Спектральная задача на графах и $L$-функции

Исследуется процесс рассеяния на многопетлевых однородных $(p+1)$-валентных графах (обобщенных деревьях). Эти графы суть одномерные связные симплициальные комплексы – фактор-графы однородного дерева относительно дискретно действующих подгрупп проективной группы $PGL(2,\mathbb Q_p)$. Как однородные пространства эти графы идентичны $p$-адическим многопетлевым поверхностям. С конечным подграфом – редуцированным графом, включающим в себя все петли обобщенного дерева, ассоциируется $L$-функция Ихары–Сельберга. Изучается спектральная задача и вводится специальное понятие сферических функций – собственных функций дискретного оператора Лапласа, действующего на соответствующем графе. Определяется $S$-матрица и доказывается ее унитарность. Также приводится доказательство теоремы Хашимото–Басса, которая выражает $L$-функцию произвольного конечного (редуцированного) графа через детерминант локального оператора $\Delta(u)$, действующего на этом графе; детерминант $S$-матрицы выражается через отношение $L$-функций, таким образом задавая аналог формулы следа Сельберга. Точки дискретного спектра определяются и классифицируются с помощью $L$-функции. Приводятся примеры $L$-функциональных вычислений.
Библиография: 47 названий.