Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов

Гессианова топология, в отличие от родственных ей симплектической и контактной топологий, только что начала развиваться (в связи с изучением параболических кривых на гладких поверхностях евклидова или проективного пространства).
Неизвестно, например, сколько (компактных) параболических кривых может иметь график многочлена данной (даже четвертой) степени от двух переменных, или гладкая алгебраическая поверхность данной степени.
Астроида – это гипоциклоида с четырьмя точками возврата. Гиперболический многочлен – это однородный многочлен, второй дифференциал которого имеет сигнатуру $(+,-)$ в каждой ненулевой точке.
Гиперболические многочлены и функции связаны с теорией Морса, теорией Штурма и с гипоциклоидами благодаря каустикам (и волновым фронтам) периодических функций. Астроида – это каустика косинуса двойного угла.
Каустика любой периодической функции имеет не менее четырех точек возврата, а если их четыре, как у астроиды, то они образуют параллелограмм.
Построенная в статье теория, основанная на исследовании неравенств между производными гладких функций и на изучении огибающих, приводит к выводу, что гиперболические многочлены степени 4 образуют связное, а степени 6 – несвязное множество.
Эти топологические обобщения теорем Штурма и Гурвица о нулях рядов Фурье доставляют также алгебро-геометрические результаты о каустиках и волновых фронтах, а также устанавливают их связь с теорией Морса антироллевых функций (нули которых перемежаются с нулями их производных).
Библиография: 12 названий.