Производные некоммутативные схемы, геометрические реализации и конечномерные алгебры

Основная цель данной статьи – описать различные явления и некоторые конструкции, возникающие в процессе изучения производных некоммутативных схем. Производные некоммутативные схемы определяются как дифференциально-градуированные категории специального вида. Мы обсуждаем различные свойства как самих некоммутативных схем, так и морфизмов между ними. Кроме этого, вводится понятие геометрической реализации для производной некоммутативной схемы и обсуждаются вопросы существования и построения таких реализаций. В статье также изучаются конструкции склейки некоммутативных схем вдоль морфизмов и рассматриваются различные новые феномены, возникающие в мире некоммутативных схем и позволяющие находить новые некоммутативные схемы, такие как фантомы, квазифантомы и партнеры Крулля–Шмидта. В последних разделах рассматриваются некоммутативные схемы, связанные с базисными конечномерными алгебрами. Мы доказываем, что такие некоммутативные схемы имеют специальные геометрические реализации, при которых алгебра переходит в векторное расслоение на гладкой проективной схеме. Такие реализации строятся в два шага, первый из которых – это известная конструкция Ауслендера, а второй шаг связан с новым понятием хорошо сформированной квазинаследственной алгебры, для которой строятся выделенные геометрические реализации, переводящие стандартные модули в линейные расслоения.
Библиография: 50 названий.