Принцип усреднения и теоремы о больших уклонениях

В работе рассматриваются системы дифференциальных уравнений вида $\dot{x}^\varepsilon_t=b(x^\varepsilon_t,\xi_{t/\varepsilon})$, где $\varepsilon$ – малый числовой параметр, a $\xi_t$ – случайный процесс. На конечных отрезках времени процесс $x^\varepsilon_t$ при $\varepsilon\ll1$ близок к траекториям усредненной системы $\dot{\bar x}=\bar{b}(\bar{x})$, где векторное поле $\bar{b}(x)$ получается из $b(x,\xi)$ путем надлежащего усреднения. На бесконечных или растущих вместе с $\varepsilon^{-1}$ отрезках времени процесс $x^\varepsilon_t$, вообще говоря, отклоняется от усредненной траектории, как бы ни было мало $\varepsilon >0$. Именно эти отклонения определяют поведение процесса $x^\varepsilon_t$ на больших временах. Отклонения от усредненной траектории и переходы между различными $\omega$-предельными множествами усредненной системы описываются с помощью предельных теорем для вероятностей больших уклонений. В случае общего положения последовательность переходов между $\omega$-предельными множествами усредненной системы довольно жестко регламентирована; эта последовательность расслаивается на иерархию циклов, которая полностью определяется грубой асимптотикой вероятностей больших уклонений. Эта же асимптотика определяет времена перехода (в главных членах при $\omega\to\infty$), характеризует устойчивость точек покоя усредненной системы. Если быстрое движение есть диффузионный процесс, то рассматриваемые вопросы тесно связаны с поведением решений некоторых краевых задач для уравнений второго порядка, содержащих малый параметр.
Библ. 34 назв.