Структуры, представления и связанные с ними алгебры. I

В этой статье авторы старались следовать тому стилю, которому на других задачах (дискриптивная теория функций и топология) один из авторов учился у П. С. Александрова.
Пусть $L$ – модулярная структура. Представлением структуры $L$ в $A$-модуле $M$ (где $A$ – некоторое кольцо) мы называем морфизм из $L$ в`структуру $\mathscr L(A,M)$ подмодулей модуля $M$. В этой статье мы изучаем представления свободных модулярных структур $D^r$ с конечным числом образующих, при этом, в основном, мы интересуемся представлениями в структуре $\mathscr L(K,V)$ – структуре линейных подпространств пространства $V$ над полем $K$ ($V=K^n$).
Элемент $a$ в модулярной структуре $L$ называется совершенным, если при любом неразложимом представлении $\rho\colon L\to\mathscr L(K,V)$ элемент $a$ переходит либо в $O$, либо в $V$. Основным способом изучения структуры $D^r$ является построение в ней двух подструктур $B^+$ и $B^-$, каждая из которых состоит из совершенных элементов.
С подструктурами $B^+(B^-)$ связаны неразложимые представления $\rho^+_{t,l}(\rho^-_{t,l})$. Почти все эти представления (за исключением конечного числа представлений малой размерности) обладают важным свойством полной неприводимости. Представление $\rho\colon L\to\mathscr L(K,V)$ мы называем вполне неприводимым, если структура $\rho(L)$ изоморфна структуре линейных подмногообразий проективного пространства над полем $\mathbf Q$ рациональных чисел размерности $n-1$, где $n=\dim_KV$. В работе строится некоторая специальная $K$-алгебра $A^r$ и изучаются представления $\rho_A\colon D^r\to\mathscr L_R(A^r)$ структуры $D^r$ в структуру правых идеалов алгебры $A^r$. Мы предполагаем, что структура правых однородных идеалов $\mathbf Q$-алгебры $A^r$ описывает (с точностью до отношения линейной эквивалентности) существенную часть структуры $D^r$.