Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов

Установление связей между структурными свойствами функций и последовательностью ее приближений – одна из важных задач современной конструктивной теории функций. Основополагающие работы в этом направлении были выполнены Д. Джексоном, С. Н. Бернштейном и Ш. Валле-Пуссеном. Дальнейшее развитие указанное направление получило в трудах А. Зигмунда, А. Н. Колмогорова, С. М. Никольского, Ж. Фавара и др.
Классическое неравенство Д. Джексона и основная обратная теорема С. Н. Бернштейна–Ш. Валле-Пуссена, установленные первоначально для приближений непрерывных функций с помощью алгебраических и тригонометрических полиномов, обобщались в различных направлениях. Были получены прямые и обратные теоремы для алгебраических и тригонометрических приближений в пространствах, отличных от $C$, для пространств почти периодических функций, для приближений с помощью собственных функций задачи Штурма–Лиувилля и т.д.
Цель настоящей статьи – изложить основные прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Банаха. Основной аппарат исследования – сильно непрерывные полугруппы операторов и резольвенты операторов, порождающих эти полугруппы. При некоторых требованиях на резольвенту (см. главу II, § 1) удается установить общие прямые и обратные теоремы для приближений по собственным подпространствам порождающего оператора. Эти общие теоремы содержат как частные случаи многие из ныне известных результатов конструктивной теории функций.