Сингулярные решения систем законов сохранения типа $\delta$- и $\delta'$-ударных волн и процессы переноса и концентрации

Дается обзор некоторых результатов и проблем, связанных с теорией обобщенных решений квазилинейных систем законов сохранения, в которых могут возникать дельта-образные сингулярности. Это так называемые решения типа $\delta$-ударных волн и введенные недавно решения типа $\delta^{(n)}$-ударных волн, $n=1,2,\dots$, которые не вписываются в классическую теорию Лакса и Глимма. Подробно изучается случай $\delta$- и $\delta'$-ударных волн. Чтобы работать с такими решениями, развита специальная аналитическая техника. Для их определения вводятся специальные интегральные тождества (расширяющие понятие слабого решения) и находятся условия Ренкина–Гюгонио. Для некоторых типичных систем законов сохранения строятся решения задач Коши. Исследованы многомерные системы законов сохранения (среди них система газовой динамики без давления), допускающие решения типа $\delta$-ударных волн. Рассмотрен геометрический аспект таких решений: они связаны с процессами переноса и концентрации и для них выведены балансовые законы переноса “объема”, “площади” на фронты $\delta$- и $\delta'$-ударных волн. Для системы “газовой динамики без давления” эти законы являются законами переноса массы и импульса. Рассмотрен также алгебраический аспект таких решений: для них построены функции потока, которые, будучи нелинейными, являются, однако, однозначно определенными шварцевскими распределениями. Таким образом, сингулярное решение задачи Коши порождает алгебраические соотношения между его компонентами (распределениями).
Библиография: 99 названий.