Особенности аффинных слоений в теории регулярности интегральных операторов Фурье

В статье рассматриваются свойства непрерывности интегральных операторов Фурье в различных функциональных пространствах. Наибольший интерес вызывают пространства $L_p$, для которых проведен обзор последних результатов. Так, точные порядки известны для операторов, удовлетворяющих так называемому условию гладкой факторизации. Далее в статье это условие исследуется в вещественной и комплексной постановках. В последнем случае условия на непрерывность интегральных операторов Фурье связаны с особенностями аффинных слоений в (подмножествах) $\mathbb C^n$, задаваемых ядрами матриц Якоби голоморфных отображений. Проведен анализ особенностей таких слоений в общем случае. В частности, показано, что при небольших размерностях $n$ или при небольших рангах матрицы Якоби все особенности слоений устранимы. Случай интегральных операторов Фурье приводит к слоениям, задаваемым ядрами Гессиана фазовой функции оператора. Опираясь на проведенный анализ особенностей для операторов, коммутирующих со сдвигами, в ряде случаев показано, что условие гладкой факторизации автоматически выполняется, из чего следуют $L^p$ оценки. В остальных случаях приведены примеры нарушения условия гладкой факторизации. Результаты применены к $L^p$ оценкам решений задачи Коши для гиперболических уравнений в частных производных.
Библиография: 68 названий.