Гомотопическая структура линейной группы банахова пространства

Вопрос о гомотопическом типе линейной группы бесконечномерного банахова пространства $X$ в теории банаховых многообразий и расслоений так же важен, как вопрос о гомотопической структуре (стабильных) ортогональных и унитарных групп в теории конечномерных векторных расслоений и в $K$-теории (подробнее см. [4]).
Н. Кейпер доказал [20] стягиваемость линейной группы $CL(H)$ гильбертова пространства $H$, а Г. Нёйбауэр решил [34] положительно вопрос о стягиваемости $GL(l^p)$, $ 1\leq p<\infty$ и $GL(c_0)$. В то же время есть примеры банаховых пространств (первый из них был дан А. Дуади [11]) с нестягиваемой и несвязной линейной группой. В докладе [30] автор обратил внимание на то обстоятельство, что конструкциям Н. Кейпера и Г. Небауэра может быть придана форма общей схемы доказательства (анализа) стягиваемости линейной группы $GL(X)$. Это позволило решить вопрос о гомотопической структуре линейной группы во многих конкретных банаховых пространствах.
Настоящая статья представляет собой обзор результатов, полученных к настоящему времени, о стягиваемости линейных групп банаховых пространств. В § 1 даны примеры банаховых пространств с гомотопически нетривиальными линейными группами. Общая схема (теорема 1) анализа стягиваемости $GL(X)$ изложена в § 2; вопрос о выполнении конкретных аналитических условий, необходимых для применения этой схемы, решается в § 3. В §§ 4–6 разобраны примеры многих конкретных банаховых пространств (гладких и измеримых функций) и доказана стягиваемость их линейных групп. § 7 содержит ряд замечаний к общей схеме и нерешенные вопросы.