Аннотация:
Статья посвящена обзору результатов, связанных с задачей характеризации интегралов как линейных функционалов. Она восходит к известному результату Ф. Рисса (1909) об интегральном представлении ограниченных линейных функционалов интегралами Римана–Стилтьеса на отрезке и напрямую связана со знаменитой теоремой И. Радона (1913) об интегральном представлении ограниченных линейных функционалов интегралами Лебега на компакте в Rn. После работ И. Радона, М. Фреше и Ф. Хаусдорфа задача характеризации интегралов как линейных функционалов стала конкретизироваться как задача распространения теоремы Радона с Rn на более общие топологические пространства с радоновскими мерами. Эта задача оказалась трудной, и ее решение имеет долгую и богатую историю. Поэтому ее естественно называть проблемой Рисса–Радона–Фреше характеризации интегралов. Важные этапы ее решения связаны с именами С. Банаха (1937–1938), С. Сакса (1937–1938), С. Какутани (1941), П. Халмоша (1950), Э. Хьюитта (1952), Р. Эдвардса (1953), Ю. В. Прохорова (1956), Н. Бурбаки (1969) и др. Существенные идейные и технические средства были разработаны А. Д. Александровым (1940–1943), М. Стоуном (1948–1949), Д. Фремлином (1974) и др. Большая часть статьи посвящена современному этапу решения проблемы, связанному с работами Х. Кёнига (1995–2008), В. К. Захарова и А. В. Михалёва (1997–2009) и др. Общее решение проблемы изложено в виде параметрической теоремы о характеризации интегралов, из которой непосредственно следуют характеризационные теоремы указанных авторов.
Библиография: 60 названий.
Образец цитирования:
В. К. Захаров, А. В. Михалёв, Т. В. Родионов, “Проблема Рисса–Радона–Фреше характеризации интегралов”, УМН, 65:4(394) (2010), 153–178; Russian Math. Surveys, 65:4 (2010), 741–765
T. V. Rodionov, V. K. Zakharov, “A fine correlation between Baire and Borel functional hierarchies”, Acta Math. Hungar., 142:2 (2014), 384–402
В. К. Захаров, А. В. Михалёв, Т. В. Родионов, “Дескриптивные пространства и присущие им классы функций”, Фундамент. и прикл. матем., 19:2 (2014), 51–107; V. K. Zakharov, A. V. Mikhalev, T. V. Rodionov, “Descriptive spaces and proper classes of functions”, J. Math. Sci., 213:2 (2016), 163–200
В. К. Захаров, А. В. Михалёв, Т. В. Родионов, “Постклассические семейства функций, присущие дескриптивным и прескриптивным пространствам”, Фундамент. и прикл. матем., 19:6 (2014), 77–113; V. K. Zakharov, A. V. Mikhalev, T. V. Rodionov, “Postclassical families of functions proper for descriptive and prescriptive spaces”, J. Math. Sci., 221:3 (2017), 360–383
D. A. Edwards, “On the representation of tight functionals as integrals”, Positivity, 17:4 (2013), 1101–1113
В. К. Захаров, А. В. Михалёв, Т. В. Родионов, “Характеризация интегралов по всем радоновским мерам с помощью индексов ограниченности”, Фундамент. и прикл. матем., 17:1 (2012), 107–126; V. K. Zakharov, A. V. Mikhalev, T. V. Rodionov, “The characterization of integrals with respect to arbitrary Radon measures by the boundedness indices”, J. Math. Sci., 185:3 (2012), 417–429
В. К. Захаров, А. В. Михалёв, Т. В. Родионов, “Описание радоновских интегралов как линейных функционалов”, Фундамент. и прикл. матем., 16:8 (2010), 87–161; V. K. Zakharov, A. V. Mikhalev, T. V. Rodionov, “Characterization of Radon integrals as linear functionals”, J. Math. Sci., 185:2 (2012), 233–281
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: