Автомодельные решения и степенная геометрия

Сначала идеи и алгоритмы степенной геометрии применяются для изучения одного дифференциального уравнения в частных производных без параметров. Каждому дифференциальному моному ставится в соответствие точка в $\mathbb R^n$ – его векторный показатель степени. Дифференциальному уравнению ставится в соответствие его носитель – множество векторных показателей степени его мономов. Показывается, как по носителю уравнения с помощью линейной алгебры вычисляются виды его автомодельных решений. В качестве примеров рассматриваются уравнения процесса горения без источника и с источником. Для квазиоднородного обыкновенного дифференциального уравнения этот подход позволяет также понижать порядок и упрощать некоторые граничные задачи. Затем формулируются обобщения для системы уравнений. Кроме того, дается классификация уровней сложности задач степенной геометрии. Эта классификация содержит 4 уровня и основана на сложности геометрических объектов, соответствующих той или иной задаче в пространстве показателей степеней. Приводится сравнительный обзор этих объектов и основанных на них способов анализа решений систем алгебраических уравнений, систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений в частных производных. Указываются некоторые работы, в которых эффективно применялись методы степенной геометрии.
Библиография: 110 названий.