Аннотация:
В статье излагаются результаты, полученные разными
авторами, относящиеся к асимптотической коммутативности
в $W^*$-алгебрах. Развивается единый подход к рассмотрению
подобного рода явлений, сводящий изучение асимптотической
коммутативности в $W^*$-алгебре к обычной. С этой целью
для $W^*$-алгебры $M$ каноническим способом строится $W^*$-алгебра $C^U_M$, где $U$ – свободный ультрафильтр на $\mathbb N$, сконцентрировавшая
в себе асимптотические свойства $M$. Изучаются
свойства $C^U_M$, которые затем используются для исследования
модулярных операторов исходной алгебры $M$ и для задачи
классификации $W^*$-алгебр. С помощью $C^U_M$ изучаются автоморфизмы
фактора $M$ и их свойства. В статье приводятся
доказательства ряда новых результатов. В частности, впервые
доказывается, что факторы типа III$_0$ (как и II$_\infty$) не являются
асимптотическими абелевыми. Положительно решается проблема
о существовании $\Gamma$-инвариантного точного нормального
состояния для $\Gamma$-асимптотически абелевых факторов $M$, где
$\Gamma$ – группа автоморфизмов $M$ с одним образующим. Далее,
доказано, что “самосопряженная часть” множества всех
центральных последовательностей любого фактора образует
$C^*$-алгебру. Приведено описание классов внешне сопряженных
апериодических автоморфизмов факторов Пауэрса.
Анонсируются теоремы об автоморфизмах.
Библ. 65 назв.
Образец цитирования:
В. Я. Голодец, “Модулярные операторы и асимптотическая коммутативность
в алгебрах фон Неймана”, УМН, 33:1(199) (1978), 43–94; Russian Math. Surveys, 33:1 (1978), 47–106
Н. И. Нессонов, “КМШ-состояния на $\mathfrak{S}_\infty$, инвариантные относительно подгрупп Юнга”, Функц. анализ и его прил., 47:2 (2013), 55–67; N. I. Nessonov, “KMS States on $\mathfrak{S}_\infty$ Invariant with Respect to the Young Subgroups”, Funct. Anal. Appl., 47:2 (2013), 127–137
Manfred P. H. Wolff, Nonstandard Analysis, 1997, 121
M. Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, 1994, 41
M. Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, 1989, 337
В. Я. Голодец, Н. И. Нессонов, “Асимптотическая алгебра и внешне сопряженные классы автоморфизмов факторов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 510–532; V. Ya. Golodets, N. I. Nessonov, “Asymptotic algebra and outer conjugacy classes of automorphisms of factors”, Math. USSR-Izv., 16:3 (1981), 457–477
В. Я. Голодец, “Автоморфизмы алгебр фон Неймана и аппроксимативно конечные факторы типа III$_1$ с почти-периодическим весом”, Функц. анализ и его прил., 14:2 (1980), 54–55; V. Ya. Golodets, “Automorphism of von Neumann algebras and approximatively finite type III$_1$ factors with an almost-periodic weight”, Funct. Anal. Appl., 14:2 (1980), 123–125
Н. И. Нессонов, “О структуре факторов типа III$_\lambda$ ($0<\lambda\le1$)”, Функц. анализ и его прил., 14:3 (1980), 89–90; N. I. Nessonov, “Structure of factors of type III$_\lambda$ ($0<\lambda\le1$)”, Funct. Anal. Appl., 14:3 (1980), 240–242
В. Я. Голодец, Н. И. Нессонов, “Инвариантные состояния на асимптотически абелевых факторах типа III”, Функц. анализ и его прил., 13:2 (1979), 81–82; V. Ya. Golodets, N. I. Nessonov, “Invariant states on asymptotically Abelian factors of type III”, Funct. Anal. Appl., 13:2 (1979), 141–142