Рефлективные модулярные формы и их приложения

Рефлективные модулярные формы ортогонального типа – это фундаментальные автоморфные объекты, обобщающие классическую эта-функцию Дедекинда. В этой статье мы опишем в терминах форм Якоби две конструкции для построения таких модулярных форм: автоморфные произведения и подъем Якоби. В частности, мы докажем, что первый коэффициент Фурье–Якоби модулярной формы Борчердса $\Phi_{12}$ (производящая функция для так называемой “Fake Monster Lie Algebra”) в любом из 23 одномерных каспов совпадает с функцией знаменателя Каца–Вейля аффинной алгебры системы корней соответствующей решетки Нимейера. Мы даем новую простую конструкцию автоморфного дискриминанта пространства модулей поверхностей Энриквеса в форме подъема произведения восьми тета-функций и строим три башни рефлективных модулярных форм. Одна из них, башня $D_8$, дает решение проблемы К.-И. Йошикавы (2009) о построении лоренцевых алгебр Каца–Муди по автоморфным дискриминантам, связанным с поверхностями дель Пеццо и аналитическими кручениями многообразий Калаби–Яу. Мы также формулируем условия на подрешетки, позволяющие строить семейства дочерних рефлективных форм по фиксированной форме. В итоге в статье построено около 100 подобных функций.
Библиография: 77 названий.