Асимптотическое поведение спектральной функции эллиптического уравнения

В статье изучается асимптотическое поведение спектральной функции эллиптического дифференциального (псевдодифференциального) уравнения или системы уравнений. Эта задача для случая дифференциальных операторов изучалась уже много раз. Для ее решения было разработано несколько методов (обзор этих методов см. в работах [1] и [2]).
В настоящей работе рассматривается только один из этих методов. Он основан на изучении структуры фундаментального решения задачи Коши для гиперболического дифференциального (псевдодифференциального) уравнения. В настоящей работе структура фундаментального решения задачи Коши изучается с помощью метода, который естественно назвать “методом геометрической оптики”. Для системы дифференциальных уравнений первого порядка этот метод впервые был подробно разработан П. Лаксом в статье [8], а для псевдодифференциальных уравнений – Л. Хёрмандером [2] и независимо от него Г. И. Эскиным [17], [18] и В. П. Масловым [19].
В той же работе [2] Хёрмандер изучает также асимптотику спектральной функции эллиптического псевдодифференциального оператора первого порядка, откуда с помощью важных результатов Сили [5] можно вывести асимптотику спектральной функции эллиптического дифференциального оператора произвольного порядка.
Ранее для эллиптических дифференциальных операторов второго порядка аналогичная методика применялась автором [3], [4].
В настоящей работе частично изложены результаты работ [8] и [2]. Имеются также новые результаты, принадлежащие автору, и относящиеся как к структуре фундаментального решения задачи Коши, так и к асимптотике спектральной функции.