Спектр пучка операторов теории упругости

В векторном уравнении статической теории упругости для однородной изотропной среды
\begin{equation} \label{1} \Delta u+\operatorname{grad}\operatorname{div}u=F(x), \end{equation}
где $\omega(1-2\sigma)^{-1}$ и $\sigma$ – постоянная Пуассона, $\omega$ рассматривается как спектральный параметр. Ставится задача: исследовать спектр пучка операторов в левой части уравнения (1) при краевых условиях первой или второй задачи. Эта задача была поставлена в конце XIX века Эженом Коссера и Франсуа Коссера; ее исследованием в последние годы занимались автор настоящей статьи и В. Г. Мазья. Основные результаты получены для упругой области $\Omega$, конечной или бесконечной, с достаточно гладкой конечной границей. В случае первой краевой задачи пучок операторов теории упругости имеет счетную систему собственных векторов, ортогональных в метрике интеграла Дирихле; эта система полна в каждом из пространств $\overset{\circ}W_2^{(1)}(\Omega)$ и $\L_2(\Omega)$. Собственные числа сгущаются к трем точкам $\omega=-1,-2,\infty;$ точки $\omega=-1$ и $\omega=\infty$ суть изолированные собственные числа бесконечной кратности. Близкие результаты получаются и для второй краевой задачи. Существенное отличие состоит в том, что в данном случае собственные числа имеют еще одну точку сгущения $\omega=0$, причем примеры показывают, что $\omega=-2$ может и не быть точкой сгущения собственных чисел второй задачи.