Гиперболические группы отражений

Дискретные группы отражений в евклидовых пространствах хорошо известны и играют важную роль в теории полупростых групп Ли. Дискретные группы отражений с фундаментальной областью конечного объема на плоскости Лобачевского были описаны в 1882 г. А. Пуанкаре и В. Диком, в трехмерном пространстве Лобачевского – в 1970 г. Е. М. Андреевым. В пространствах Лобачевского размерности не меньшей 4 классификация дискретных групп отражений, даже с ограниченной фундаментальной областью, пока неизвестна. В статье содержатся обзор некоторых результатов в этом направлении и примеры, демонстрирующие многообразие гиперболических групп отражений. Приводится алгебраическая характеризация матриц Грама фундаментальных многогранников дискретных групп отражений в пространствах Лобачевского. В терминах матрицы Грама описывается комбинаторное строение фундаментального многогранника и даются критерии его ограниченности и конечности объема. Доказывается, что в пространствах Лобачевского размерности не меньшей 62 не существует дискретных групп отражений с ограниченным фундаментальным многогранником. Имеется ссылка на работу автора, в которой эта оценка уменьшена до 30.
Библ. 71 назв.