Большие уклонения для цепей Маркова в положительном квадранте

В работе рассматриваются так называемые $N$-частично однородные (в пространстве) и однородные во времени цепи Маркова $X(y,n)$, $n=0,1,2,\dots$, $X(y,0)=y$, принимающие значения в положительном квадранте $\mathbb R^{2+}=\{x=(x_2,x_2):x_1\geqslant0,\ x_2\geqslant0\}$. Эти цепи характеризуются тем, что для них переходная вероятность $P(y,A)=\mathsf P(X(y,1)\in A)$ обладает свойством: при некотором $N\geqslant 0$ мера $P(y,dx)$ в области $x_1>N$, $y_1>N$ зависит лишь от $x_2$, $y_2$, $x_1-y_1$, а в области $x_2>N$, $y_2>N$ – лишь от $x_1$, $y_1$, $x_2-y_2$. Для таких цепей найдена асимптотика
$$ \ln\mathsf P\Bigl(\frac 1sX(y,n)\in B\Bigr), \qquad \ln\mathsf P\bigl(X(y,n)\in x+B\bigr) $$
для фиксированного множества $B$ и $s\to\infty$, $|x|\to\infty$, $n\to\infty$. Рассмотрены и другие условия на рост параметров, например, $|x-y|\to\infty$, $|y|\to\infty$. Изучена структура наиболее вероятных траекторий, дающих основной вклад в рассматриваемую асимптотику, и установлен ряд других результатов, относящихся к рассматриваемой проблематике.
Для более узкого класса 0-частично однородных эргодических цепей получены аналогичные результаты при более широких моментных условиях на переходные вероятности $P(y,dx)$. Кроме того, при некоторых дополнительных условиях для 0-частично однородных эргодических цепей найдена точная асимптотика вероятностей $\mathsf P(X(0,n)\in x+B)$.
Интерес к изучению частично однородных цепей Маркова в положительных ортантах обуславливается как математической стороной дела – возникающие здесь задачи, лежащие в русле общей теории больших уклонений, оказываются новыми и интересными; так и прикладной – такие цепи являются весьма точными математическими моделями для описания работы многих основных видов сетей обслуживания и коммуникационных сетей таких, как широко известные сети Джексона, системы поллинга, коммуникационные сети, связанные с алгоритмом ALOHA, и др. Исследованию этих объектов посвящена обширная литература (библиографию см., например, в [4] и в цитируемых там работах).
Настоящая работа представляет собой попытку выяснить, в какой еще мере возможен асимптотический анализ рассматриваемых цепей Маркова в их общем виде без использования различных специальных свойств названных выше конкретных прикладных объектов. Оказалось, что такой анализ в двумерном случае вполне возможен, хотя и является трудным. Но уже в трехмерном случае появляются новые принципиальные трудности, которые делают задачу в настоящее время или неразрешимой, или чрезвычайно трудной.
Библиография: 44 названия.