Геометрическая теория пространств Банаха. Часть. I. Теория базисных и минимальных систем

В последние годы достигнуты существенные успехи в изучении геометрических и линейно-топологических свойств пространств Банаха ($B$В-пространств). Нашей целью является изложение некоторых из них, полученных после выхода известного обзора геометрической теории $B$-пространств – монографии М. М. Дэя “Нормированные линейные пространства”.
Употребленный нами термин “геометрическая теория” в значительной мере условен. В настоящее время основным методом исследования $B$-пространств является изучение специальных последовательностей элементов пространства, что напоминает скорее методы анализа, чем геометрии. В первой части обзора излагается,аппарат теории последовательностей и демонстрируются его возможности при исследовании топологических свойств банаховых пространств.
Вместе с тем общий взгляд на все многообразие фактов, которыми так богата сегодняшняя теория, становится возможен при изучении геометрической структуры единичной сферы, т. е. изометрических свойств пространства. Такой подход к исследованию пространств Банаха проводится во второй части.
Указанные две области не исчерпывают современной теории линейных нормированных пространств, которая состоит по крайней мере еще из двух крупных разделов. Это конечномерные банаховы пространства или пространства Минковского и исследование изоморфизмов и вложений. Каждая из этих областей получила в последнее время фундаментальные толчки в своем развитии.
Для чтения статьи достаточно знакомство с основами функционального анализа в объеме работы [72], главы 1–5, либо [45], главы 1–4. Мы опускаем доказательства утверждений, которые достаточно подробно изложены в литературе на русском языке либо получаются методами, проиллюстрированными на других примерах. Кроме того, мы не приводим доказательств, которые увели бы нас в сторону от излагаемого метода.