Геометрическая теория пространств Банаха. Часть II. Геометрия единичной сферы

Интерес к геометрическому подходу в изучении пространств Банаха вызван следующим обстоятельством. Пространства Банаха обладают богатыми и чрезвычайно удобными в приложениях линейно топологическими свойствами. Вместе с тем определение $B$-пространства неразрывно связано с нормой, т. е. с некоторым фиксированным геометрическим объектом – единичным шаром $D(B)=\{x\in B:\|x\|\leqslant 1\}$. В то же время линейно топологические свойства (по определению) зависят лишь от топологии пространства, т. е. от класса всех ограниченных выпуклых тел. Таким образом, мы естественно приходим к следующему вопросу: что можно сказать о линейно топологических свойствах пространства в изометрических терминах, т. е. оставаясь в рамках заданной нормы.
Возможность продуктивного исследования в указанном направлении является существенно бесконечномерным явлением, поскольку в конечномерном случае линейная топология пространства однозначно определяется размерностью. Благодаря простоте топологических свойств $n$-мерного пространства основной объект исследования и его цели становятся здесь геометрическими (как, например, геометрия выпуклых тел). В бесконечномерном случае достаточно забот доставляют уже топологические вопросы. Следуя традиции, в этой статье основное внимание уделяется тем результатам, которые ложатся в топологическое русло, хотя внутреннее изучение геометрического объекта – бесконечномерного выпуклого тела – представляется мне не менее интересным.