Сходимость мер и случайных процессов

В работе рассматриваются общие теоремы о так называемой $\mathscr F$-сходимости мер на произвольном измеримом пространстве, которая определяется как слабая сходимость мер для заданного класса функционалов $\mathscr F$. Такое понимание сходимости является, по-видимому, наиболее естественным при изучении предельных теорем для случайных процессов. Метод исследования состоит в сведении задачи к изучению сходимости мер и зарядов в топологических пространствах А.  Д. Александрова (или $\sigma$-пространствах, см. [1]). Такой подход был изложен в [4] и позволил с единых позиций установить как ряд новых результатов, так и почти все известные предельные теоремы о сходимости мер. Условия сходимости, которые при этом получаются для мер в обычных топологических пространствах, оказываются весьма близкими к условиям, которые вводились ранее в работах Ю. В. Прохорова [26], Л. Ле-Кама [23], Ф. Топсое [30], В. С. Варадарайна [8], Р. М. Дадли [15], В. Д. Ерохина [19] и др. Несомненно, что эти авторы оказали существенное влияние на все содержание и строй настоящей статьи.
Значительное место в работе отводится приложениям полученных результатов к конкретным задачам для случайных процессов. В конце обсуждаются другие возможные подходы к изучению сходимости процессов: так называемый метод одного вероятностного пространства А. В. Скорохода [28] и “аппроксимативный” метод, изложенный в [3].
Параграфы, отмеченные звездочкой, находятся несколько в стороне от основного изложения и при ускоренном чтении могут быть опущены. Символ $\blacksquare$ означает конец доказательства.