К теоремам Шевалле–Варнинга

Пусть $f_1,\dots,f_r$ – многочлены от $n$ переменных над полем $\mathbb{F}_q$ и пусть $d_1,\dots,d_r$ – их степени. В 1935 г. Э. Варнинг показал, что для числа $\mathscr N$ общих нулей многочленов $f_i$ выполнено неравенство $\mathscr N\geqslant q^{n-d}$. Основная цель настоящей статьи – улучшить эту оценку. В предположении, что множество общих нулей не образует аффинного подпространства в $\mathbb{F}_q^n$, показывается, например, что $\mathscr N\geqslant2q^{n-d}$, если $q\geqslant4$, и что $\mathscr N\geqslant q^{n+1-d}/(n+2-d)$, если все многочлены $f_i$ являются однородными.
Библиография: 5 названий.