Расширенное энионное фоковское пространство и некоммутативные ортогональные многочлены типа Мейкснера в бесконечномерном случае

Пусть $\nu$ – конечная мера на $\mathbb R$, преобразование Лапласа которой является аналитической функцией в окрестности нуля. Энионный белый шум Леви на $(\mathbb R^d,dx)$ – это некоторое семейство некоммутативных операторов $\langle\omega,\varphi\rangle$ на энионном фоковском пространстве над $L^2(\mathbb R^d\times\mathbb R,{dx\otimes\nu})$. Здесь $\varphi=\varphi(x)$ – элемент пространства основных функций на $\mathbb R^d$, а ${\omega=\omega(x)}$ понимается как операторнозначное распределение на $\mathbb R^d$. Пусть $L^2(\tau)$ – некоммутативное $L^2$-пространство, порождаемое алгеброй многочленов от переменных $\langle \omega,\varphi\rangle$, где $\tau$ – вакуумное ожидание. Мы строим некоммутативные ортогональные многочлены в $L^2(\tau)$ вида $\langle P_n(\omega),f^{(n)}\rangle$, где $f^{(n)}$ – основная функция на $(\mathbb R^d)^n$. Используя эти ортогональные многочлены, мы конструируем унитарный изоморфизм $U$ между $L^2(\tau)$ и расширенным энионным фоковским пространством над $L^2(\mathbb R^d,dx)$, которое обозначается $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$. Обычное энионное фоковское пространство над $L^2(\mathbb R^d,dx)$, обозначаемое $\mathscr F(L^2(\mathbb R^d,dx))$, является подпространством пространства $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$. Мы показываем, что равенство $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))=\mathscr F(L^2(\mathbb R^d,dx))$ имеет место тогда и только тогда, когда мера $\nu$ сосредоточена в одной точке (т. е. в гауссовском или пуассоновском случае). Пользуясь унитарным изоморфизмом $U$, мы реализуем операторы $\langle \omega,\varphi\rangle$ как (трехдиагональное) поле Якоби в $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$. Строится класс типа Мейкснера энионного белого шума Леви, для которого соответствующее поле Якоби в $\mathbf F(L^2(\mathbb R^d,dx))$ имеет относительно простую структуру. Именно, каждый энионный белый шум Леви типа Мейкснера характеризуется двумя параметрами: $\lambda\in\mathbb R$ и $\eta\geqslant 0$. В заключение мы получаем представление $\omega(x)=\partial_x^\dagger+\lambda \partial_x^\dagger\partial_x+ \eta\partial_x^\dagger\partial_x\partial_x+\partial_x$, где $\partial_x$ и $\partial_x^\dagger$ – операторы уничтожения и рождения в точке $x$.
Библиография: 57 названий.