Корни и разложения трехмерных топологических объектов

В 1942 г. М. Х. А. Ньюман сформулировал и доказал несложную лемму, которая оказалась весьма полезной в различных областях математики, в частности в алгебре и теории базисов Грёбнера–Ширшова. Позднее ее стали называть леммой о диаманте, поскольку ее ключевая конструкция графически изображается в виде ромба (символа диаманта). В 2005 г. автор настоящей статьи предложил новый вариант этой леммы, предназначенный для решения топологических проблем. В статье дается обзор результатов о существовании и единственности примарных разложений различных топологических объектов: трехмерных многообразий, узлов в утолщенных поверхностях, заузленных графов, трехмерных орбифолдов, заузленных тета-кривых в трехмерных многообразиях. Оказалось, что все топологические объекты упомянутых типов допускают примарные разложения, но в ряде случаев (например, для орбифолдов) единственности нет. Для тета-кривых и узлов геометрической степени 1 в утолщенном торе удается полностью описать алгебраические структуры соответствующих полугрупп. И в том, и в другом случае они являются факторами свободных групп по явно предъявляемым соотношениям коммутирования.
Библиография: 33 названия.