Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Успехи математических наук, 2024, том 79, выпуск 6(480), страницы 179–192
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10201 (Mi rm10201) 		 
Математическая жизнь

К 90-летию Нины Николаевны Уральцевой

Д. Е. Апушкинская, А. А. Архипова, В. М. Бабич, Г. С. Вейсс, И. А. Ибрагимов, С. В. Кисляков, Н. В. Крылов, А. А. Лаптев, А. И. Назаров, Г. А. Серегин, Т. А. Суслина, Х. Шахголян
PDF полного текста (495 kB) Полный текст в HTML
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10201
Тип публикации: Personalia

Нина Николаевна Уральцева родилась 24 мая 1934 г. в Ленинграде в семье Николая Федоровича Уральцева и Лидии Ивановны Змановской, студентов Политехнического института. Летом 1941 г., после начала войны, Нина вместе с мамой была эвакуирована в Самарово (ныне Ханты-Мансийск), где пошла в начальную школу. По возвращении в Ленинград в 1944 г. она поступила в школу1 № 239, которую окончила в 1951 г. с золотой медалью. В старших классах школы Нина занималась в математическом кружке Ленинградского Дворца пионеров, которым руководил И. Я. Бакельман. Дважды она была победителем городской олимпиады школьников по математике.

После окончания школы Нина поступила на физический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ), который окончила с отличием в 1956 г. Это был первый выпуск кафедры высшей математики и математической физики, созданной академиком В. И. Смирновым. Несколько выпускников кафедры этого года (Н. Н. Уральцева, Л. Д. Фаддеев, А. А. Ансельм, В. Л. Гуревич) стали впоследствии выдающимися учеными.

Руководителем дипломной работы Н. Н. Уральцевой была Ольга Александровна Ладыженская. В ней Нина Николаевна нашла не только наставника, но и старшего друга и коллегу. Их плодотворное сотрудничество продолжалось более 40 лет.

В год окончания университета Нина Николаевна вышла замуж за своего одногруппника, физика-теоретика Г. Л. Бира. Вскоре у них родился сын Николай, впоследствии ставший известным физиком2.

В 1960 г. Н. Н. Уральцева закончила аспирантуру ЛГУ и защитила кандидатскую диссертацию “Регулярность решений многомерных квазилинейных эллиптических уравнений и вариационных задач” (научный руководитель – О. А. Ладыженская). Докторскую диссертацию “Краевые задачи для квазилинейных эллиптических уравнений и систем второго порядка” она защитила четыре года спустя.

С 1959 г. Нина Николаевна работает на кафедре математической физики математико-механического факультета ЛГУ – сначала в должности ассистента, затем – доцента, профессора. В 1968 г. она утверждена в ученом звании профессора по кафедре математической физики, а с 1974 г. заведует этой кафедрой.

Н. Н. Уральцева известна мировой математической общественности как выдающийся специалист в области уравнений в частных производных, автор более 120 статей и трех монографий. Ограниченность объема этой статьи позволяет лишь коротко описать ее основные результаты3.

1. Дивергентные уравнения и вариационное исчисление

Ранние работы Нины Николаевны (выполненные в основном в сотрудничестве с О. А. Ладыженской) были связаны с 19-й и 20-й проблемами Гильберта. Как известно, эти проблемы во многом определили направление исследований по квазилинейным эллиптическим уравнениям в XX в. В 20-й проблеме утверждалось существование по крайней мере одной функции $u(x)$, дающей минимум регулярному функционалу

$$ \begin{equation} J(u):=\int_\Omega F(x,u,Du)\,dx \end{equation} \tag{1} $$
(здесь и далее $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb R^n\!$, $n\geqslant2$) при условии Дирихле $u|_{\partial\Omega}\!=\!u_0(x)$, если класс функций сравнения выбран достаточно широким. Регулярность $J(u)$ означает эллиптичность уравнения Эйлера–Лагранжа для этого функционала. В 19-й проблеме утверждалась аналитичность всех обладающих некоторой гладкостью решений эллиптических уравнений, коэффициенты которых аналитичны.

В работе [2], ставшей основой ее кандидатской диссертации, Н. Н. Уральцева показала, что в предположении, что $F(x,u,p)$ принадлежит классу ${\mathcal C}^{2,\alpha}$ и удовлетворяет условию равномерной эллиптичности

$$ \begin{equation*} \sum_{i,j=1}^n F_{p_ip_j}\xi_i\xi_j\geqslant \nu|\xi|^2,\qquad \nu>0, \end{equation*} \notag $$
минимизирующая функция $u$ принадлежит классу ${\mathcal C}^{2,\alpha}_{\rm loc}(\Omega)$, если она липшицева4. Было также показано, что при естественном требовании $\partial\Omega\in {\mathcal C}^{2,\alpha}$ и $u\big|_{\partial\Omega}\in {\mathcal C}^{2,\alpha}$ минимайзер имеет гладкость ${\mathcal C}^{2,\alpha}$ вплоть до границы. Ранее эти результаты были установлены Ч. Морри лишь в размерности $n=2$.

С помощью глубокого обобщения пионерских идей Э. Де Джорджи Нина Николаевна также установила разрешимость и гладкость решений задачи Дирихле для общих квазилинейных равномерно эллиптических уравнений дивергентного вида

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^n D_ia_{i}(x,u,Du)+a(x,u,Du)=0 \end{equation*} \notag $$
при естественных условиях роста на функции $a_i$ и $a$ по своим аргументам. В дальнейшем эти результаты были усилены в ее совместных работах с О. А. Ладыженской. В частности, это дало полное решение 19-й и 20-й проблем Гильберта для уравнений второго порядка.

В статье [3] были рассмотрены задачи с краевым условием первого порядка, а также некоторый класс диагональных эллиптических систем. Более того, разработанные Н. Н. Уральцевой методы позволили получить (см. [4]) априорные оценки в ${\mathcal C}^{1,\alpha}$ для решений квазилинейных равномерно эллиптических уравнений недивергентного вида

$$ \begin{equation} \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x,u,Du)D_iD_ju+a(x,u,Du)=0 \end{equation} \tag{2} $$
и для диагональных систем аналогичного вида при бернштейновском ограничении на рост функции $a$ по градиенту
$$ \begin{equation} |a(x,u,p)|\leqslant C+\mu|p|^2 \end{equation} \tag{3} $$
и соответствующих естественных условиях на производные функций $a_{ij}$ и $a$ по своим аргументам5.

Эти результаты были затем распространены на параболические уравнения и системы в работах О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой.

Полученные результаты по эллиптическим уравнениям были подытожены в монографии [5] (в 1973 г. вышло второе, переработанное издание [6]). Тремя годами позже была опубликована монография [7] (написанная совместно с В. А. Солонниковым, еще одним учеником Ладыженской), посвященная параболическим уравнениям. Обе монографии были переведены на английский язык (а первая – еще и на французский) и быстро стали классическими.

Сравнительно недавно Нина Николаевна вместе со своим учеником А. И. Назаровым рассмотрели линейные эллиптические и параболические уравнения дивергентного вида:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -\sum_{i,j=1}^n D_i\bigl(a_{ij}(x)D_ju\bigr)+\sum_{i=1}^n b_i(x)D_iu&=0; \\ \partial_tu-\sum_{i,j=1}^n D_i\bigl(a_{ij}(x,t)D_ju\bigr)+ \sum_{i=1}^n b_i(x,t)D_iu&=0 \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
с дополнительным структурным условием, возникающим в некоторых приложениях (в частности, в задачах математической гидродинамики):
$$ \begin{equation} \operatorname{div}({\mathbf b}):=\sum_{i=1}^n D_ib_i\leqslant 0\quad \text{в смысле обобщенных функций}. \end{equation} \tag{4} $$
В статье [8] изучался вопрос о том, насколько “плохими” могут быть младшие коэффициенты $b_i$ для выполнения классических свойств решений: сильного принципа максимума, неравенства Гарнака и теоремы Лиувилля. Было показано, что при условии (4) предположения о $b_i$ можно значительно ослабить в шкале пространств Морри по сравнению с общим случаем.

2. Недивергентные уравнения

Работы О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой по теории недивергентных уравнений, упоминавшиеся в предыдущем пункте, получили новый импульс развития после появления прорывных результатов Н. В. Крылова и М. В. Сафонова об априорной оценке нормы Гёльдера для решений линейных уравнений. Развитая ранее техника позволила быстро распространить эти результаты на квазилинейные уравнения вида (2) и их параболические аналоги [9]. В работе [10] были получены дальнейшие априорные оценки решений задачи Дирихле для таких уравнений и доказаны теоремы существования.

В последующих работах Нины Николаевны и ее соавторов имеющаяся техника была расширена на уравнения вида (2) и аналогичные параболические уравнения в случае, когда функция $a$ и первые производные старших коэффициентов $a_{ij}$ могут иметь неограниченные особенности, например,

$$ \begin{equation*} |a(x,u,p)|\leqslant \mu|p|^2+b(x)|p|+\Phi(x),\qquad b,\Phi\in L^q(\Omega), \quad q>n. \end{equation*} \notag $$
Обзор результатов по задаче Дирихле для недивергентных уравнений был опубликован в статье [11] и вошел в доклад Н. Н. Уральцевой на Международном математическом конгрессе в Беркли [12].

Далее в серии работ Н. Н. Уральцевой и ее учеников была исследована задача с наклонной производной (oblique derivative problem), в которой граничное условие имеет вид

$$ \begin{equation*} b(x,u,Du)=0 \quad \text{или} \quad b(x,t,u,Du)=0,\qquad x\in\partial\Omega, \end{equation*} \notag $$
в эллиптическом и параболическом случае соответственно и таким образом задает производную решения по направлению некоторого векторного поля (зависящего от самого решения). Функция $b(x,u,p)$ (или $b(x,t,u,p)$) удовлетворяет условию некасательности
$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^n b_{p_i}{\mathbf n}_i\geqslant \varkappa\cdot |b_p|,\qquad \varkappa>0. \end{equation*} \notag $$

3. Вырождающиеся уравнения

Список работ Нины Николаевны, посвященных уравнениям, имеющим различного рода вырождения эллиптичности по градиенту, открывается статьей [13], в которой, в частности, был получен знаменитый результат о ${\mathcal C}^{1,\alpha}$-регулярности $p$-гармонических функций, т. е. обобщенных решений уравнения

$$ \begin{equation} \Delta_pu:=\sum_{i=1}^n D_i(|Du|^{p-2}D_iu)=0. \end{equation} \tag{5} $$
Эллиптичность квазилинейных уравнений с $p$-лапласианом $\Delta_p$ при $p>2$ вырождается при нулевом значении градиента $Du$. Известно, что решение такого уравнения, вообще говоря, не имеет соболевских вторых производных, и проблема заключалась в доказательстве непрерывности первых производных в окрестности множества, где $Du=0$.

Указанный результат Н. Н. Уральцевой на самом деле был лишь следствием гораздо более общей теоремы о гёльдеровской регулярности решений диагональных систем

$$ \begin{equation*} \sum_{i,j=1}^n D_i(a_{ij}(x,\mathbf{u})D_j\mathbf{u})=\mathbf{0},\qquad \mathbf{u}\in\mathbb R^N, \end{equation*} \notag $$
с матрицей коэффициентов, удовлетворяющих вырожденному условию эллиптичности
$$ \begin{equation*} \nu(|\mathbf{u}|)|\xi|^2\leqslant \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x,\mathbf{u})\xi_i\xi_j\leqslant \mu \nu(|\mathbf{u}|)|\xi|^2, \qquad \mu\geqslant 1, \end{equation*} \notag $$
в котором возрастающая функция $\nu(\tau)$ подчинена условию $\nu(\lambda\tau)\leqslant \lambda^s\nu(\tau)$ для всех $\lambda\geqslant 1$ и некоторого $s>0$.

К сожалению, результат, полученный Ниной Николаевной, долго оставался неизвестным за границей и через девять лет был переоткрыт и расширен К. Уленбек и другими авторами.

В статье Н. Н. Уральцевой и ее аспирантки А. Б. Урдалетовой [14] впервые были получены результаты о регулярности решений некоторого класса эллиптических уравнений с анизотропным вырождением. Этот класс включает уравнение

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^n D_i(|D_iu|^{p_i-2}D_iu)=0, \qquad 1<p_1\leqslant p_2\leqslant\cdots\leqslant p_n, \end{equation*} \notag $$
принадлежащее к весьма популярным в последние десятилетия уравнениям с нестандартным ростом по градиенту.

Другой тип вырождения эллиптичности (при $|Du|\to\infty$) часто встречается в геометрических задачах. Н. Н. Уральцева разработала метод получения локальных оценок модуля градиента решения для класса таких уравнений, включающего уравнение Эйлера для функционалов типа площади поверхности

$$ \begin{equation} -\sum_{i=1}^n D_i\biggl(\frac{D_iu}{\sqrt{1+|Du|^2}}\biggr)+a(x,u, Du)=0. \end{equation} \tag{6} $$
Внутренние оценки градиента, обобщающие результаты Э. Бомбиери, Э. Де Джорджи и М. Миранды, были получены в работе [15] (совместной с О. А. Ладыженской) и вошли в доклад Н. Н. Уральцевой на Международном математическом конгрессе в Ницце [16]; позднее авторы распространили этот результат на класс сингулярно возмущенных задач [17]. Приграничные оценки градиента решения для краевого условия типа капиллярности
$$ \begin{equation*} \frac{\partial_{\mathbf n} u}{\sqrt{1+|Du|^2}}=\varkappa\quad\text{на}\ \ \partial\Omega, \qquad |\varkappa|<1, \end{equation*} \notag $$
а также разрешимость соответствующих краевых задач были установлены в серии работ, из которых упомянем [18], [19]. Существенно, что эти результаты были получены лишь при условии гладкости границы, но без геометрических условий типа выпуклости области.

В 90-х годах прошлого века в серии работ (часть из них написана совместно с В. И. Оликером; см. статью [20] и ссылки в ней) Нина Николаевна изучала эволюцию поверхностей $S(t)$, которые являются графиками функций $u=u(x,t)$, заданных в ограниченной области $\Omega\subset \mathbb{R}^n$. Граница поверхности $S(t)$ считается фиксированной, а скорость движения зависит от средней кривизны $S(t)$. Эта эволюция описывается задачей Дирихле для параболического уравнения

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac {\partial_t u}{\sqrt{1+|Du|^2}}= \sum_{i=1}^n D_i\bigg(\frac{D_i u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\bigg), \qquad x\in\Omega,\quad t>0; \\ u|_{x\in \partial\Omega}=\phi(x); \qquad u(x,0)=u_0(x). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Для областей с неотрицательной средней кривизной границы Г. Хуискен ранее доказал существование классического решения этой задачи и показал, что поверхности $S(t)$ сходятся к классической минимальной поверхности при $t\to\infty$. В. И. Оликер и Н. Н. Уральцева изучили эту задачу без геометрических условий на область. Для этого они ввели понятие обобщенного решения параболической задачи и доказали его существование и сходимость при $t\to\infty$ к обобщенному решению $\Phi$ стационарной задачи, которое минимизирует функционал площади
$$ \begin{equation*} J(u):=\int_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}+\int_{\partial\Omega}|u-\phi| \end{equation*} \notag $$
на естественном классе $W^1_1(\Omega)$. Такое решение $\Phi$ единственно, но может отличаться от данных Дирихле $\phi$ на “плохой” части границы, где ее средняя кривизна отрицательна. Отметим, что изучение поведения функции $\Phi$ вблизи “контактных точек” на границе6, где она “отрывается” от $\phi$, было для Нины Николаевны одним из стимулов для изучения касания между свободными и фиксированными границами.

4. Вариационные неравенства

Большой цикл работ Н. Н. Уральцевой (часть из них написана совместно с ее ученицей А. А. Архиповой) относится к теории вариационных неравенств. Простейшее вариационное неравенство для эллиптического оператора возникает при минимизации регулярного функционала $J$ на выпуклом замкнутом множестве ${\mathcal K}$ в банаховом пространстве $X$ и имеет вид

$$ \begin{equation*} \langle J'(u),v-u\rangle \geqslant0 \quad\text{для всех}\ \ v\in {\mathcal K}. \end{equation*} \notag $$
Для параболического оператора соответствующее (эволюционное) вариационное неравенство имеет вид
$$ \begin{equation*} \langle u'(t),v-u(t)\rangle+\langle J'(u(t)),v-u(t)\rangle \geqslant0 \quad\text{для всех}\ \ v\in {\mathcal K} \end{equation*} \notag $$
(здесь $u\colon [0,T]\to X$ – абстрактная функция вещественной переменной из подходящего класса).

Важной проблемой теории вариационных неравенств является исследование регулярности обобщенных решений. Следует отметить, что гладкость решений существенно зависит от характера ограничений (множества ${\mathcal K}$) и доказательство предельной гладкости требует, как правило, больших усилий.

Одной из важных прикладных задач, описываемых вариационным неравенством, является задача Синьорини – задача о деформации под действием внешних сил упругого тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. В простейшей скалярной постановке это задача о минимизации функционала (1) на множестве7

$$ \begin{equation*} {\mathcal K}=\{u\in W^1_m(\Omega)\mid u\geqslant \psi \text{ на }\Gamma, \ u=g \text{ на } \partial\Omega\setminus\Gamma\}. \end{equation*} \notag $$
Здесь $m\geqslant 1$, $\Gamma\subset\partial\Omega$ – открытое множество, $\psi,g\in W^1_m(\Omega)$ – заданные функции, $\psi\leqslant g$ на $\Gamma$, а интегрант $F(x,u,p)$ – выпуклая по аргументу $p$ функция, удовлетворяющая условию
$$ \begin{equation*} F(x,u,p)\sim |p|^m \quad \text{при}\ \ |p|\to \infty. \end{equation*} \notag $$
Известно, что для гладких данных предельная гладкость решения такой задачи – принадлежность первых производных пространству ${\mathcal C}^{1/2}(\overline{\Omega})$.

Задача Синьорини для эллиптических и параболических уравнений и диагональных систем уравнений изучалась в статьях [21]–[27]. В частности, гёльдеровские оценки градиента решения были получены в работе [22] при условиях на данные задачи, существенно более слабых, чем в работах Л. Каффарелли (1979 г.) и Д. Киндерлерера (1981 г.). Минимальные предположения о препятствии $\psi$ в этой работе впоследствии дали возможность Р. Шуману (1989 г.) получить аналогичный результат в векторном случае.

В работах Н. Н. Уральцевой и А. А. Архиповой изучалась регулярность (вплоть до предельной) решения скалярной задачи Синьорини с двумя (верхним и нижним) препятствиями для различных классов операторов, причем не исключалась возможность их совпадения на части границы. Также ими были получены результаты о регулярности решений задачи Синьорини для диагональных систем в ситуации, когда “препятствие” на границе области описывалось как принадлежность решения ${\mathbf u}=(u^1,\dots,u^N)$, $N>1$, некоторому выпуклому множеству $\mathbb{K}\subset \mathbb{R}^N$. Частичный обзор результатов по проблеме регулярности решений вариационных неравенств содержится в статье [28].

5. Задачи со свободными границами

Начиная со второй половины 1990-х годов основные интересы Нины Николаевны сосредоточены на проблеме регулярности в задачах со свободными границами.

Простейшие задачи такого типа связаны с вариационными неравенствами. Например, в модельной задаче с препятствием о минимизации функционала

$$ \begin{equation*} J(u):=\int_\Omega \biggl(\frac{|Du|^2}{2}+u\biggr)\,dx \end{equation*} \notag $$
на множестве
$$ \begin{equation*} {\mathcal K}=\{u\in W^1_2(\Omega)\mid u\geqslant 0 \text{ в } \Omega, \ u=g \text{ на } \partial\Omega\}, \qquad g\geqslant0, \end{equation*} \notag $$
необходимое условие минимума приводит к уравнению
$$ \begin{equation} \Delta u=\chi_{\{u>0\}}\quad\text{в } \Omega. \end{equation} \tag{7} $$
Таким образом, область $\Omega$ делится на два заранее не известных множества – на одном из них решение положительно и удовлетворяет уравнению $\Delta u=1$, а на его дополнении выполнены равенства $u=|Du|=0$.

Граница $\Gamma$ между этими множествами называется свободной границей. Если функция $g$ из граничного условия обращается в нуль на каком-нибудь подмножестве $\partial\Omega$, то $\Gamma$ может иметь точки контакта с $\partial\Omega$. Исследование поведения как решений, так и свободных границ в окрестности точек контакта – весьма трудная задача.

В работах [29]–[31] (первая из них написана совместно с ее ученицей Д. Е. Апушкинской) Н. Н. Уральцева доказала, что если в окрестности точки контакта $\partial\Omega$ гладкая, то $\Gamma\in{\mathcal C}^1$, причем угол между $\Gamma$ и $\partial\Omega$ нулевой (т. е. они имеют общую касательную плоскость). По-видимому, исходная идея была навеяна работами с В. И. Оликером, описанными выше. Отметим также, что $\Gamma\in{\mathcal C}^1$ – предельная гладкость в этой задаче: пример, построенный в [30], показывает, что в общем случае первые производные функции, задающей $\Gamma$, не удовлетворяют условию Дини.

В работах [32] и [33] (последняя написана совместно с Х. Шахголяном) Нина Николаевна исследовала задачи со свободной границей без условия неотрицательности решения (такие задачи возникают, например, в проблеме о гармоническом продолжении в теории потенциала). Вместо (7) в этом случае рассматривается уравнение8

$$ \begin{equation} \Delta u=\chi_{\Omega(u)}\quad\text{в}\ \Omega \end{equation} \tag{8} $$
с граничным условием Дирихле, где $\Omega(u)$ – дополнение множества, на котором $u=|Du|=0$.

Это уравнение выглядит вполне аналогичным (7), но на деле из-за отсутствия условия положительности $u$ на множестве $\Omega(u)$ его исследование существенно сложнее. Несмотря на это, в [33] был доказан такой же результат – ${\mathcal C}^1$-гладкость свободной границы в окрестности точек контакта с $\partial\Omega$.

В серии работ, из которых мы упомянем [34] и [35], Нина Николаевна и ее соавторы исследовали аналогичные вопросы для параболических задач. Оказалось, что вне окрестности точек контакта свободная граница есть поверхность класса ${\mathcal C}^{1,\alpha}$ с некоторым $\alpha\in(0,1)$, тогда как в точках контакта эта поверхность может оказаться лишь строго липшицевой (по крайней мере, по переменной $t$). Для получения этих результатов авторы, в частности, получили новые (локальные) варианты так называемых формул монотонности, которые играют важную роль в этой тематике.

Иная (двухфазная) задача со свободной границей возникает при минимизации функционала

$$ \begin{equation*} J(u):=\int_\Omega\biggl(\frac{|Du|^2}{2}+\lambda_+ u^+ + \lambda_- u^-\biggr)\,dx \end{equation*} \notag $$
(здесь $\lambda_{\pm}>0$ – липшицевы функции в $\Omega$, а $u^{\pm}=\max\{\pm u,0\}$). Необходимое условие минимума в этом случае – уравнение
$$ \begin{equation} \Delta u =\lambda_+\chi_{\{u>0\}}-\lambda_-\chi_{\{u<0\}} \quad\text{в}\ \Omega \end{equation} \tag{9} $$
с соответствующим условием Дирихле.

Из работ Н. Н. Уральцевой (с соавторами), посвященных этой задаче и ее параболическому аналогу, мы отметим [36] и [37], в которых было изучено поведение частей свободной границы $\partial\{u>0\}$ и $\partial\{u<0\}$ в окрестности точки их пересечения (будем считать ее началом координат). Из теоремы о неявной функции очевидно, что если $u(0)=0$ и $Du(0)\ne0$, то в некоторой окрестности $\partial\{u>0\}=\partial\{u<0\}$ – гладкая поверхность. Если же $Du(0)=0$, то начало координат может быть точкой ветвления свободной границы.

В эллиптической двухфазной задаче авторы доказали, что в окрестности точки ветвления обе границы $\partial\{u>0\}$ и $\partial\{u<0\}$ есть поверхности класса ${\mathcal C}^1$, которые касаются друг друга в этой точке. При этом в общем случае первые производные функций, задающих эти поверхности, не удовлетворяют условию Дини. В параболической задаче эти поверхности строго липшицевы в направлении оси $t$ и ${\mathcal C}^1$-гладкие по пространственным переменным.

Эти результаты касаются поведения решения и свободной границы внутри области. Для точек на границе области (в нестационарном случае – на параболической границе цилиндра) в серии работ Нины Николаевны (часть из них написана совместно с Д. Е. Апушкинской) была установлена предельная гладкость решений ($W^2_\infty(\Omega)$ и $W^{2,1}_\infty(\Omega\times(0,T))$ соответственно). Из этой серии мы упомянем работы [38] и [39]. Вопрос о гладкости свободной границы в этом случае остается открытым.

В статье [40] рассматривалась векторная задача со свободной границей, в которой минимизируется функционал

$$ \begin{equation*} J({\mathbf u}):= \int_{\Omega}(|\nabla {\mathbf u}|^2+2|{\mathbf u}|)\,dx,\qquad {\mathbf u}\in W^1_2(\Omega\to \mathbb R^N), \quad {\mathbf u}\big|_{\partial\Omega}={\mathbf g}. \end{equation*} \notag $$
Необходимым условием минимума в этом случае будет система
$$ \begin{equation*} \Delta u_i=\frac{u_i}{|{\mathbf u}|}\quad\text{в}\ \Omega, \qquad i=1,\dots, N. \end{equation*} \notag $$
Легко видеть, что уравнение (9) можно рассматривать как частный случай этой системы, если положить
$$ \begin{equation*} \lambda_{\pm}\equiv1,\quad u_1=u^+,\quad u_2=u^-. \end{equation*} \notag $$
Авторы [40] показали, что при естественном геометрическом условии свободная поверхность в этой задаче имеет гладкость ${\mathcal C}^{1,\alpha}$ при некотором $\alpha\in(0,1)$.

Техника, развитая Ниной Николаевной для двухфазных задач, нашла применение при исследовании моделей с пространственно распределенным гистерезисом. В работах [41]–[43], совместных с Д. Е. Апушкинской, для соответствующей задачи была доказана предельная гладкость решений и описана структура свободной границы (в этой задаче она может быть более сложной, чем в предыдущих), а также выведена формула монотонности.

Частично результаты Н. Н. Уральцевой по задачам со свободными границами вошли в монографию [44] (совместно с А. Петросяном и Х. Шахголяном), высоко оцененную специалистами.

Научные достижения Нины Николаевны неоднократно отмечались наградами – как советскими/российскими, так и международными. За результаты по 19-й и 20-й проблемам Гильберта О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева были удостоены премии им. П. Л. Чебышёва АН СССР (1966 г., за монографию [5]) и Государственной премии СССР (1969 г.). За цикл работ о задачах со свободными границами Н. Н. Уральцева получила премию им. П. Л. Чебышёва Правительства Санкт-Петербурга (2017 г.). Дважды (1970 и 1986 гг.) она была приглашенным докладчиком Международных математических конгрессов, а в 2005 г. была выбрана Лектором года Европейского математического общества. Нина Николаевна Уральцева – Заслуженный деятель науки Российской Федерации, Почетный профессор Санкт-Петербургского университета, Почетный доктор Королевской Высшей технической школы (Стокгольм, Швеция), лауреат премии им. А. Гумбольдта (Германия).

За время работы в Ленинградском/Санкт-Петербургском университете Нина Николаевна прочла множество общих и специальных курсов, включающих результаты ее оригинальных исследований, в том числе самых современных; подготовила тринадцать кандидатов наук, четверо из которых впоследствии защитили докторские диссертации. Совместно с В. А. Солонниковым было написано учебное пособие по теоремам вложения для пространств Соболева [45]. Научная и педагогическая деятельность Нины Николаевны сделала ее признанным лидером школы Ладыженской–Уральцевой – Санкт-Петербургской школы нелинейных уравнений в частных производных. Частичный обзор результатов этой школы за последние полвека опубликован в [46].

В течение многих лет Н. Н. Уральцева была членом Правления Санкт-Петербургского математического общества, а с 1998 по 2008 г. – вице-президентом. В 2024 г. она была избрана почетным членом СПбМО.

Более десяти лет Нина Николаевна была руководителем всемирно известного Санкт-Петербургского городского семинара им. В. И. Смирнова по математической физике [47]. Отметим также ее работу на постах председателя панели по уравнениям в частных производных Международного математического конгресса (1998 г.), Президента комитета по присуждению премий Европейского математического конгресса (2004 г.), эксперта Европейской комиссии по научным исследованиям, эксперта РФФИ и РНФ, ответственного редактора сборников “Труды СПбМО” и “Проблемы математического анализа”, члена редколлегий журналов “Алгебра и анализ”, “Вестник СПбГУ” и “Lithuanian Mathematical Journal”, члена программных комитетов многих международных конференций.

За годы жизни в математике у Н. Н. Уральцевой появилось много друзей по всему миру. В ее честь неоднократно проводились математические конференции в России, Швеции, Португалии. Международная онлайн-конференция “Friends in PDEs”, посвященная ее юбилею, прошла в мае 2024 г. Участники этой конференции отмечали, что обаяние личности и доброжелательность Нины Николаевны ощущают все, кто хотя бы раз попал в поле ее притяжения.

От лица учеников и коллег мы поздравляем Нину Николаевну Уральцеву с юбилеем, желаем ей здоровья и новых интересных задач.

Список литературы
1. D. Apushkinskaya, A. Petrosyan, H. Shahgholian, “Nina Nikolaevna Uraltseva”, Notices Amer. Math. Soc., 69:3 (2022), 385–395  crossref  mathscinet  zmath
2. Н. Н. Уральцева, “О регулярности решений многомерных эллиптических уравнений и вариационных задач”, Докл. АН СССР, 130:6 (1960), 1206–1209  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Regularity of solutions of multidimensional elliptic equations and variational problems”, Soviet Math. Dokl., 1 (1960), 161–164
3. Н. Н. Уральцева, “Краевые задачи для квазилинейных эллиптических уравнений и систем с дивергентной главной частью”, Докл. АН СССР, 147:2 (1962), 313–316  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Boundary value problems for quasilinear elliptic equations and systems with divergent principal part”, Soviet Math. Dokl., 3 (1963), 1615–1618
4. Н. Н. Уральцева, “Общие квазилинейные уравнения второго порядка и некоторые классы систем уравнений эллиптического типа”, Докл. АН СССР, 146:4 (1962), 778–781  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “General quasilinear second-order equations and certain classes of systems of elliptic equations”, Soviet Math. Dokl., 3 (1963), 1399–1402
5. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1964, 538 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, Linear and quasilinear elliptic equations, Academic Press, New York–London, 1968, xviii+495 с.  mathscinet  zmath; франц. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, Equations aux dérivées partielles de type elliptique, Monographies Universitaires de Mathématiques, 31, Dunod, Paris, 1968, xix+450 с.  mathscinet  zmath
6. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2-е перераб. изд., Наука, М., 1973, 576 с.  mathscinet  zmath
7. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967, 736 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyženskaya, V. A. Solonnikov, N. N. Ural'ceva, Linear and quasi-linear equations of parabolic type, Transl. Math. Monogr., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, xi+648 с.  mathscinet  zmath
8. А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, “Неравенство Гарнака и связанные с ним свойства решений эллиптических и параболических уравнений с бездивергентными младшими коэффициентами”, Алгебра и анализ, 23:1 (2011), 136–168  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Nazarov, N. N. Ural'tseva, “The Harnack inequality and related properties for solutions of elliptic and parabolic equations with divergence-free lower-order coefficients”, St. Petersburg Math. J., 23:1 (2012), 93–115  crossref
9. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Оценка гельдеровской нормы решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка общего вида”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 12, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 96, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1980, 161–168  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, “Estimate of the Hölder norm of the solutions of second-order quasilinear elliptic equations of the general form”, J. Soviet Math., 21:5 (1983), 762–768  crossref
10. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Об оценках $\max|u_x|$ для решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида и теоремах существования”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 16, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 138, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1984, 90–107  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, “Estimates of $\max|u_x|$ for the solutions of quasilinear elliptic and parabolic equations of the general form and existence theorems”, J. Soviet Math., 32 (1986), 486–499  crossref
11. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности”, УМН, 41:5(251) (1986), 59–83  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, “A survey of results on the solubility of boundary-value problems for second-order uniformly elliptic and parabolic quasi-linear equations having unbounded singularities”, Russian Math. Surveys, 41:5 (1986), 1–31  crossref  adsnasa
12. N. N. Ural'tseva, “Estimates of derivatives of solutions of elliptic and parabolic inequalities”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Berkeley, CA, 1986), v. 1, 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 1143–1149  mathscinet  zmath
13. Н. Н. Уральцева, “Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 2, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 7, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1968, 184–222  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Degenerate quasilinear elliptic systems”, Semin. Math., 7, V. A. Steklov Math. Inst., Leningrad, 1968, 83–99
14. Н. Н. Уральцева, А. Б. Урдалетова, “Ограниченность градиентов обобщенных решений вырождающихся неравномерно эллиптических квазилинейных уравнений”, Вестн. Ленингр. ун-та. Матем. Мех. Астрон., 1983, № 19(4), 50–56  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, A. B. Urdaletova, “The boundedness of the gradients of generalized solutions of degenerate quasilinear nonuniformly elliptic equations”, Vestn. Leningr. Univ., Math., 16 (1984), 263–270
15. O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, “Local estimates for gradients of solutions of non-uniformly elliptic and parabolic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 23:4 (1970), 677–703  crossref  mathscinet  zmath
16. N. N. Uraltseva, “On the non-uniformly quasilinear elliptic equations”, Actes du congrès international des mathématiciens (Nice, 1970), v. 2, Gauthier-Villars Éditeur, Paris, 1971, 885–891  mathscinet  zmath
17. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, “Локальные оценки градиентов решений простейшей регуляризации некоторого класса неравномерно эллиптических уравнений”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 25, Зап. научн. сем. ПОМИ, 213, Наука, СПб., 1994, 75–92  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, “Local gradient estimates for solutions of a simplest regularization of a class of nonuniformly elliptic equations”, J. Math. Sci. (N. Y.), 84:1 (1997), 862–872  crossref
18. Н. Н. Уральцева, “Разрешимость задачи о капиллярах”, Вестн. Ленингр. ун-та. Матем. Мех. Астрон., 1973, № 19(4), 54–64  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Solvability of the capillary problem”, Vestn. Leningr. Univ., Math., 6 (1979), 363–375
19. Н. Н. Уральцева, “Разрешимость задачи о капиллярах. II”, Вестн. Ленингр. ун-та. Матем. Мех. Астрон., 1975, № 1(1), 143–149  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Solvability of the capillary problem. II”, Vestn. Leningr. Univ., Math., 8 (1980), 151–158
20. V. I. Oliker, N. N. Ural'tseva, “Long time behavior of flows moving by mean curvature. II”, Topol. Methods Nonlinear Anal., 9:1 (1997), 17–28  crossref  mathscinet  zmath
21. Н. Н. Уральцева, “О сильных решениях обобщенной задачи Синьорини”, Сиб. матем. журн., 19:5 (1978), 1204–1212  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Strong solutions of the generalized Signorini problem”, Siberian Math. J., 19:5 (1978), 850–856  crossref
22. Н. Н. Уральцева, “Непрерывность по Гёльдеру градиентов решений параболических уравнений при граничных условиях типа Синьорини”, Докл. АН СССР, 280:3 (1985), 563–565  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Hölder continuity of the gradients of solutions of parabolic equations under boundary conditions of Signorini type”, Soviet Math. Dokl., 31 (1985), 135–138
23. А. А. Архипова, Н. Н. Уральцева, “Регулярность решений диагональных эллиптических систем при выпуклых ограничениях на границе области”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 18, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 152, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1986, 5–17  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Arkhipova, N. N. Ural'tseva, “Regularity of the solutions of diagonal elliptic systems under convex constraints on the boundary of the domain”, J. Soviet Math., 40:5 (1988), 591–598  crossref
24. А. А. Архипова, Н. Н. Уральцева, “Предельная гладкость решений вариационных неравенств при выпуклых ограничениях на границе области”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 19, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 163, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1987, 5–16  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Arkhipova, N. N. Ural'tseva, “Limit smoothness of the solutions of variational inequalities under convex constraints on the boundary of the domain”, J. Soviet Math., 49:5 (1990), 1121–1128  crossref
25. А. А. Архипова, Н. Н. Уральцева, “Регулярность решения задачи с двусторонним ограничением на границе для эллиптических и параболических уравнений”, Краевые задачи математической физики. 13, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 179, 1988, 5–22  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Arkhipova, N. N. Ural'tseva, “Regularity of the solution of a problem with a two-sided constraint on the boundary for elliptic and parabolic equations”, Proc. Steklov Inst. Math., 179 (1989), 1–19
26. А. А. Архипова, Н. Н. Уральцева, “О существовании гладких решений задач с выпуклыми ограничениями на границе области для параболических систем”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 20, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 171, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1989, 5–11  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Arkhipova, N. N. Uraltseva, “Existence of smooth solutions of problems for parabolic systems with convex constraints on the boundary of the domain”, J. Soviet Math., 56:2 (1991), 2281–2285  crossref
27. A. Arkhipova, N. Uraltseva, “Sharp estimates for solutions of a parabolic Signorini problem”, Math. Nachr., 177 (1996), 11–29  crossref  mathscinet  zmath
28. Н. Н. Уральцева, “О регулярности решений вариационных неравенств”, УМН, 42:6(258) (1987), 151–174  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Regularity of solutions of variational inequalities”, Russian Math. Surveys, 42:6 (1987), 191–219  crossref  adsnasa
29. Д. Е. Апушкинская, Н. Н. Уральцева, “О поведении свободной границы вблизи границы области”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 26, Зап. науч. сем. ПОМИ, 221, ПОМИ, СПб., 1995, 5–19  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. E. Apushkinskaya, N. N. Uraltseva, “On the behavior of free boundaries near the boundary of the domain”, J. Math. Sci. (N. Y.), 87:2 (1997), 3267–3276  crossref
30. Н. Н. Уральцева, “$C^1$ регулярность границы некоинцидентного множества в задаче с препятствием”, Алгебра и анализ, 8:2 (1996), 205–221  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “$C^1$ regularity of the boundary of the noncoincident set in the obstacle problem”, St. Petersburg Math. J., 8:2 (1997), 341–353
31. Н. Н. Уральцева, “О свойствах свободной границы в окрестности точек контакта с известной границей”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 29, Зап. науч. сем. ПОМИ, 249, ПОМИ, СПб., 1997, 303–312  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “On some properties of the free boundary in a neighborhood of the points of contact with a given boundary”, J. Math. Sci. (N. Y.), 101:5 (2000), 3570–3576  crossref
32. Н. Н. Уральцева, “О контакте свободной границы с заданной”, Матем. сб., 191:2 (2000), 165–173  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. N. Ural'tseva, “Contact of a free boundary with a fixed boundary”, Sb. Math., 191:2 (2000), 307–315  crossref  adsnasa
33. H. Shahgholian, N. Uraltseva, “Regularity properties of a free boundary near contact points with the fixed boundary”, Duke Math. J., 116:1 (2003), 1–34  crossref  mathscinet  zmath
34. D. E. Apushkinskaya, H. Shahgholian, N. N. Ural'tseva, “Boundary estimates for solutions to the parabolic free boundary problem”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 31, Зап. науч. сем. ПОМИ, 271, ПОМИ, СПб., 2000, 39–55  mathnet  mathscinet  zmath; “Boundary estimates for solutions of the parabolic free boundary problem”, J. Math. Sci. (N. Y.), 115:6 (2003), 2720–2730  crossref
35. D. E. Apushkinskaya, N. Matevosyan, N. N. Uraltseva, “The behavior of the free boundary close to a fixed boundary in a parabolic problem”, Indiana Univ. Math. J., 58:2 (2009), 583–604  crossref  mathscinet  zmath
36. H. Shahgholian, N. Uraltseva, G. S. Weiss, “The two-phase membrane problem – regularity of the free boundaries in higher dimensions”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2007:8 (2007), rnm026, 16 pp.  crossref  mathscinet  zmath
37. H. Shahgholian, N. Uraltseva, G. S. Weiss, “A parabolic two-phase obstacle-like equation”, Adv. Math., 221:3 (2009), 861–881  crossref  mathscinet  zmath
38. N. N. Uraltseva, “Boundary estimates for solutions of elliptic and parabolic equations with discontinuous nonlinearities”, Nonlinear equations and spectral theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 220, Adv. Math. Sci., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 235–246  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
39. D. E. Apushkinskaya, N. N. Uraltseva, “Uniform estimates near the initial state for solutions of the two-phase parabolic problem”, Алгебра и анализ, 25:2 (2013), 63–74  mathnet  mathscinet  zmath; St. Petersburg Math. J., 25:2 (2014), 195–203  crossref
40. J. Andersson, H. Shahgholian, N. N. Uraltseva, G. S. Weiss, “Equilibrium points of a singular cooperative system with free boundary”, Adv. Math., 280 (2015), 743–771  crossref  mathscinet  zmath
41. D. E. Apushkinskaya, N. N. Uraltseva, “On regularity properties of solutions to the hysteresis-type problem”, Interfaces Free Bound., 17:1 (2015), 93–115  crossref  mathscinet  zmath
42. D. E. Apushkinskaya, N. N. Uraltseva, “Free boundaries in problems with hysteresis”, Philos. Trans. Roy. Soc. A, 373:2050 (2015), 20140271, 10 pp.  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
43. Д. Е. Апушкинская, Н. Н. Уральцева, “Формула монотонности для задачи с гистерезисом”, Докл. РАН, 478:4 (2018), 379–381  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: D. E. Apushkinskaya, N. N. Uraltseva, “Monotonicity formula for a problem with hysteresis”, Dokl. Math., 97:1 (2018), 49–51  crossref
44. A. Petrosyan, H. Shahgholian, N. Uraltseva, Regularity of free boundaries in obstacle-type problems, Grad. Stud. Math., 136, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, x+221 pp.  crossref  mathscinet  zmath
45. В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, “Пространства Соболева”, Избранные главы анализа и высшей алгебры, Изд-во ЛГУ, Л., 1981, 129–199
46. Д. Е. Апушкинская, А. А. Архипова, А. И. Назаров, В. Г. Осмоловский, Н. Н. Уральцева, “Обзор результатов научной школы СПбГУ по нелинейным уравнениям в частных производных. I”, Вестн. СПбГУ. Матем. Мех. Астрон., 11(69):1 (2024), 3–37  crossref  mathscinet; англ. пер.: D. E. Apushkinskaya, A. A. Arkhipova, A. I. Nazarov, V. G. Osmolovskii, N. N. Uraltseva, “A survey of results of St. Petersburg State University research school on nonlinear partial differential equations. I”, Vestn. St. Petersbg. Univ., Math., 57:1 (2024), 1–22  crossref
47. Д. Е. Апушкинская, А. И. Назаров, “Семинару имени В. И. Смирнова – 75 лет! ”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 50, Зап. науч. сем. ПОМИ, 519, ПОМИ, СПб., 2022, 5–9  mathnet  mathscinet
Образец цитирования: Д. Е. Апушкинская, А. А. Архипова, В. М. Бабич, Г. С. Вейсс, И. А. Ибрагимов, С. В. Кисляков, Н. В. Крылов, А. А. Лаптев, А. И. Назаров, Г. А. Серегин, Т. А. Суслина, Х. Шахголян, “К 90-летию Нины Николаевны Уральцевой”, УМН, 79:6(480) (2024), 179–192
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ApuArkBab24}
\by Д.~Е.~Апушкинская, А.~А.~Архипова, В.~М.~Бабич, Г.~С.~Вейсс, И.~А.~Ибрагимов, С.~В.~Кисляков, Н.~В.~Крылов, А.~А.~Лаптев, А.~И.~Назаров, Г.~А.~Серегин, Т.~А.~Суслина, Х.~Шахголян
\paper К 90-летию Нины Николаевны Уральцевой
\jour УМН
\yr 2024
\vol 79
\issue 6(480)
\pages 179--192
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10201}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10201}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10201
  • https://doi.org/10.4213/rm10201
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v79/i6/p179
    • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024