Модулярные операторы и асимптотическая коммутативность в алгебрах фон Неймана

В статье излагаются результаты, полученные разными авторами, относящиеся к асимптотической коммутативности в $W^*$-алгебрах. Развивается единый подход к рассмотрению подобного рода явлений, сводящий изучение асимптотической коммутативности в $W^*$-алгебре к обычной. С этой целью для $W^*$-алгебры $M$ каноническим способом строится $W^*$-алгебра $C^U_M$, где $U$ – свободный ультрафильтр на $\mathbb N$, сконцентрировавшая в себе асимптотические свойства $M$. Изучаются свойства $C^U_M$, которые затем используются для исследования модулярных операторов исходной алгебры $M$ и для задачи классификации $W^*$-алгебр. С помощью $C^U_M$ изучаются автоморфизмы фактора $M$ и их свойства. В статье приводятся доказательства ряда новых результатов. В частности, впервые доказывается, что факторы типа III$_0$ (как и II$_\infty$) не являются асимптотическими абелевыми. Положительно решается проблема о существовании $\Gamma$-инвариантного точного нормального состояния для $\Gamma$-асимптотически абелевых факторов $M$, где $\Gamma$ – группа автоморфизмов $M$ с одним образующим. Далее, доказано, что “самосопряженная часть” множества всех центральных последовательностей любого фактора образует $C^*$-алгебру. Приведено описание классов внешне сопряженных апериодических автоморфизмов факторов Пауэрса. Анонсируются теоремы об автоморфизмах.
Библ. 65 назв.