Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера

Исследуются интегралы от быстро осциллирующих функций. Такие интегралы стремятся к нулю, когда длина волны осцилляции стремится к нулю при неизменной форме волновых фронтов. Асимптотика убывания интеграла определяется характером критических точек функции, задающей фронты. Если все эти критические точки невырожденные (морсовские), то интеграл стремится к нулю как длина волны в степени половина размерности пространства, и именно такой будет асимптотика интеграла для функций общего положения. Однако, если интеграл зависит от дополнительных параметров, то при некоторых “каустических” значениях параметров возникают неморсовские критические точки и интеграл убывает медленнее. Исследование асимптотики интеграла осциллирующей функции в каустических случаях можно рассматривать как обобщение теории функции Эйри; оно тесно связано с теорией кос Артина, и ответ выражается при малом числе параметров через числа Кокстера групп Вейля серий A, D, Е, а при большем числе параметров – через некоторые их обобщения.