индексы самопересечения. Так что если $U \subset S$ – плотное открытое подмножество $S$, параметризующее неприводимые циклы кратности единица, а $U^m \subset S^m$ – его прообраз в $S^m$, то собственное отображение $\Psi\colon S^m \to M$ инъективно на $U^m$. Это, прежде всего, означает, что размерность $S$ в точности равна $1$, а размерность $S^m$ равна $2$. Далее, $\Psi$ взаимно однозначно над дополнением $M \setminus \Psi(S^m \setminus U^m)$, и поскольку $S^m \setminus U^m$ – конечное дизъюнктное объединение “плохих” слоев проекции $S^m \to S$, образ $\Psi(S^m \setminus U^m) \subset M$ не более чем одномерен. Заметим, наконец, что, хотя эти “плохие” слои соответствуют разным циклам, у них могли бы быть общие неприводимые компоненты, т. е. они могли бы пересекаться. Однако если бы $\Psi$ стягивало кривую $C \subset S^m$, то $C$ лежала бы в разности $S^m \setminus U^m$, так что каждая ее связная компонента лежала бы в “плохом” слое. С другой стороны, по определению $\Psi$ инъективно на всех слоях проекции на $S$, в том числе и на “плохих”, так что такой кривой $C$ не существует.

Итак, $\Psi\colon S^m \to M$ – собственное отображение с конечными слоями, взаимно однозначное над дополнением к аналитическому подмножеству положительной коразмерности. Поскольку многообразие $M$ гладкое и, значит, нормальное, $\Psi$ – изоморфизм, так что получаем голоморфное отображение $\pi\colon M \cong S^m \to S$ на неприводимую компактную кривую. Рассмотрев факторизацию Штейна этого отображения, мы можем считать, что $S$ – нормальная и, значит, гладкая кривая.

Шаг 2. Теперь пусть $C$ – общий слой отображения $\pi$. С помощью стандартного изоморфизма $\pi^*(\Omega^1(S))=N^*_\pi M$ между обратным образом кокасательного пучка и конормальным расслоением к слоям $\pi$ получаем точную последовательность, иногда называемую формулой присоединения:

$$ \begin{equation} 0 \longrightarrow \pi^*(\Omega^1(S))\longrightarrow \Omega^1 (M) \longrightarrow \Omega^1_\pi (M) \longrightarrow 0, \end{equation} \tag{4.2} $$
где $\Omega^1_\pi(M)$ – расслоение голоморфных дифференциалов на слоях $\pi$. Эта последовательность имеет смысл в неособых точках $\pi$, но она и интересует нас только вблизи общего слоя $C$.

Из точной последовательности (4.2) получаем равенство $K_M\big|_C=K_C$, т. е. ограничение на слой $C$ канонического расслоения многообразия $M$ дает каноническое расслоение слоя. Поскольку у $C$ нулевой индекс самопересечения, этот слой гомологичен нулю (предложение 2.10). В результате имеем $\displaystyle\int_C c_1(K_M)=0$, так что степень $K_C$ равна нулю. Значит, $C$ – эллиптическая кривая.

Шаг 3. Вернемся к отображению $\pi\colon M \to S$, построенному выше. На этом этапе мы докажем, что все гладкие слои этого отображения изоморфны.

Пусть $S_0\subset S$ – множество его регулярных значений, а $H$ – расслоение Гаусса–Манина, ассоциированное с первыми когомологиями слоев $\pi$. Пусть $\theta$ – замкнутая $1$-форма, определенная в лемме 2.13. Поскольку класс когомологий формы $\theta$ не поднимается с $S$ (теорема 2.5), класс когомологий ограничения $\theta\big|_C$ нетривиален. С другой стороны,  $d^c\theta=\Theta$ зануляется на слоях $\pi$. Мы получаем, что $\theta^{1,0}\big|_C$ – нетривиальная голоморфная $1$-форма. Поскольку форма $\theta$ замкнута, она параллельна относительно связности Гаусса–Манина. Форма $d^c\theta=\Theta$ принадлежит пространству $\pi^*(\Lambda^2(B))$. Значит, форма $I(\theta)$ замкнута на слоях $\pi$. По лемме 4.1 форма $I(\theta)$, а значит, и ходжевы компоненты формы $\theta$ задают параллельные сечения расслоения Гаусса–Манина.4

Мы получили базис $\theta^{1,0}$, $\theta^{0,1}$ для $H$. Значит, вариация структур Ходжа, индуцированная периодами эллиптических кривых на $H$, тривиальна. Это означает, что соответствующее эллиптическое расслоение изотривиально.

Заметим, что по теореме Грауэрта–Фишера [25] изотривиальность означает локальную тривиальность, так что расслоение $\pi$ локально тривиально над $S_0$.

Шаг 4. Осталось показать, что каждый слой $\pi$ содержит эллиптическую кривую и не содержит больше ничего, если $M$ минимально.

Пусть $s \in S \setminus S_0$ – критическое значение отображения $\pi$. Выберем такую достаточно малую окрестность $U \subset S$ точки $s$, не содержащую других критических значений, что область $M_U=\pi^{-1}(U)$ ретрагируется на особый слой $C_s=\pi^{-1}(s)$ (такая ретракция строится в работах [49], [19]; см. также [45]). Кроме того, выберем точку $u$ в проколотом круге $U^o=U \setminus \{s\}$ и точку $m$ в ее прообразе $C_u=\pi^{-1}(u) \subset M_U$ и положим

$$ \begin{equation*} M_U^o=\pi^{-1}(U^o)=M_U \setminus C_s \subset M_U. \end{equation*} \notag $$

Поскольку вещественная коразмерность $C_s \subset M$ не меньше $2$, отображение $\pi_1(M_U^o,m) \to \pi_1(M_U,m)$ сюръективно, так что отображение

$$ \begin{equation*} H_1(M_U^o,\mathbb{Z}) \longrightarrow H_1(M_U,\mathbb{Z}) \cong H_1(C_s,\mathbb{Z}) \end{equation*} \notag $$
и его рациональная версия
$$ \begin{equation} H_1(M_U^o,\mathbb{Q}) \longrightarrow H_1(M_U,\mathbb{Q}) \cong H_1(C_s,\mathbb{Q}) \end{equation} \tag{4.3} $$
также сюръективны. Из спектральной последовательности Лере видно, что $H_1(M_U^o,\mathbb{Q}) \cong H_1(C_u,\mathbb{Q}) \oplus \mathbb{Q}\langle \alpha \rangle$, где $\alpha$ – произвольный класс с нетривиальным образом $\pi(\alpha) \in \mathbb{Q} \cong H_1(U^o,\mathbb{Q})$. В частности, возникают индуцированное отображение специализации $H_1(C_u,\mathbb{Q}) \to H_1(C_s,\mathbb{Q})$ и соответствующее ему отображение в гомологиях с коэффициентами в $\mathbb{Z}$. Теперь рассмотрим “мультисечение” $\sigma\colon\widetilde{U} \to M_U$ проекции $\pi\colon M_U \to U$, т. е. конечнократное накрытие $\widetilde{U} \to U$ круга $U$, разветвленное в точке $s \in U$ и пропускающееся через $\pi$, и пусть $\alpha=\sigma(1)$ – образ образующей $1 \in \mathbb{Q}$ при отображении $\sigma\colon\mathbb{Q}=H_1(\widetilde{U}^o,\mathbb{Q}) \to H_1(M_U^o,\mathbb{Q})$. Тогда отображение (4.3) переводит $\alpha$ в нуль, так что отображение специализации $H_1(C_u,\mathbb{Q}) \to H_1(C_s,\mathbb{Q})$ тоже оказывается сюръективным.

Заметим теперь, что, поскольку $U$ – круг, кэлерова форма $\omega_S$ является $dd^c$-точной на $U$, так что $\omega_S=\overline\partial\partial \varphi$ для некоторого $\varphi\in C^\infty (U)$. Заменяя $\theta^{1,0}$ на $\gamma:=\theta^{1,0}-\partial\varphi$, получим $(1,0)$-форму $\gamma$ с такими же ограничениями на слои, однако теперь она удовлетворяет соотношению

$$ \begin{equation*} d\gamma=d\theta^{1,0}-d\partial\varphi= \omega_S-\overline\partial\partial\varphi=0. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, форма $\gamma$ голоморфна и замкнута на $M_U$, а потому задает класс когомологий де Рама $[\gamma]$.

Введем обозначения $P=H_1(C_u,\mathbb{Z})$ и $P'=H_1(C_s,\mathbb{Z})$ и рассмотрим отображения

$$ \begin{equation} P \longrightarrow P' \longrightarrow \mathbb{C}, \end{equation} \tag{4.4} $$
где первая стрелка – отображение специализации, а вторая получается вычислением значений $[\gamma]$ на рассматриваемых циклах. Из шага 2 известно, что $C_u$ – эллиптическая кривая $E$, так что $P \cong \mathbb{Z}^2$ – решетка ранга $2$, а отображение (4.4) – отображение периодов, реализующее отождествление $E\cong \mathbb{C}/P$. В частности, отображение $P \to \mathbb{C}$ инъективно. Но тогда и отображение специализации $P \to P'$ инъективно, а поскольку отображение $P \otimes \mathbb{Q} \to P' \otimes \mathbb{Q}$ сюръективно, получаем, что $P'\otimes \mathbb{Q} \cong P \otimes \mathbb{Q}$ и $P \subset P'$ – подгруппа некоторого конечного индекса $n$.

Положим $G=P'/P$ и заметим, что $G$, будучи фактором группы гомологий $H_1(M_U,\mathbb{Z}) \cong P'$, является также фактором фундаментальной группы $\pi_1$. Пусть $\eta\colon M'_U \to M_U$ – соответствующее неразветвленное $n$-кратное накрытие Галуа с группой Галуа $G$. По определению отображение $H_1(M'_U,\mathbb{Z}) \to H_1(M_U,\mathbb{Z})= P'$ пропускается через $P$. Рассмотрим отображение $\pi \circ \eta\colon M'_U \to U$, и его штейнову факторизацию $\pi \circ \eta=\nu \circ \pi'$ в композицию разветвленного конечнократного накрытия $\nu\colon U' \kern-1pt \to U$ и голоморфного отображения $\pi'\colon M'_U \to U'$ со связными слоями. Тогда для любой точки $u \in U^o$ отображение $\pi_1(C_u) \to \pi_1(M_U) \to G$ тривиально по построению, так что накрытие $\eta$ тривиально над $C_u$, и $C'_u=\eta^{-1}(C_u)$ – несвязное объединение $n$ экземпляров $E \cong C_u$, транзитивно переставляемых действием группы $G$. По определению эти компоненты соответствуют точкам множества $\nu^{-1}(u)$, так что $\nu\colon U' \to U$ – неразветвленное $n$-кратное накрытие области $U^o \subset U$. Поскольку $M'_U$ связно, многообразие $U'$ связно, и, поскольку оно нормальное, а значит, гладкое, это круг, а $\nu\colon U' \to U$ оказывается стандартным $n$-кратным накрытием $z \mapsto z^n$. Следовательно, $G\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ – циклическая группа, образующая которой действует на $U'$ умножениями на корень из единицы.

Теперь положим $C_s'=\eta^{-1}(C_s)$, выберем точку $m \in C'_s$ и рассмотрим отображение $\operatorname{Alb}\colon M'_U \to E=\mathbb{C}/P$ типа Альбанезе, переводящее точку $m' \in M_U'$ в интеграл $\displaystyle\int_l \eta^*\gamma$, где $l\colon [0,1] \to M'_U$ – произвольный путь, соединяющий точки $m$ и $m'$ (по модулю $P$ этот интеграл не зависит от выбора пути). Тогда $\operatorname{Alb}$ отождествляет каждую компоненту кривой $C'_u$, $u \in U^o$, с $E$, а произведение $\operatorname{Alb} \times \pi'\colon M'_U \to E \times U'$ – собственное отображение, являющееся изоморфизмом над $\nu^{-1}(U^o)$. Значит, это сюръективное рациональное отображение, группа $\pi_1(M'_U,m) \cong P$ абелева, а отображение

$$ \begin{equation*} H^1(E,\mathbb{Z}) \cong H^1(E \times U',\mathbb{Z}) \longrightarrow H^1(M'_U,\mathbb{Z}) \cong H^1(C'_s,\mathbb{Z}) \end{equation*} \notag $$
является изоморфизмом. Более того, $C'_s \to E$ – сюръективное собственное отображение, и, следовательно, у $C'_s$ есть компонента $C$, доминирующая кривую $E$ и потому имеющая род $\geqslant 1$ (причем могут также иметься и другие компоненты). Однако если $C''_s$ – нормализация $C'_s$, то отображение $H^1(E,Z) \cong H^1(C'_s,\mathbb{Z}) \to H^1(C''_s,\mathbb{Z})$ сюръективно. Следовательно, $H^1(E,\mathbb{Z}) \cong H^1(C,\mathbb{Z})$, так что $C \cong E$, в то время как остальные компоненты $C'_s$ – рациональные кривые с тривиальными группами $H^1$. Если $M$ минимально, то других компонент нет и $M'_U \cong E \times U'$.

Для завершения доказательства остается заметить, что $G \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ действует на $M'_U$ без неподвижных точек, и поскольку при этом единственная нерациональная компонента $C \cong E$ кривой $C'_s$ переводится в себя, возникает действие на $E$ без неподвижных точек. Следовательно, образующая $1 \in P'/P \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ действует сдвигами на элемент $n$-кручения $e\in E=\mathbb{C}/P$, и отображение $P' \to \mathbb{C}$ инъективно, так что $P' \cong \mathbb{Z}^2$ и слой $C_s=C'_s/G$ состоит из эллиптической кривой $E'=E/G=\mathbb{C}/P'$ и нескольких рациональных кривых (которых нет в минимальном случае).

Теорема 4.2 доказана.

Следствие 4.3. Пусть $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность с $b_1(M)>3$. Тогда на $M$ определено эллиптическое расслоение.

Доказательство. Теорема 2.5 означает, что $\dim H^{1,0}(M)=(b_1(M)-1)/2$, и, следовательно, $\dim H^0(\Omega^1(M))\geqslant 2$. По предложению 2.12 все глобально определенные голоморфные 1-формы на $M$ пропорциональны в каждой точке. Рассмотрим пучок $L\subset \Omega^1(M)$ ранга 1, порожденный голоморфными 1-формами. Если $\dim H^{1,0}(M)=\dim H^0(L)>1$, то дивизоры нулей сечений этого пучка образуют непрерывное семейство кривых на $M$ и мы можем использовать теорему 4.2. Следствие доказано.

Замечание 4.4. Доказанный выше результат не означает, что $\pi$ – субмерсия. В действительности у $\pi$ могут быть кратные слои. Основной локальный пример – это логарифмическое преобразование Кодаиры. Для эллиптической кривой $E=\mathbb{C}/P$ и точки кручения $e \in E$ некоторого порядка $n$ рассмотрим фактор

$$ \begin{equation*} M_U(E,e)=(E \times U')/(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), \end{equation*} \notag $$
где $U'$ – единичный круг, а образующая $1 \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ действует на кривой $E$ сдвигами на $e$ и действует на круге $U'$ умножением на корень степени $n$ из единицы. У этого действия нет неподвижных точек, так что $M_U(E,e)$ – гладкое многообразие, причем определено голоморфное отображение $M_U(E,e) \to U=U'/(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, где $U$ – тоже круг. Как мы видели на шаге 4 доказательства теоремы 4.2, этот локальный пример универсален: если $M$ минимально, то все многообразия $M_U=M'_U/(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ – этого типа.

4.3. Изотривиальные эллиптические расслоения

Предложение 4.5. Предположим, что $M$ – некэлерова компактная комплексная поверхность, на которой определено эллиптическое расслоение $\pi\colon M \to B$. Пусть $C$ – общий слой $M$. Тогда определено естественное голоморфное действие $C$ на $M$, которое транзитивно на слоях и свободно на слоях кратности единица.

Доказательство. Назовем пары точек $(a,b)$ и $(a_1,b_1)$ на гладкой кривой $T$ рода 1 рационально эквивалентными, если существует сдвиг $T$, переводящий $(a,b)$ в $(a_1,b_1)$. Ясно, что множество $\operatorname{Jac}(T)$ таких пар, рассматриваемых с точностью до рациональной эквивалентности, изоморфно самому $T$ с фиксированной точкой $(x,x)$, которую можно считать единичным элементом группы. Будем рассматривать $T$ как торсор над $\operatorname{Jac}(T)$.5

Рассмотрим относительный якобиан $\operatorname{Jac}(M)$ многообразия $M$ над шаром $B$ (см. [44]), т. е. фактор произведения $M\times_B M$ по модулю рациональной эквивалентности: две точки $x,y\in M\times_B M$ рационально эквивалентны, если их можно соединить рациональной кривой. Относительный якобиан можно локально интерпретировать с помощью относительного отображения Альбанезе (см. замечание 4.4 и шаг 4 доказательства теоремы 4.2).

Отображение $\pi\colon \operatorname{Jac}(M)\to B$ – это локально тривиальное расслоение с глобально определенным сечением, так что оно тривиально. Естественное послойное действие $\operatorname{Jac}(M)=C\times B$ на $M$ задает действие на $M$, свободное и транзитивное на общих слоях.

Это действие транзитивно на всех слоях. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим множество

$$ \begin{equation*} \{(x,y,c) \in M\times_B M\times_B \operatorname{Jac}(M)\mid (x,y)\sim c\}. \end{equation*} \notag $$
Это комплексно-аналитическое подмножество пространства $M\times_B M\times_B \operatorname{Jac}(M)$. По теореме Реммерта о собственном отображении его проекция $V$ на $M\times_B M$ – замкнутое множество. Поскольку $V$ содержит все регулярные точки отображения $M\times_B M\to B$, получаем, что $V=M\times_B M$. Предложение доказано.

Определение 4.6. Пусть $M$ – комплексное многообразие, на котором задано действие компактного комплексного тора $T$, с орбитами одинаковой размерности. Предположим, что факторотображение $\pi\colon M \to S$ корректно определено. Тогда $\pi\colon M \to S$ называется изотривиальным торическим расслоением (или изотривиальным эллиптическим расслоением, если $\dim_\mathbb{C} T=1$).

Замечание 4.7. Некоторые авторы называют изотривиальным эллиптическим расслоением расслоение, все гладкие слои которого изоморфны одной и той же эллиптической кривой, причем все особенности сводятся к кратным слоям. В работах [13] и [12] аналогичный объект называется quasi-bundle.

Замечание 4.8. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение со слоем $C$ над кривой $S$. Свяжем с $\pi$ следующую структуру орбифолда на $S$. Для кратного слоя $R=\pi^{-1}(s)$ расслоения $\pi$ рассмотрим группу $\Gamma_R\subset C$, являющуюся ядром естественного действия $C$ на $R$. Рассмотрев фактор $M/\Gamma_R$, мы получим другое расслоение, локально тривиальное в окрестности $s$. Гладкое сечение этого расслоения в окрестности $s$ порождает $\Gamma_R$-инвариантное мультисечение $\widetilde U \to U$ расслоения $\pi\colon \pi^{-1}(U) \to U$. Тогда $U$ можно получить факторизацией конечного порядка многообразия $\widetilde U$ и $\pi$ поднимается до локально тривиального расслоения на $\widetilde U$.

Замечание 4.9. Мы установили, что изотривиальное эллиптическое расслоение $\pi\colon M \to S$ над кривой задает на этой кривой структуру орбифолда и относительно этой структуры $\pi$ локально тривиально. Такие же рассуждения проходят для любой базы $S$ независимо от ее размерности.

Для упрощения обозначений и рассуждений мы будем обращаться с гладкими расслоениями над орбифолдами так же, как с обычными гладкими расслоениями, и использовать стандартную терминологию, не добавляя “в смысле орбифолдов” всякий раз, когда упоминается гладкость. Бо́льшая часть стандартных результатов и построений рутинно распространяются на категорию орбифолдов; единственное важное для нас исключение обсуждается ниже в замечании 4.12.

Топология и геометрия изотривиальных торических расслоений и главных торических расслоений довольно тщательно анализировались в работе [33]. Для наших целей будет полезна следующая теорема. Заметим, что в рамках категории орбифолдов изотривиальное торическое расслоение можно рассматривать как локально тривиальное главное торическое расслоение. Вслед за [33] определим классы Черна, ассоциированные с изотривиальными торическими расслоениями следующим образом.

Теорема 4.10. Пусть $T(S)$ – пучок гладких функций на $S$ со значениями в торе $T$. Пусть $\widetilde T=\mathbb{R}^n$ – универсальное накрытие $T$, а $\widetilde T(S)$ – пучок ростков гладких $\widetilde T$-значных функций на $S$. Через $\mathbb{Z}^n(S)$ обозначим постоянный пучок со слоем $\mathbb{Z}^n$. Тогда точная последовательность пучков

$$ \begin{equation*} 0 \longrightarrow \mathbb{Z}^n(S) \longrightarrow \widetilde T(S)\longrightarrow T(S)\longrightarrow 0 \end{equation*} \notag $$
индуцирует точную последовательность когомологий
$$ \begin{equation*} 0=H^1(S,\widetilde T(S)) \longrightarrow H^1(S,TS) \longrightarrow H^2(S,\mathbb{Z}^n(S)) \longrightarrow H^1(S,\widetilde T(S))=0 \end{equation*} \notag $$
и биективное соответствие между множеством $H^1(T(S))$ главных торических расслоений и группой когомологий $H^2(\mathbb{Z}^n(S))=(H^2(S,\mathbb{Z}))^n$.

Доказательство. Это очевидно (см. детали в [33]).

Определение 4.11. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное торическое расслоение со слоем $T=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$. Тогда классы $n$-мерных когомологий, связанные с $\pi$, как в теореме 4.10, называются классами Черна изотривиального торического расслоения. Эти классы задаются отображением $H_1(T,\mathbb{Z}) \to H^2(S,\mathbb{Z})$.

Когда $H^2(S,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$, классы Черна $\pi$ можно понимать как отображения $H_1(T,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$, т. е. элементы двойственной решетки $H_1(T,\mathbb{Z})^*=H^1(T,\mathbb{Z})$. В этой ситуации имеет смысл говорить про “класс Черна”.

Замечание 4.12. В случае, когда $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение над компактной кривой, имеем $H^2(S,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$. Следовательно, такое торическое расслоение однозначно определено вектором $c_1(\pi) \in \mathbb{Z}^2=(H^2(S,\mathbb{Z}))^2$. Напомним, что вектор $v$ решетки $\mathbb{Z}^n$ называется примитивным, если $v$ не делится на целые числа $n>1$. Для примитивного вектора $v$ решетки $\Lambda=\mathbb{Z}^2$ существует вектор $w\in \Lambda$, для которого $\Lambda=\langle w,v\rangle$. Следовательно, класс Черна изотривиального эллиптического расслоения над кривой определяется (с точностью до изоморфизма $\Lambda$) наибольшим $n \in \mathbb{Z}$ таким, что $c_1(\pi)$ делится на $n$. С учетом этого замечания будем трактовать $c_1(\pi)$ как неотрицательное целое число. Оно равно нулю для $v=0$ и равно наибольшему целому делителю $v$ при $v\ne 0$. Заметим, что, когда $S$ – орбифолд, первый класс Черна по-прежнему корректно определен и классифицирует изотривиальные векторные расслоения, но уже неверно, что $H^2(S,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ – в когомологиях может быть кручение.

Докажем теперь, что изотривиальное эллиптическое расслоение $\pi\colon M \to S$ над кривой, у которого $c_1(\pi)$ не является элементом кручения, получается как фактор тотального пространства некоторого обильного $\mathbb{C}^*$-расслоения. Для начала нам понадобится следующий топологический результат.

Утверждение 4.13. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение над компактной кривой $S$ с общим слоем $C$. Предположим, что $c_1(\pi)$ имеет бесконечный порядок. Тогда естественное отображение $H_1(C) \to H_1(M)$ имеет ранг 1. Более того, существует такая нормальная подгруппа $G\subset \pi_1(M)$ с $\pi_1(M)/G=\mathbb{Z}$, для которой соответствующее $\mathbb{Z}$-накрытие индуцирует бесконечное $\mathbb{Z}$-накрытие кривой $C$.

Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
$$ \begin{equation} H_2(S,\mathbb{Q})\overset{\delta}{\longrightarrow} H_1(C,\mathbb{Q})\overset{\psi}{\longrightarrow} H_1(M,\mathbb{Q}) \longrightarrow H_1(S,\mathbb{Q})\longrightarrow 0, \end{equation} \tag{4.5} $$
следующую из спектральной последовательности Лере для рассматриваемого расслоения. Легко видеть, что $\delta$ двойственно к классу Черна $\pi$. Следовательно, ранг отображения $\psi\colon H_1(C,\mathbb{Q}) \to H_1(M,\mathbb{Q})$ равен 1, если порядок $c_1$ бесконечен, и равен 2, если $c_1$ – элемент кручения. Значит, существует такой элемент $v\in \pi_1(C)$, что у его образа в $\pi_1(M)$ порядок бесконечен. Рассмотрим гомоморфизм $H_1(M,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$, не обращающийся в нуль на $\psi(H_1(C))$. Поскольку $H_1(M)= {\pi_1(M)}/{[\pi_1(M),\pi_1(M)]}$, отображение $v$ задает гомоморфизм групп $\pi_1(M) \to \mathbb{Z}$, нетривиальный на $\pi_1(C)=H_1(C,\mathbb{Z})$. Утверждение доказано.

Предложение 4.14. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение над компактной кривой $S$, а $C$ – его общий слой. Рассмотрим такое $\mathbb{Z}$-накрытие $\varphi\colon\widetilde M\to M$, что $\varphi^{-1}(C)\to C$ – бесконечное $\mathbb{Z}$-накрытие. Тогда $\widetilde M$ – тотальное пространство главного $\mathbb{C}^*$-расслоения, ассоциированного с некоторым линейным расслоением $L$ на $M$. Более того, поверхность $M$ можно получить факторизацией тотального пространства $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ ненулевых векторов из $L$ по голоморфному автоморфизму $q\colon S \to S$, действующему на $L$ эквивариантно и линейно на слоях. Наконец, автоморфизм $q\colon S \to S$ имеет конечный порядок и $|c_1(L)|$ совпадает с $c_1(\pi)$.

Доказательство. Поскольку $\varphi^{-1}(C)\to C$ есть $\mathbb{Z}$-накрытие, пространство $\widetilde M$ является главным $C^*$-расслоением над $S$. Пусть $L$ – ассоциированное линейное расслоение. Тогда $\widetilde M=\operatorname{Tot}(L^*)$ и $M$ получается из $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ факторизацией по действию циклической группы автоморфизмов, порожденной автоморфизмом $\widetilde q\colon \widetilde M \to \widetilde M$, коммутирующим с $\mathbb{C}^*$-действием. Поэтому $\widetilde q$ задает голоморфный автоморфизм $q$ кривой $S$. Однако все автоморфизмы $\mathbb{C}^*$, коммутирующие с $\mathbb{C}^*$-действием, задаются умножением на число. Следовательно, $\widetilde q$ задает голоморфное сечение $\lambda\in \operatorname{Hom}(L,q^*(L))$. Слои $\pi\colon M \to S$ компактны, так что автоморфизм $q$ имеет конечный порядок.

Класс Черна расслоения $L$ вычисляется по $U(1)$-расслоению, ассоциированному с $L$, которое гомотопически эквивалентно пространству $\widetilde M$. Значит, $c_1(L)$ равен классу Черна $c_1$ расслоения на окружности, ассоциированного с $\mathbb{C}^*$-расслоением $\widetilde M \to S$. Однако класс $c_1$ расслоения $\widetilde M \to S$ равен $\pm c_1(\pi)$ по построению (знак $\pm$ связан с неоднозначностью определения класса $c_1$ торического расслоения: см. замечание 4.12). Предложение доказано.

4.4. Теорема Бланшара и локально конформно кэлеровы структуры на некэлеровых поверхностях

Основной результат настоящего пункта – это следующая теорема, доказательство которой приводится в конце этого пункта.

Теорема 4.15 [6; теорема 1]. Пусть $M$ – компактная некэлерова минимальная поверхность, на которой можно задать эллиптическое расслоение. Тогда $M$ вайсманова.

Мы воспользуемся теоремой Бланшара (см. [9] или [51]), которую для целей настоящего случая удобно использовать в следующем виде.

Теорема 4.16. Пусть $\pi\colon M \to S$ – изотривиальное эллиптическое расслоение. Тогда $M$ кэлерова в том и только том случае, когда $c_1(\pi)$ – элемент кручения.

Доказательство. Предположим, что $c_1(\pi)$ – элемент кручения, и рассмотрим точную последовательность
$$ \begin{equation*} 0 \longrightarrow H^1(S,\mathbb{Q}) \longrightarrow H^1(M,\mathbb{Q}) \longrightarrow H^1(C,\mathbb{Q})\overset{\delta^*}{\longrightarrow} H^2(S,\mathbb{Q}), \end{equation*} \notag $$
следующую из спектральной последовательности Лере. Как показано в доказательстве утверждения 4.13, $\delta^*=0$ тогда и только тогда, когда $c_1(\pi)$ – элемент кручения. Однако если $\delta^*\ne 0$, то обратный образ $\pi^*(\omega_S)$ формы объема точен, что для кэлерова многообразия $M$ невозможно по замечанию 1.4.

Теперь пусть $c_1(\pi)$ – элемент кручения или, что то же, $\delta^*=0$. С помощью предложения 4.14 поверхность $M$ представляется в виде фактора тотального пространства $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ по действию автоморфизма, имеющего вид $\varphi\colon S \to S$ на базе $S$ и действующего на слои эндоморфизмом умножения на число $\lambda\colon L \to \varphi^* L$, $|\lambda|\ne 0$. Поскольку $c_1(L)=\pm c_1(\pi)$ – элемент кручения, на этом расслоении вводится плоская эрмитова связность. Обозначим соответствующее преобразование монодромии через $\rho$. Поскольку $\rho$ действует изометриями на слоях $L$, на слоях расслоения $L^\circ/\lambda$, представляющих собой эллиптические кривые, мы можем выбрать $\rho$-инвариантную кэлерову метрику $\omega_F$. Продолжим $\omega_F$ на $M$ с помощью плоской эресманновой связности на $\pi\colon M \to S$. Мы получим замкнутую положительную $(1,1)$-форму $\widehat\omega_F$ на $M$, строго положительную на слоях $\pi$; сумма $\omega:=\widehat\omega_F+\pi^*(\omega_S)$ является замкнутой положительной $(1,1)$-формой, которая почти всюду строго положительна. Тогда $\omega^2>0$, что противоречит отрицательной определенности формы пересечений на $H^{1,1}(M)$ (предложение 2.10). Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4.15 (см. [59; теорема 3.5 и следующее за ней замечание] для регулярного случая, а также см. [64]). Если многообразие $M$ некэлерово, то по предложению 4.14 оно получается факторизацией пространства $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ по действию эндоморфизма $\lambda\colon L \to \varphi^* L$, где $c_1(L)\ne 0$. Заменяя при необходимости расслоение $L$ на дуальное, мы можем считать $L$ обильным. Выберем на $L$ эрмитову структуру, кривизна которой является положительной $(1,1)$-формой на $S$, и пусть $\psi\in C^\infty(\operatorname{Tot}(L^\circ))$ – функция $\psi(v)=|v|^2$.

Добьемся, чтобы изоморфизм $\lambda\colon L \to \varphi^* L$ имел постоянную длину. Поскольку у $\varphi$ конечный порядок, кривизну $\Theta$ расслоения $L$ всегда можно представить $\varphi$-инвариантной формой. Стандартное применение $dd^c$-леммы позволяет найти метрику на $L$ с кривизной $\Theta$. Тогда кривизна расслоения $\operatorname{Hom}(L,\varphi^*L)$ равна $\varphi^*(\Theta)-\Theta=0$. Следовательно, $\operatorname{Hom}(L,\varphi^*L)$ – плоское унитарное расслоение; любое сечение $\lambda\in \operatorname{Hom}(L,\varphi^*L)$ оказывается голоморфным сечением плоского унитарного расслоения и, следовательно, имеет постоянную длину.

В силу [7; (15.19)] $dd^c\psi$ – кэлерова форма на $\operatorname{Tot}(L^\circ)$. Тогда $\lambda$ действует на $\operatorname{Tot}(L^\circ)$ голоморфными гомотетиями, так что фактормногообразие $M=\operatorname{Tot}(L^\circ)/\langle \lambda\rangle$ локально конформно кэлерово. Вдобавок этот фактор вайсманов, поскольку стандартное действие $\mathbb{C}^*$ на $\operatorname{Tot}(L^*)=\widetilde M$ оказывается действием голоморфными гомотетиями; см. [37].

5. Поверхности класса VII

В этом разделе будет доказана следующая теорема.

Теорема 5.1. Пусть $M$ – минимальная некэлерова компактная комплексная поверхность. Тогда $M$ изотривиальная эллиптическая или относится к классу VII (или и то, и другое).

Доказательство. Шаг 1. Поскольку $b_1(M)>0$ и
$$ \begin{equation*} H_1(M,\mathbb{Z})=\pi_1(M)/[\pi_1(M),\pi_1(M)], \end{equation*} \notag $$
у фундаментальной группы $\pi_1(M)$ существует подгруппа любого заданного конечного индекса $r$. Пусть $\sigma\colon M_1\to M$ – соответствующее накрытие. Тогда $M_1$ – компактное многообразие. Поскольку $\chi(\mathscr{O}_{M})=(c_1^2+c_2)/12$ выражается через кривизну, видим, что $\chi(\mathscr{O}_{M_1})=d\chi(\mathscr{O}_{M})\geqslant d$ для каждого $d$-листного накрытия $\sigma\colon M_1\to M$. За исключением случая, когда $\chi(\mathscr{O}_{M})=0$, можно найти накрытие $M_1$, для которого $\chi(\mathscr{O}_{M_1})<-3$ или $\chi(\mathscr{O}_{M_1})>3$. В первом случае многообразие $M_1$ эллиптическое в силу следствия 4.3. Во втором случае для канонического расслоения $K_{M_1}$ имеем $\dim H^0(K_{M_1})\geqslant 2$, так что у него есть сечения, порождающие непрерывное семейство дивизоров. Следовательно, при $\chi(\mathscr{O}_{M})\ne 0$ в конечнолистном накрытии $M_1$ имеется непрерывное семейство дивизоров. Тогда такое непрерывное семейство есть и в $M$; по теореме 4.2 оно эллиптическое.

Шаг 2. Предположим, что $b_1(M)=3$, но поверхность $M$ неэллиптическая. Тогда $\chi(\mathscr{O}_{M})=0$, а значит, $h^{0,1}(M)=2$ и $h^{0,2}(M)=1$, и те же равенства верны для всех неразветвленных накрытий $M$. Докажем, что на $M$ нет кривых.

Сначала покажем, что $c_1(M)^2=(K_M)^2=0$. Предположим, что это не так. Тогда $c_1(M)^2<0$, так что расслоение $K_M$ нетривиально, а поскольку $h^{0,2}(M)= 1$, то $K_M=\mathscr{O}(D)$ для некоторого эффективного дивизора $D=\displaystyle\sum_ia_iD_i$. Если $(D_i)^2 < 0$ и $(K_M \cdot D_i) < 0$ для некоторого $i$, то $D$ есть $(-1)$-кривая, что невозможно, поскольку $M$ минимальна. Если $(D_i)^2=0$, то кривая $D_i$ гомологична нулю в силу предложения 2.10. В любом случае $(K_M \cdot D_i)=0$, так что $(K_M)^2=\displaystyle\sum_ia_i(K_M,D_i)=0$ – противоречие.

Заметим, что равенство $c_1(M)^2=0$ означает, что

$$ \begin{equation*} 0=\chi(\mathscr{O}_{M})=\frac{c_1(M)^2+c_2(M)}{12}= \frac{c_2(M)}{12}=\frac{\chi(M)}{12}\,, \end{equation*} \notag $$
и, следовательно,
$$ \begin{equation*} b_2(M)=b_1(M)+b_3(M)-b_0(M)-b_4(M)=6-2=4. \end{equation*} \notag $$
Более того, то же верно для любого неразветвленного накрытия $M_1$ поверхности $M$.

Допустим теперь, что $M$ содержит неприводимую кривую $C$. Тогда по формуле присоединения арифметический род $C$ равен

$$ \begin{equation*} p_a(C)=\frac{(C)^2+(K_M \cdot C)}{2}+1, \end{equation*} \notag $$
а так как $(C)^2 \leqslant 0$ и $(K_M)^2=0$, то $(K_M \cdot C)=0$ и, следовательно, $p_a(C) \leqslant 1$. В этом случае либо $C$ – гладкая рациональная кривая, либо она рациональна с одним нодом или рациональна с одним каспом, либо она гладкая эллиптическая. Во всяком случае $b_1(C) \leqslant 2$. Поскольку $b_1(M)=3 > b_1(C)$, получаем неразветвленное накрытие $M_1 \to M$ произвольной кратности $d$, тривиальное над $C$. Значит, оно содержит непересекающиеся кривые $C_1,\dots,C_d$ с одинаковыми индексами самопересечения $l=(C_i)^1$, $i=1,\dots,d$.

Далее, если $l < 0$, то классы когомологий кривых $C_i$ порождают $d$-мерное подпространство в $H^2(M_1,\mathbb{Q})$, так что $d \leqslant b_1(M_1)=4$. Это приводит к противоречию, поскольку $d$ может быть любым.

В противном случае $l=0$ и все кривые $C_i$ гомологичны нулю. Пусть $D$ – их объединение. Рассмотрим короткую точную последовательность

$$ \begin{equation} 0 \longrightarrow \mathscr{O}(-D) \longrightarrow \mathscr{O}_{M_1} \longrightarrow \bigoplus_i \mathscr{O}_{C_i}\longrightarrow 0. \end{equation} \tag{5.1} $$
Из соответствующей длинной точной последовательности
$$ \begin{equation*} \mathbb{C}=H^0(\mathscr{O}_{M_1}) \longrightarrow \mathbb{C}^d= \bigoplus_i H^0(\mathscr{O}_{C_i})\longrightarrow H^1(\mathscr{O}(-D)) \end{equation*} \notag $$
видно, что $\dim H^1(M_1,L) \geqslant d-1$, где $L:=\mathscr{O}(-D)$. С другой стороны, $\chi(L)=\chi(\mathscr{O}_{M_1})=0$, поскольку $c_1(L)=[D]=0$, и для любого линейного расслоения $L'$ на $M_1$ выполнено неравенство $\dim H^0(M_1,L') \leqslant 1$ – иначе на $M_1$, а значит, и на $M$ существовало бы нетривиальное семейство дивизоров и поверхность была бы эллиптической по теореме 4.2. Итак, размерности $\dim H^0(M_1,L)$ и $\dim H^2(M_1,L)=\dim H^0(M_1,K_{M_1} \otimes L^*)$ не превосходят $1$, а $d \leqslant 3$. Мы снова пришли к противоречию.

Шаг 3. Можно доказать, что все поверхности с $b_1(M)=3$ и $\chi(\mathscr{O}_M)=0$ – эллиптические. Рассуждая от противного, предположим, что $M$ – не эллиптическая. Однако тогда на $M$ нет комплексных кривых (см. шаг 2). Рассмотрим пространство $W\subset H^1(M)$, порожденное голоморфными и антиголоморфными формами. Пусть $\alpha\in \Lambda^{1,0}(M)$ – голоморфная 1-форма, порождающая пространство $H^{1,0}(M)$. Зафиксируем точку $x\in M$ и определим отображение Альбанезе, переводящее $y\in M$ в $\displaystyle\int_\gamma \alpha$, где $\gamma$ – путь, соединяющий $x$ и $y$. Это отображение зависит от выбора пути $\gamma$, так что возникает отображение $\operatorname{Alb}\colon M \to \mathbb{C}/\Lambda$, где $\Lambda\subset \mathbb{C}$ – решетка периодов формы $\alpha$, т. е. множество $\biggl\{\displaystyle\int_v\alpha\Bigm| v \in H_1(M,\mathbb{Z})\biggr\}$. В силу следствия 2.15 подпространство $W$ рациональное. Следовательно, интеграл $\displaystyle\int_v\alpha$ обращается в нуль на одной из образующих группы $H_1(M,\mathbb{Z})$, а $\Lambda$ – решетка ранга 2 в $\mathbb{C}$. Легко видеть, что она дискретна. Значит, отображение Альбанезе задает расслоение $M \to \mathbb{C}/\Lambda$, и поверхность $M$ содержит непрерывное семейство кривых и потому является эллиптической.

Шаг 4. Остается показать, что поверхность $M$ принадлежит классу VII или является эллиптической, если $\chi(\mathscr{O}_{M_1})=0$. При $b_1(M)=3$ поверхность $M$ эллиптическая (см. шаг 3); то же верно при $b_1(M) \geqslant 5$ в силу следствия 4.3. Следовательно, можно считать, что $b_1(M)=h^{0,1}(M)=1$ и аналогичные равенства верны для всех накрытий $M _1$ поверхности $M$, как разветвленных, так и неразветвленных. Если $M$ неэллиптическая, имеем $\chi(\mathscr{O}_M)=0$, а следовательно, $h^{0,2}(M)=0$. Чтобы доказать, что $M$ из класса VII, надо проверить, что для всех $n>0$ выполнено равенство $H^0(K_M^n)=0$.

Если у расслоения $K^n_M$ есть ненулевое сечение, то для некоторого конечнолистного разветвленного накрытия $\sigma\colon M_1\to M$ у $K_{M_1}$ тоже есть ненулевое сечение. Действительно, если $\alpha$ – сечение $K^n_M$ с дивизором нулей $C$, то в окрестности точки $x\in M\setminus C$ из него можно извлечь корень $\sqrt[n]{\alpha}$ степени $n$ и получить сечение расслоения $K_M$. Пучок таких сечений конечен и локально постоянен на $M \setminus C$, а значит, он тривиализуется после перехода к конечнолистному накрытию $\widetilde {M\setminus C} \to M\setminus C$. В окрестности $U$ точки $x\in C$ мы можем интерпретировать $\sqrt[n]{\alpha}$ как многозначную функцию со значениями в расслоении $K_M$, которое тривиально на $U$. График функции $\sqrt[n]{\alpha}$, лежащий в $U\times \mathbb{C}$, можно подклеить к $\widetilde {M\setminus C}$ и получить разветвленное накрытие $\sigma\colon M_1\to M$ и сечение расслоения $K_{M_1}$. Тогда $h^{0,2}(M_1)\ne 0$ и, следовательно, поверхность $M_1$ эллиптическая (см. шаг 3). Таким образом, на $M=\sigma(M_1)$ есть непрерывное семейство голоморфных кривых, и это – эллиптическая поверхность по теореме 4.2. Изотривиальность получившегося эллиптического расслоения следует из предложения 4.5. Теорема 5.1 доказана.

6. Теорема Брунеллы: все поверхности Като локально конформно кэлеровы

Поверхности Като называются также поверхностями с глобальной сферической оболочкой. По определению поверхность Като – это поверхность $M$, у которой есть глобальная сферическая оболочка, т. е. открытое подмножество $U\subset M$, биголоморфное окрестности сферы $S^3$ в $\mathbb{C}^2$ и такое, что разность $M \setminus U$ связна. В этом разделе мы докажем теорему Брунеллы, показывающую, что все поверхности Като локально конформно кэлеровы.

Оригинальное определение Като и первые результаты по этим поверхностях можно найти в [38]–[40], [22], а оригинальное доказательство Брунеллы изложено в [16] и [17].

Несложно видеть, что все поверхности Като являются деформациями раздутий поверхности Хопфа. Мы докажем это, рассматривая следующую явную конструкцию поверхностей Като.

Пусть $M$ – поверхность Като, а $S\subset U \subset M$ – соответствующая 3-сфера. Рассмотрим отображение $\chi\colon \pi_1(M) \to \mathbb{Z}$, которое пути $\gamma$ ставит в соответствие индекс пересечения $\gamma \cap S$. Ясно, что $\chi$ – гомоморфизм групп. Пусть $\widetilde M$ – соответствующее $\mathbb{Z}$-накрытие, а $S_i$, $i\in \mathbb{Z}$, – прообразы $S$ в $\widetilde M$ (их можно перенумеровать, поскольку группа монодромии $\mathbb{Z}$ действует свободно и транзитивно на множестве прообразов $S$). Через $M_i$ обозначим подмножество поверхности $\widetilde M$, заключенное между $S_i$ и $S_{i-1}$ (см. рис. 1). Ясно, что каждое $M_i$ является фундаментальной областью для действия группы скольжения.

У каждой области $M_i$ две граничные компоненты – псевдовыпуклая $S_i$ и псевдовогнутая $S_{i-1}$. Подклеив шар $B$ к $S_{i-1}$, мы получим компактное многообразие $\widehat M_i= B \coprod_{S_{i-1}} M_i$ с псевдовыпуклым краем. Из решения Грауэрта проблемы Леви [31; разд. 2, теорема 1] следует, что многообразие $\widehat M_i$ голоморфно выпукло. По теореме Реммерта о редукции [50] существует собственное отображение со связными слоями $p\colon \widehat M_i \to X$ на многообразие Штейна. Поскольку окрестность границы $X$ биголоморфно эквивалентна окрестности $S^3\subset B$, по теореме Хартогса $X$ на самом деле биголоморфно эквивалентно $B$. Тогда $p\colon \widehat M_i \to X$ – бимероморфное голоморфное отображение в шар, сводящееся к последовательным раздутиям.

Вслед за Ж. Длусским [22] зададим на замкнутом шаре $B\subset \mathbb{C}^2$ данные Като, состоящие из бимероморфного голоморфного отображения $\widehat B \to B$, открытого подмножества $B_0\subset \widehat B$ и биголоморфного отображения $B_0$ на единичный шар. Тогда у дополнения $\widehat B \setminus B_0$ две гладкие граничные компоненты, обе изоморфные $S^3\subset B$, и их можно склеить, получив компактную комплексную поверхность.

Мы только что доказали следующий результат, первоначально установленный М. Като [38].

Теорема 6.1. Пусть $M$ – поверхность Като, а $S\subset M$ – глобальная сферическая оболочка. Тогда $M$ получается из данных Като склейкой двух граничных компонент области $\widehat B \setminus B_0$, как описано выше.

Замечание 6.2. Такими же рассуждениями можно показать, что поверхность Като $M$ никогда не минимальна, за исключением случая, когда $\widehat B$ получается раздутием точки $x_0\in B$ и последующими раздутиями точек, лежащих на исключительных дивизорах (Ж. Длусский, частное сообщение, 2019 г.). Поскольку раздутие ЛКК-многообразия остается ЛКК, мы всегда можем считать, что $M$ минимальна, а $\widehat B$ получается из $B$ последовательными раздутиями в $0\in B$.

Замечание 6.3. Предположим, что данные Като удовлетворяют условиям из замечания 6.2. Тогда в конструкции поверхности Като $M$ по данным Като открытый шар $B$ радиуса 1 всегда можно заменить шаром $B(r)\subset B$ радиуса $r$, а шар $B_0$ – образом последнего при действии образующей группы скольжения соответствующего $\mathbb{Z}$-накрытия $M$. Ясно, что получающаяся поверхность Като биголоморфно эквивалентна $M$. Аналогично, шар $B$ можно заменить любой голоморфно выпуклой областью $U\subset \mathbb{C}^2$ с гладкой границей, содержащей начало координат 0.

Определение 6.4. Для заданного $\varepsilon >0$ пусть $\max_\varepsilon\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ – гладкая выпуклая функция, монотонная по обеим переменным и удовлетворяющая равенству $\max_\varepsilon(x,y)=\max(x,y)$ при $|x-y|>\varepsilon$. Такая функция называется регуляризованным максимумом [20]. Легко видеть, что регуляризованный максимум пары плюрисубгармонических функций снова плюрисубгармоничен. Используя эту конструкцию, можно “склеивать” плюрисубгармонические функции и соответствующие кэлеровы метрики.

Теперь мы можем доказать теорему Брунеллы.

Теорема 6.5. Пусть $M$ – поверхность Като. Тогда $M$ локально конформно кэлерова.

Доказательство. Шаг 1. Пусть $\pi\colon \widehat B \to B$ и $B_0\subset \widehat B$ – данные Като, а через $\Psi\colon B\to B_0$ обозначим соответствующую биголоморфную эквивалентность. Рассмотрим кэлерову метрику $\widehat\omega$ на $\widehat B$.

Теорема Брунеллы доказывается выбором метрики $\widehat\omega$ на $\widehat B$, которая удовлетворяет следующему условию автоморфности. Рассмотрим пространство $\widetilde M$, полученное склейкой $\mathbb{Z}$ экземпляров $\widehat B \setminus B_0=M_i$, как описано выше. Кэлерову метрику $\widetilde \omega$ на $\widetilde M$ назовем $\mathbb{Z}$-автоморфной, если группа преобразований скольжения, переводящих $M_i$ в $M_j$, действует на $(\widetilde M,\widetilde\omega)$ гомотетиями. Для получения такой формы надо найти кэлерову форму $\widehat\omega$ на $\widehat B$ такую, что $\widehat\omega\big|_{B_0}$ совпадает с $\Psi^*\widehat\omega$ в окрестности границы $B_0$. Если это выполнено, то $\Psi$ действует гомотетиями в окрестности границы $S$. Тогда ограничение $\widehat\omega$ на $\widehat B \setminus B_0=M_i$ продолжается до $\mathbb{Z}$-автоморфной кэлеровой формы $\widetilde M=\bigcup\limits_{i\in \mathbb{Z}} M_i$.

Мы будем действовать описанным выше образом, за тем исключением, что мы заменим $B$ на другую псевдовыпуклую область, как указано в замечании 6.3.

Шаг 2. С помощью локальной $dd^c$-леммы можно найти такую гладкую функцию $\varphi$ на $B_0$, что $dd^c\varphi=\widehat\omega\big|_{B_0}$. Добавив при необходимости подходящую плюрисубгармоническую функцию, можно считать, что $\varphi$ достигает минимума во внутренней точке $x\in B_0$. Добавив еще константу, мы можем предполагать, что у множества $U_0:=\varphi^{-1}(-\infty,0)$ компактное замыкание с гладкой строго псевдовыпуклой границей. Пусть $U$ – замыкание области $\Psi^{-1}(U_0)$, а $\widehat U$ – прообраз $U$ относительно бимероморфного стягивания $\widehat B \to B$. Мы получим $M$ склейкой двух граничных компонент множества $\widehat U\setminus U_0$, как в замечании 6.3.

Шаг 3. Отображение $\pi\colon \widehat U \to U$ – собственное голоморфное отображение многообразий равных размерностей. Следовательно, прямой образ положительной $(p,p)$-формы – это положительный $(p,p)$-поток.

Пусть $\pi_*\widehat \omega$ – прямой образ $\widehat\omega$, рассматриваемый как поток на $U$. По $dd^c$-лемме для потоков получаем, что $\pi_*\widehat\omega= dd^c f$, где $f$ – плюрисубгармоническая функция на $U$, гладкая вне множества критических значений $\pi$.

Обозначим границу $U\subset \mathbb{C}^2$ через $R$. Тогда $f$ – строго плюрисубгармоническая гладкая функция в окрестности $R$. Еще одну плюрисубгармоническую функцию в окрестности $R$ можно получить в виде $f_1:=(\Psi^{-1})^*\varphi$, где $\varphi$ – кэлеров потенциал на $U_0$, построенный на шаге 2.

Нормируя $f$ и добавляя константу при необходимости, можно считать, что $-\varepsilon <f\big|_R<0$ и $|df|\big|_R \ll \varepsilon$. Пусть $A$ – достаточно большое положительное число, а $0 < \delta \ll \varepsilon$. Тогда регуляризованный максимум $\max_{\delta}$ функций $f$ и $A f_1$ совпадает с $A f_1$ в очень маленькой окрестности поверхности $R$ (поскольку $f$ отрицательна на $R$, а $f_1=0$ на $R$) и с $f$ в окрестности $V$ множества $R_\varepsilon:=(Af_1)^{-1}(-2\varepsilon)$ (поскольку $|df| \ll A |df_1|$ и, в то время как $Af_1$ стремится к $-2\varepsilon$, значения $f$ не опускаются ниже $-\varepsilon$).

Заменив $\widehat\omega$ на $dd^c \max_{\delta}(f,f_1)$ в кольце между $R$ и $R_{2\varepsilon}$, получим кэлерову форму $\widehat\omega_1$. Так как $\max_{\delta}(f,f_1)=f_1$ в окрестности $R$, отображение $\Psi\colon (U,\widehat\omega_1) \to (U_0,\widehat\omega_1)$ – гомотетия, которая изометрически отображает окрестность поверхности $R$ с метрикой $\widehat\omega_1$ в окрестность поверхности $\Psi(R)$ с метрикой $A\widehat\omega_1$ (заметим, что $A\widehat\omega_1=A\widehat\omega$ вне кольца, ограниченного поверхностями $R$ и $R_{2\varepsilon}$). Таким образом на произвольной поверхности Като мы построили ЛКК-метрику.

Теорема 6.5 доказана.

Замечание 6.6. Рассуждения, использованные в доказательстве теоремы Брунеллы, проходят для открытых шаров в пространстве $\mathbb{C}^n$, в результате чего возникают обобщения многообразия Като на любую размерность. Такие многообразия изучались в работе [34]. В силу теоремы Брунеллы на них также вводится ЛКК-структура.

Замечание 6.7. Публикации общего результата Брунеллы в [17] предшествовали его же примеры ЛКК-метрик на поверхностях Эноки (см. [16]) – некоторых специальных поверхностях из класса VII, содержащих глобальные сферические оболочки. Еще раньше на некоторых поверхностях Като (гиперболических и параболических поверхностях Инуэ) ЛКК-метрики были получены твисторными методами в работах А. Фуджики и М. Понтекорво (см. [26], [27]) как антисамодуальные биэрмитовы метрики. В [28] обсуждаются возможные значения класса Ли (Lee) этих ЛКК-структур (т. е. класса когомологий формы Ли $\theta\in \Lambda^1(M)$); см. также [2]. Как указал Понтекорво (частное сообщение), там по сути было показано, что эти классы Ли отличаются от построенных Брунеллой.

Мы благодарны Жоржу Длусскому и Матею Тома за внимательное прочтение одной из первоначальных версий этой статьи и Эдуардо Эстевесу за интересные обсуждения эллиптических поверхностей. Стефан Немировский и Ику Накамура помогли авторам со ссылками и с исправлением первого варианта статьи. Мы весьма признательны Дмитрию Каледину и анонимному рецензенту за глубокие замечания и множество полезных советов по усовершенствованию многих доказательств.

Список литературы
1. D. Angella, A. Tomassini, M. Verbitsky, “On non-Kähler degrees of complex manifolds”, Adv. Geom., 19:1 (2019), 65–69  crossref  mathscinet  zmath; (2017 (v1 – 2016)), 5 pp., arXiv: 1605.03368
2. V. Apostolov, G. Dloussky, “On the Lee classes of locally conformally symplectic complex surfaces”, J. Symplectic Geom., 16:4 (2018), 931–958  crossref  mathscinet  zmath; (2016), 18 pp., arXiv: 1611.00074
3. D. Barlet, Gauduchon's form and compactness of the space of divisors, 2017, 12 pp., arXiv: 1705.01743
4. D. Barlet, J. Magnússon, Cycles analytiques complexes, v. I, Cours Spéc., 22, Théorèmes de préparation des cycles, Soc. Math. France, Paris, 2014, 525 pp.  mathscinet  zmath
5. W. P. Barth, K. Hulek, C. A. M. Peters, A. Van de Ven, Compact complex surfaces, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 4, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2004, xii+436 pp.  crossref  mathscinet  zmath
6. F. A. Belgun, “On the metric structure of non-Kähler complex surfaces”, Math. Ann., 317:1 (2000), 1–40  crossref  mathscinet  zmath
7. А. Бессе, Многообразия Эйнштейна, Мир, М., 1990, 704 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: A. L. Besse, Einstein manifolds, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 10, Springer-Verlag, Berlin, 1987, xii+510 с.  crossref  mathscinet  zmath
8. E. Bishop, “Conditions for the analyticity of certain sets”, Michigan Math. J., 11:4 (1964), 289–304  crossref  mathscinet  zmath
9. A. Blanchard, “Sur les variétés analytiques complexes”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 73:2 (1956), 157–202  crossref  mathscinet  zmath
10. Ф. А. Богомолов, “Классификация поверхностей класса $\mathrm{VII}_0$ с $b_2=0$”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:2 (1976), 273–288  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. A. Bogomolov, “Classification of surfaces of class $\mathrm{VII}_0$ with $b_2=0$”, Math. USSR-Izv., 10:2 (1976), 255–269  crossref
11. Ф. А. Богомолов, “Поверхности класса $\mathrm{VII}_0$ и аффинная геометрия”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:4 (1982), 710–761  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. A. Bogomolov, “Surfaces of class $\mathrm{VII}_0$ and affine geometry”, Math. USSR-Izv., 21:1 (1983), 31–73  crossref
12. V. Brînzănescu, “Neron-Severi group for nonalgebraic elliptic surfaces. II. Non-kählerian case”, Manuscripta Math., 84:3-4 (1994), 415–420  crossref  mathscinet  zmath
13. V. Brînzănescu, Holomorphic vector bundles over compact complex surfaces, Lecture Notes in Math., 1624, Springer-Verlag, Berlin, 1996, x+170 pp.  crossref  mathscinet  zmath
14. V. Brînzănescu, P. Flondor, “Holomorphic 2-vector bundles on nonalgebraic 2-tori”, J. Reine Angew. Math., 1985:363 (1985), 47–58  crossref  mathscinet  zmath
15. V. Brînzănescu, P. Flondor, “Quadratic intersection form and 2-vector bundles on nonalgebraic surfaces”, Proceedings of the conference on algebraic geometry (Berlin, 1985), Teubner-Texte Math., 92, Teubner, Leipzig, 1986, 53–64  mathscinet  zmath
16. M. Brunella, “Locally conformally Kähler metrics on certain non-Kählerian surfaces”, Math. Ann., 346:3 (2010), 629–639  crossref  mathscinet  zmath
17. M. Brunella, “Locally conformally Kähler metrics on Kato surfaces”, Nagoya Math. J., 202 (2011), 77–81  crossref  mathscinet  zmath; (2010), 4 pp., arXiv: 1001.0530
18. N. Buchdahl, “On compact Kähler surfaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49:1 (1999), 287–302  crossref  mathscinet  zmath
19. C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290  crossref  mathscinet  zmath
20. J.-P. Demailly, “Estimations $L^2$ pour l'opérateur $\bar\partial$ d'un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d'une variété kählérienne complète”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 15:3 (1982), 457–511  crossref  mathscinet  zmath
21. J.-P. Demailly, Complex analytic and differential geometry, 2012, 455 pp.\par https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf
22. G. Dloussky, Structure des surfaces de Kato, Mém. Soc. Math. France (N. S.), 14, Soc. Math. France, Paris, 1984, ii+120 pp.  crossref  mathscinet  zmath
23. G. Dloussky, K. Oeljeklaus, M. Toma, “Class $\mathrm{VII}_0$ surfaces with {$b_2$} curves”, Tohoku Math. J. (2), 55:2 (2003), 283–309  crossref  mathscinet  zmath
24. S. Dragomir, L. Ornea, Locally conformal Kähler manifolds, Progr. Math., 155, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1998, xiv+327 pp.  crossref  mathscinet  zmath
25. W. Fischer, H. Grauert, “Lokal-triviale Familien kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten”, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1965 (1965), 89–94  mathscinet  zmath
26. A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Anti-self-dual bihermitian structures on Inoue surfaces”, J. Differential Geom., 85:1 (2010), 15–72  crossref  mathscinet  zmath
27. A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Twistors and bi-Hermitian surfaces of non-Kähler type”, SIGMA, 10 (2014), 042, 13 pp.  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
28. A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Bi-Hermitian metrics on Kato surfaces”, J. Geom. Phys., 138 (2019), 33–43  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; (2018 (v1 – 2016)), 19 pp., arXiv: 1607.00192v2
29. P. Gauduchon, “La 1-forme de torsion d'une variété hermitienne compacte”, Math. Ann., 267:4 (1984), 495–518  crossref  mathscinet  zmath
30. P. Gauduchon, L. Ornea, “Locally conformally Kähler metrics on Hopf surfaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48:4 (1998), 1107–1127  crossref  mathscinet  zmath
31. H. Grauert, “On Levi's problem and the imbedding of real-analytic manifolds”, Ann. of Math. (2), 68:2 (1958), 460–472  crossref  mathscinet  zmath
32. P. A. Griffiths (ed.), Topics in transcendental algebraic geometry, Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984, viii+316 pp.  crossref  mathscinet  zmath
33. T. Höfer, “Remarks on torus principal bundles”, J. Math. Kyoto Univ., 33:1 (1993), 227–259  crossref  mathscinet  zmath
34. N. Istrati, A. Otiman, M. Pontecorvo, “On a class of Kato manifolds”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2020, rnz354  crossref; 2019, 29 pp., arXiv: 1905.03224
35. S. Ivashkovich, “Extension properties of meromorphic mappings with values in non-Kähler manifolds”, Ann. of Math. (2), 160:3 (2004), 795–837  crossref  mathscinet  zmath; (2004 (v1 – 1997)), 37 pp., arXiv: math/9704219
36. D. Kaledin, M. Verbitsky, “Non-Hermitian Yang–Mills connections”, Selecta Math. (N. S.), 4:2 (1998), 279–320  crossref  mathscinet  zmath
37. Y. Kamishima, L. Ornea, “Geometric flow on compact locally conformally Kähler manifolds”, Tohoku Math. J. (2), 57:2 (2005), 201–221  crossref  mathscinet  zmath; (2002 (v1 – 2001)), 21 pp., arXiv: math/0105040
38. Ma. Kato, “Compact complex manifolds containing “global” spherical shells”, Proc. Japan Acad., 53:1 (1977), 15–16  crossref  mathscinet  zmath
39. Ma. Kato, “Compact complex manifolds containing “global” spherical shells. I”, Proceedings of the international symposium on algebraic geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978, 45–84  mathscinet  zmath
40. Ma. Kato, “On a certain class of non-algebraic non-Kähler compact complex manifolds”, Recent progress of algebraic geometry in Japan, North-Holland Math. Stud., 73, North-Holland, Amsterdam, 1983, 28–50  crossref  mathscinet  zmath
41. K. Kodaira, D. C. Spencer, “On deformations of complex analytic structures. III. Stability theorems for complex structures”, Ann. of Math. (2), 71 (1960), 43–76  crossref  mathscinet  zmath
42. A. Lamari, “Courants kählériens et surfaces compactes”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49:1 (1999), 263–285  crossref  mathscinet  zmath
43. J. Li, S.-T. Yau, F. Zheng, “On projectively flat Hermitian manifolds”, Comm. Anal. Geom., 2:1 (1994), 103–109  crossref  mathscinet  zmath
44. A. C. López-Martín, “Relative Jacobians of elliptic fibrations with reducible fibers”, J. Geom. Phys., 56:3 (2006), 375–385  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; (2004), 12 pp., arXiv: math/0410394
45. D. R. Morrison, “The Clemens–Schmid exact sequence and applications”, Topics in transcendental algebraic geometry (Princeton, NJ, 1981/1982), Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984, 101–119  crossref  mathscinet  zmath
46. I. Nakamura, “Classification of non-Kählerian surfaces”, Sugaku Expo., 2:2 (1989), 209–229  mathscinet  zmath
47. I. Nakamura, “On surfaces of class $\mathrm{VII}_0$ with curves. II”, Tohoku Math. J. (2), 42:4 (1990), 475–516  crossref  mathscinet  zmath
48. L. Ornea, M. Verbitsky, “Locally conformally Kähler metrics obtained from pseudoconvex shells”, Proc. Amer. Math. Soc., 144:1 (2016), 325–335  crossref  mathscinet  zmath; (2014 (v1 – 2012)), 13 pp., arXiv: 1210.2080
49. U. Persson, On degenerations of algebraic surfaces, Mem. Amer. Math. Soc., 11, № 189, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1977, xv+144 pp.  crossref  mathscinet  zmath
50. R. Remmert, “Sur les espaces analytiques holomorphiquement séparables et holomorphiquement convexes”, C. R. Acad. Sci. Paris, 243 (1956), 118–121  mathscinet  zmath
51. V. Rogov, Kähler submanifolds in Iwasawa manifolds, 2018 (v1 – 2017), 18 pp., arXiv: 1710.02180
52. W. Schmid, “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. Math., 22 (1973), 211–319  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
53. A.-D. Teleman, “Projectively flat surfaces and Bogomolov's theorem on class $\mathrm{VII}_0$ surfaces”, Internat. J. Math., 5:2 (1994), 253–264  crossref  mathscinet  zmath
54. A. Teleman, “Donaldson theory on non-Kählerian surfaces and class VII surfaces with $b_2=1$”, Invent. Math., 162:3 (2005), 493–521  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; (2007), 29 pp., arXiv: 0704.2638
55. A. Teleman, “The pseudo-effective cone of a non-Kählerian surface and applications”, Math. Ann., 335:4 (2006), 965–989  crossref  mathscinet  zmath; (2007), 25 pp., arXiv: 0704.2948
56. A. Teleman, “Instantons and curves on class VII surfaces”, Ann. of Math. (2), 172:3 (2010), 1749–1804  crossref  mathscinet  zmath; (2009 (v1 – 2007)), 48 pp., arXiv: 0704.2634
57. F. Tricceri, “Some examples of locally conformal Kähler manifolds”, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 40:1 (1982), 81–92  mathscinet  zmath
58. I. Vaisman, “A geometric condition for an l.c.K. manifold to be Kähler”, Geom. Dedicata, 10:1-4 (1981), 129–134  crossref  mathscinet  zmath
59. I. Vaisman, “Generalized Hopf manifolds”, Geom. Dedicata, 13:3 (1982), 231–255  crossref  mathscinet  zmath
60. M. Verbitsky, “Pseudoholomorphic curves on nearly Kähler manifolds”, Comm. Math. Phys., 324:1 (2013), 173–177  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa; (2012), 6 pp., arXiv: 1208.6321
61. M. Verbitsky, “Rational curves and special metrics on twistor spaces”, Geom. Topol., 18:2 (2014), 897–909  crossref  mathscinet  zmath; (2012), 12 pp., arXiv: 1210.6725
62. C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.  crossref  mathscinet  zmath; v. II, Cambridge Stud. Adv. Math., 77, 2003, x+351 pp.  crossref  mathscinet  zmath
63. V. Vuletescu, “Blowing-up points on l.c.K. manifolds”, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie (N. S.), 52(100):3 (2009), 387–390  mathscinet  zmath; (2009), 5 pp., arXiv: 0906.1657
64. V. Vuletescu, LCK metrics on elliptic principal bundles, 2010, 5 pp., arXiv: 1001.0936
Образец цитирования: М. С. Вербицкий, В. Вулетеску, Л. Орнеа, “Классификация некэлеровых поверхностей и локально конформно кэлерова геометрия”, УМН, 76:2(458) (2021), 71–102; Russian Math. Surveys, 76:2 (2021), 261–289
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VerVulOrn21}
\by М.~С.~Вербицкий, В.~Вулетеску, Л.~Орнеа
\paper Классификация некэлеровых поверхностей и~локально конформно кэлерова геометрия
\jour УМН
\yr 2021
\vol 76
\issue 2(458)
\pages 71--102
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm9858}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm9858}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4236241}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1471.32023}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..261V}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46957181}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2021
\vol 76
\issue 2
\pages 261--289
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM9858}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701485000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85110476809}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm9858
  • https://doi.org/10.4213/rm9858
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i2/p71
    • Эта публикация цитируется в следующих 5 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:428
    PDF русской версии:131
    PDF английской версии:73
    HTML русской версии:139
    Список литературы:49
    Первая страница:18
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024