Эквивариантные аналоги эйлеровой характеристики и формулы типа Макдональда

Одним из простейших и одновременно важнейших инвариантов топологического пространства является эйлерова характеристика. Обобщение понятия эйлеровой характеристики на эквивариантную ситуацию, т. е. для пространств с действиями группы (скажем, конечной), далеко не однозначно. Эквивариантный аналог эйлеровой характеристики может быть определен как элемент кольца представлений группы или как элемент кольца Бернсайда группы. Из физики пришло понятие орбифолдной эйлеровой характеристики. Оно получило обобщение на орбифолдные эйлеровы характеристики высших порядков. Основное свойство эйлеровой характеристики (определяемой в терминах когомологий с компактными носителями) – ее аддитивность. На некоторых классах пространств помимо эйлеровой характеристики имеются другие аддитивные инварианты, которые могут рассматриваться как обобщенные эйлеровы характеристики. Так, на классе комплексных квазипроективных множеств универсальным аддитивным инвариантом является класс множества в кольце Гротендика комплексных квазипроективных множеств. Обобщенные аналоги эйлеровой характеристики могут быть определены и в эквивариантной ситуации. Имеется простая формула – формула Макдональда – для производящего ряда эйлеровых характеристик симметрических степеней пространства: он равен не зависящему от пространства ряду $(1-t)^{-1}=1+t+t^2+\cdots$ в степени, равной эйлеровой характеристике самого пространства. Формулы подобного типа для других инвариантов (“эквивариантных и обобщенных эйлеровых характеристик”) называются формулами типа Макдональда. В обзоре обсуждаются различные варианты эйлеровой характеристики в эквивариантной ситуации, описываются некоторые их свойства и формулы типа Макдональда.
Библиография: 59 названий.