Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника–Вишика

Асимптотический метод Л. А. Люстерника и М. И. Вишика получил в настоящее время широкое распространение и важные приложения во многих разделах механики. Важными достоинствами метода являются его идейная простота, применимость к широким классам уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных. Работа состоит из двух глав. В первой главе метод проиллюстрирован на примере вырождения эллиптических уравнений высших порядков в эллиптические уравнения, приведен обзор основных работ, развивающих и дополняющих метод. Более подробно освещены случаи, когда функции пограничного слоя определяются уравнениями с частными производными (параболический, эллиптический, гиперболический погранслой), а также явление внутреннего погранслоя. Даны рекомендации по применению метода диаграммы Ньютона в задачах с пограничным слоем в случае произвольного вхождения малого параметра. Среди наиболее интересных приложений метода отмечены: задача обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа (А. А. Марков и Л. А. Чудов), ряд задач нелинейной теории тонких и гибких пластин и оболочек (Л. С. Срубщик и В. И. Юдович), задачи движения твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость (Н. Н. Моисеев, Ф. Л. Черноусько и др.). Вторая глава содержит, в основном, результаты автора по дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, содержащим малый параметр при старших производных. Здесь метод Люстерника–Вишика ранее почти не применялся, хотя его преимущества в этом круге вопросов несомненны. Особенно интересны случаи, когда предельная задача находится на спектре. Результаты главы применимы, в частности, к системам обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также к параболическим уравнениям.