Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике

Статья содержит обзор основных подходов к интегрированию гамильтоновых систем и методов доказательства их неинтегрируемости. Особое внимание уделено вполне интегрируемым системам, имеющим полный набор независимых интегралов в инволюции. Гамильтоновы уравнения, интегрируемые методами классической теории возмущений, нормальных форм и т.д., имеют полный набор инволютивных интегралов специального вида.
В основе большинства методов доказательства неинтегрируемости уравнений гамильтоновой механики лежат идеи Пуанкаре. Их существо состоит в том, что сложное поведение решений гамильтоновой системы (в частности, наличие большого числа невырожденных периодических решений и трансверсальные пересечения асимптотических поверхностей) несовместимо с существованием независимых аналитических интегралов. В последнее время обнаружены новые препятствия к интегрируемости. Среди них – ограничения на топологию пространства положений вполне интегрируемых натуральных гамильтоновых систем и ветвление решений в комплексной плоскости времени. Методы доказательства неинтегрируемости проиллюстрированы различными примерами из гамильтоновой механики: вращение твердого тела, вынужденные колебания маятника, ограниченная задача трех тел, движение системы вихрей идеальной жидкости и т.д.
Библ. 75 назв.