Рациональные многообразия: алгебра, геометрия, арифметика

Обзор посвящен теории рациональных многообразий, особенно тем ее результатам, которые получены после выхода книги “Кубические формы”, написанной одним из авторов, т.е. в последние пятнадцать лет. Цель – дать достаточно подробный обзор исследований, приводящих, с одной стороны, к отрицательным решениям проблем Люрота и Зариского, с другой – к довольно подробной картине диофантовых свойств рациональных многообразий. Изложение ведется в порядке возрастания размерности и перехода от геометрии к арифметике. Последовательно освещаются следующие темы: § 1. Кривые: геометрия и арифметика. § 2. Поверхности: геометрия над замкнутым полем. § 3. Поверхности: геометрия над незамкнутым полем. § 4. $k$-бирациональные инварианты. § 5. Торсоры и спуск. § 6. Нуль-циклы и $K$-теория. § 7. Поверхности: еще немного геометрии, комбинаторика и арифметика. § 8. Многообразия размерности $\geqslant3$: геометрия. § 9. Многомерные пересечения пар квадрик: арифметика. § 10. Проблемы и перспективы.
Библ. 204 назв.