Глобальная разрешимость трехмерных уравнений Навье–Стокса с равномерно большой начальной завихренностью

В настоящей статье представлен обзор результатов по трехмерным уравнениям Навье–Стокса и Эйлера с начальными данными, которые характеризуются равномерно большой завихренностью. Доказано существование регулярных решений трехмерных уравнений Навье–Стокса на неограниченном промежутке времени при больших начальных данных как в $\mathbb R^3$, так и в ограниченных цилиндрических областях. Кроме того, установлено существование гладких решений на больших конечных промежутках времени для трехмерных уравнений Эйлера. Эти результаты получены без привлечения дополнительных условий о поведении решений при $t>0$. Гладкие решения не близки к каким-либо двумерным многообразиям. Наш подход основан на вычислении сингулярных пределов быстро осциллирующих операторов, нелинейных усреднениях и учете взаимного поглощения нелинейных колебаний вихревого поля. При помощи нелинейного метода усреднений для почти периодических функций, условий резонанса и методов теории малых знаменателей получены предельные резонансные уравнения Навье–Стокса. Для этих уравнений доказана глобальная разрешимость без каких-либо ограничений на трехмерные начальные данные. На основании регулярности слабых решений и сильной сходимости доказывается глобальная регулярность слабых решений трехмерных уравнений Навье–Стокса с равномерно большой завихренностью при $t=0$.
Библиография: 42 названия.