Линейные задачи комплексного анализа

Предпринята попытка дать основные теоремы комплексного анализа (теории Ока–Картана) в линеаризованной форме. С этой целью одновременно изучаются: а) задача изоморфизма пространств голоморфных функций $H(M)$ и $H(D^n)$, $n=\dim_\mathbf{C}M$; б) существование линейного разделения особенностей для пространства $H(U)$, где $U=U_0\cap U_1$, $U_k$ ($k=0, 1$) – голоморфно выпуклые области на комплексном многообразии $M$, и, в более общей постановке, расщепляемость комплекса Чеха когерентного пучка над голоморфно выпуклой областью $V$; в) существование линейного продолжения голоморфных функций с подмногообразия $M\subset\Omega$, и, в более общей постановке, расщепляемость глобальной резольвенты когерентного пучка. В ряде случаев (для строго псевдовыпуклых областей) эти вопросы удается решить положительно. Доказательства основаны на теории гильбертовых шкал и оценках решений $\bar\partial$-задачи в весовых $L^2$ пространствах. Контрпримеры показывают, что те же вопросы могут решаться и отрицательно.