Кольца непрерывных функций, симметрические произведения и алгебры Фробениуса

Приводится конструктивное доказательство классической теоремы И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова (1939), характеризующей образ вычисляющего отображения компактного хаусдорфова пространства $X$ в линейном пространстве $C(X)^*$, двойственном кольцу непрерывных функций $C(X)$ на $X$. Предложенный метод доказательства позволил получить более общий результат, характеризующий образ вычисляющего отображения симметрических произведений $\operatorname{Sym}^n(X)$ в $C(X)^*$. Аналогичный результат имеет место и в случае, когда $X=\mathbb C^m$. Он приводит к характеризации многообразий полисимметрических полиномов и симметрических произведений аффинных алгебраических многообразий как алгебраических подмногообразий в линейном пространстве, двойственном кольцу полиномов.
Доказательство всех этих результатов опирается на формулу, при помощи которой Фробениус в 1896 году определил высшие характеры конечных групп. Долгое время эта формула не находила дальнейших применений, но в последние десять-пятнадцать лет она неоднократно появлялась в различных независимых контекстах. Ее использовали Э. Уайлс и Р. Тейлор при изучении представлений, Х.-Ю. Хёнке и К. Джонсон, и позднее Дж. Маккай при изучении конечных групп. Она играет важную роль в наших работах по теории многозначных групп. Мы приводим описание различных свойств этой замечательной формулы. Мы применяем ее также для доказательства теоремы о структурных константах алгебр Фробениуса, которые сейчас оказались в центре внимания благодаря конструкциям, пришедшим из топологической теории поля и теории особенностей. Эта теорема развивает результат Х.-Ю. Хёнке, опубликованный в 1958 году. В качестве следствия получено прямое замкнутое доказательство того факта, что 1-, 2- и 3-характеры регулярного представления определяют конечную группу с точностью до изоморфизма. Этот результат впервые был опубликован Х.-Ю. Хёнке и К. Джонсоном в 1992 году.
Библиография: 19 названий.