Геометрические вопросы квазилинейных эллиптических уравнений

В обзорных докладах А. Д. Александрова, А. В. Погорелова [1], Н. В. Ефимова [2] подробно описаны глубокие связи между теорией поверхностей и теорией уравнений в частных производных и освещены основные результаты в исследовании пограничных вопросов геометрии и анализа, связанные с гауссовой кривизной поверхности и ее различными обобщениями. В последнее время интенсивно разрабатываются в разнообразных направлениях пограничные вопросы геометрии и теории квазилинейных уравнений. Из всего многообразия вопросов, изучаемых в этой области, мы ограничиваемся в настоящей статье рассмотрением лишь двух тесно связанных задач: геометрическими методами оценок решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения и построением непараметрической гиперповерхности с заданной средней кривизной в римановом пространстве. Уже для случая нулевой средней кривизны (минимальные поверхности) эти вопросы представляют значительные трудности. Мы не будем специально рассматривать задачи, связанные с построением минимальных поверхностей. Отметим, что весьма полное представление о работах в этой области дают обзоры Р. Оссермана [3], [40], И. С. С. Ниче [4]. Настоящая статья представляет собой значительно расширенное изложение докладов, прочитанных автором на II и III Всесоюзных симпозиумах по геометрии в целом в 1967 и 1969 гг. [15], [35].