Изотропные марковские полугруппы на ультраметрических пространствах

Пусть $(X,d)$ – сепарабельное ультраметрическое пространство с компактными шарами. Для заданных эталонной меры $\mu$ на $X$ и функции распределения расстояний $\sigma$ на $[0,\infty)$ строится симметричная марковская полугруппа $\{P^{t}\}_{t\geqslant 0}$, действующая в $L^{2}(X,\mu )$. Пусть $\{\mathcal{X}_{t}\}$ – соответствующий марковский процесс. Получены верхние и нижние оценки его переходной плотности и функции Грина, дан критерий его невозвратности, оценены его моменты и описаны марковский генератор $\mathcal{L}$ и его спектр, который является чисто точечным. В частном случае, когда $X=\mathbb{Q}_{p}^{n}$, где $\mathbb{Q}_{p}$ – поле $p$-адических чисел, наша конструкция воспроизводит лапласиан Тайблесона (спектральный множитель) и наша теория также применима к изучению лапласиана Владимирова. Даже в этой хорошо изученной области несколько наших результатов являются новыми. Также изучается связь между марковским процессом $\{\mathcal{X}_{t}\}$ и процессом Кигами на границе дерева, который индуцирован случайным блужданием на дереве. В заключение приводятся примеры, иллюстрирующие взаимосвязь между операторами дробного дифференцирования и случайными блужданиями.
Библиография: 66 названий.