Спектры случайных самосопряженных операторов

Обзор посвящен изложению результатов изучения спектров определенных классов случайных операторов и состоит из трех глав. В главе I, являющейся вводной, излагается содержание нескольких (по существу, двух) работ, которые, являясь пионерскими в этой области, в то же время достаточно содержательны для того, чтобы понять, какие задачи естественно ставить и решать в этом круге вопросов. В главе II изучается распределение собственных значений в ансамблях случайных матриц, типичным примером которых может служить сумма одномерных проекционных операторов на случайные векторы, равномерно и независимо распределенные по поверхности $n$-мерной единичной сферы. Показано, что при $n\to\infty$ функция распределения собственных значений перестает быть случайной и может быть найдена как решение определенного функционального уравнения. Глава III посвящена уравнению Шрёдингера со случайным потенциалом. Здесь доказаны эргодические свойства определенных случайных величин, построенных из собственных значений и собственных функций такого уравнения, и изучено распределение собственных значений в случаях, когда потенциал является гауссовским случайным полем или однородным марковским процессом.