Теорема Люстерника и теория экстремума

Статья посвящена обобщениям теоремы Люстерника о касательном многообразии, возникшем из потребностей теории экстремума. Важную роль в теории экстремума играют оценки расстояния от точки $x$ до уровня $g^{-1}(y)$ оператора $g\colon X\to Y$, имеющие вид $d(x,g^{-1}(y))\leqslant a^{-1}\|g(x)-y\|$, а также тесно связанное с этими оценками свойство $a$-накрывания оператора $g$, состоящее в том, что образ всякого шара радиуса $\rho$ с центром в $x$ содержит шар радиуса $a\rho$ с центром в $g(x)$. Итерационный процесс, предложенный Л. А. Люстерником в доказательстве его теоремы, позволяет единообразно получать все известные теоремы о накрывании и об оценке расстояния. Приводится обзор таких теорем, обобщающих теорему Люстерника, а также предлагается общий вариант теоремы Люстерника. Рассматривается обобщение критерия накрывания Люстерника $g'(x)X=Y$ на класс липшицевых операторов, определенных на конусе. Полученные критерии накрывания на конусе для гладких и липшицевых операторов применяются для вывода правила множителей Лагранжа в классах задач, охватывающих задачи оптимального управления.
Библ. 24 назв.