Свободные модулярные структуры и их представления

Пусть $L$ – модулярная структура и $Y$ – конечномерное векторное пространство над полем $k$. Представлением структуры $L$ в пространстве $V$ называется морфизм из структуры $L$ в структуру $\mathscr L(V)$ – структуру всех подпространств пространства $V$. В работе изучаются представления свободных модулярных структур $D^r$ с конечным числом образующих. Элемент $a$ структуры $L$ называется совершенным, если для любого неразложимого представления $\rho\colon L\to\mathscr L(k^n)$ подпространство $\rho(a)$ в $V=k^n$ таково, что либо $\rho(a)=0$, либо $\rho(a)=V$. Построены и изучены важные подструктуры в $D^r$, так называемые “кубики”. Все элементы кубиков являются совершенными. С кубиками связаны неразложимые представления. Показано, что почти все эти представления, за исключением элементарных, обладают важным свойством полной неприводимости, а именно, представление $\rho$ структуры $L$ называется вполне неприводимым, если подструктура $\rho(L)\subset\mathscr L(k^n)$ изоморфна структуре $\mathbf P(\mathbf Q,n-1)$ – структуре линейных подмногообразий проективного пространства над полем $\mathbf Q$ рациональных чисел.