|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях)
Топологический подход к обобщенной задаче $n$ центров
С. В. Болотин, В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук,
Аннотация:
Рассматриваются натуральные гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и гамильтонианом $H=\|p\|^2/2+V(q)$. Конфигурационное пространство $M$ – замкнутая поверхность (для некомпактного $M$ требуются некоторые условия на бесконечности). Хорошо известно, что если потенциальная энергия $V$ имеет $n>2\chi(M)$ особых точек ньютонова типа, то система не интегрируема и имеет положительную топологическую энтропию на уровне энергии $H=h>\sup V$. В настоящей работе это утверждение обобщается на случай, когда $V$ имеет несколько особых точек $a_j$ типа $V(q)\sim {-}\!\operatorname{dist}(q,a_j)^{-\alpha_j}$. Положим $A_k=2-2/k$, $k\in\mathbb{N}$, и пусть $n_k$ – число особых точек таких, что $A_k\leqslant \alpha_j<A_{k+1}$. В работе доказано, что если
$$
\sum_{2\leqslant k\leqslant\infty}n_kA_k>2\chi(M),
$$
то система имеет компактное хаотическое инвариантное множество траекторий без столкновений на любом уровне энергии $H=h>\sup V$. Это утверждение чисто топологическое: оно не использует никаких аналитических свойств потенциальной энергии, кроме наличия особых точек. Доказательства основаны на обобщенной регуляризации Леви-Чивиты и элементарной топологии накрытий. В качестве примера рассмотрена плоская задача $n$ центров.
Библиография: 29 названий.
Ключевые слова:
гамильтонова система, интегрируемость, особая точка, степень особой точки, регуляризация Леви-Чивиты, финслерова метрика, накрытие, траектория без столкновений, хаотическое инвариантное множество, метрическое пространство, метрика Якоби.
Поступила в редакцию: 25.04.2017
Образец цитирования:
С. В. Болотин, В. В. Козлов, “Топологический подход к обобщенной задаче $n$ центров”, УМН, 72:3(435) (2017), 65–96; Russian Math. Surveys, 72:3 (2017), 451–478
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/rm9779https://doi.org/10.4213/rm9779 https://www.mathnet.ru/rus/rm/v72/i3/p65
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 783 | PDF русской версии: | 102 | PDF английской версии: | 37 | Список литературы: | 79 | Первая страница: | 36 |
|