Пуассоново однородное пространство билинейных форм с действием Пуассона–Ли

Рассматривается пространство $\mathscr A$ билинейных форм на $\mathbb C^N$, задаваемых матрицами $\mathbb A$, коэффициенты которых удовлетворяют квадратичным пуассоновым структурам типа уравнения отражения. В первой части работы дается краткое описание результатов предыдущих исследований этой структуры, а во второй части указанная структура продолжается на системы билинейных форм, динамика которых задается естественным действием $\mathbb A\mapsto B\mathbb AB^{\mathrm{T}}$ $\operatorname{GL}_N$-группы Пуассона–Ли на пространстве $\mathscr A$. Приводится классификация всех возможных квадратичных скобок на $(B,\mathbb A)\in \operatorname{GL}_N\times \mathscr A$, сохраняющих свойство пуассоновости действия, что позволяет задать на $\mathscr A$ структуру пуассонова однородного пространства. Помимо пуассоновой структуры произведения на $\operatorname{GL}_N\mathop{\times} \mathscr A$, имеют место две другие (взаимно дуальные) структуры, допускающие, в отличие от пуассоновой структуры произведения, редукции с помощью процедуры Дирака на пространство билинейных форм с определяющими матрицами блочно-верхнетреугольного вида. Рассматриваются дальнейшие обобщения этой конструкции на тройки $(B,C,\mathbb A)\in \operatorname{GL}_N\times \operatorname{GL}_N \mathop{\times} \mathscr A$ с пуассоновым действием вида $\mathbb A\mapsto B\mathbb AC^{\mathrm{T}}$, для которого показано, что пространство $\mathscr A$ при этом оснащается структурой пуассонова симметрического пространства. Исследуются обобщения на цепочки преобразований и на квантовые и квантовые аффинные алгебры, а также соотношения между конструкциями пуассоновых симметрических пространств и пуассонова группоида.
Библиография: 30 названий.