Исчисление для схем рефлексии и спектры консервативности

Строго позитивные логики в последнее время привлекают внимание специалистов благодаря их сочетанию эффективности и приемлемой выразительности. Язык исчисления рефлексий $\mathrm{RC}$ состоит из импликаций между формулами, составленными из пропозициональных переменных и константы “истина” лишь с помощью связки конъюнкции и модальностей, интерпретируемых в арифметике Пеано как ограниченные равномерные схемы рефлексии. Мы расширяем язык $\mathrm{RC}$ дополнительным семейством модальностей, соответствующих операторам, которые сопоставляют данной арифметической теории $T$ её фрагмент, аксиоматизированный всеми теоремами $T$ арифметической сложности $\Pi^0_n$ для каждого $n>0$. Мы показываем, что эти операторы, в некотором точном смысле, не представимы в полном языке модальной логики. Мы формулируем модальную систему $\mathrm{RC}^\nabla$, расширяющую $\mathrm{RC}$, которая корректна и, по нашей гипотезе, полна относительно указанной интерпретации. Показано, что в этой системе выразимы итерации схем рефлексии вплоть до любого ординала $<\varepsilon_0$. Далее, мы предлагаем нормальную форму для формул фрагмента $\mathrm{RC}^\nabla$ без переменных. На основе нормальных форм показывается алгоритмическая разрешимость данного фрагмента и его полнота относительно арифметической семантики. В заключительной части работы рассматриваются несколько естественных характеризаций алгебры Линденбаума–Тарского для замкнутого фрагмента $\mathrm{RC}^\nabla$ и для её двойственной шкалы Крипке. Элементы этой алгебры находятся в естественном соответствии с последовательностями теоретико-доказательственных $\Pi^0_{n+1}$-ординалов для ограниченных фрагментов арифметики Пеано, так называемых спектров консервативности, а также с точками известной модели Крипке, введённой К. Н. Игнатьевым.
Библиография: 46 названий.